第四章非線性回歸模型的形式

一、模型的類型與變換

二、非線性回歸實例在實際經濟活動中，經濟變量的關系是復雜的，直接表現為線性關系的情況并不多見。

如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現為冪函數曲線形式、宏觀經濟學中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性關系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經濟學方面的處理。一、模型的類型與變換

1、倒數模型、多項式模型與變量的直接置換法

例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線：拋物線s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設X1=r，X2=r2，則原方程變換為s=a+bX1+cX2c<0

3、復雜函數模型與級數展開法

方程兩邊取對數后，得到：

(1+2=1)Q:產出量，K：資本投入，L：勞動投入：替代參數，1、2：分配參數例如，常替代彈性CES生產函數將式中ln(1K-+2L-)在=0處展開臺勞級數,取關于的線性項，即得到一個線性近似式。如取0階、1階、2階項，可得

并非所有的函數形式都可以線性化

無法線性化模型的一般形式為:其中，f(x1,x2,…,Xk)為非線性函數。如：二、非線性回歸實例

例3.5.1

建立中國城鎮居民食品消費需求函數模型。根據需求理論，居民對食品的消費需求函數大致為

Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數，P0：居民消費價格總指數。

零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變

(*)(**)為了進行比較，將同時估計（*）式與（**）式。

X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數FP：居民食品消費價格指數XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數（1990=100）P：居民食品消費價格縮減指數（1990=100中國城鎮居民人均食品消費

特征：消費行為在1981~1995年間表現出較強的一致性1995年之后呈現出另外一種變動特征。

建立1981~1994年中國城鎮居民對食品的消費需求模型:

(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)按零階齊次性表達式回歸:（75.86）(52.66)(-3.62)為了比較，改寫該式為：

發現與接近。意味著：所建立的食品需求函數滿足零階齊次性特征受約束回歸

一、模型參數的線性約束二、對回歸模型增加或減少解釋變量三、參數的穩定性*四、非線性約束

一、模型參數的線性約束對模型施加約束得或(*)(**)如果對（**）式回歸得出則由約束條件可得：

然而，對所考查的具體問題能否施加約束？需進一步進行相應的檢驗。常用的檢驗有：

F檢驗、x2檢驗與t檢驗，

主要介紹F檢驗在同一樣本下，記無約束樣本回歸模型為受約束樣本回歸模型為于是

但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。可用RSSR

-RSSU的大小來檢驗約束的真實性根據數理統計學的知識：于是：

討論：如果約束條件無效，RSSR

與RSSU的差異較大，計算的F值也較大。于是，可用計算的F統計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。注意，kU-kR恰為約束條件的個數。例3.6.1

中國城鎮居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性檢驗：取=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96

判斷：不能拒絕中國城鎮居民對食品的人均消費需求函數具有零階齊次特性這一假設。無約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2樣本容量n=14，約束條件個數kU-kR=3-2=1

二、對回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：相應的Ｆ統計量為：如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統計量較小；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統計量較大。因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應包括在模型中。討論：

Ｆ統計量的另一個等價式

三、參數的穩定性

1、鄒氏參數穩定性檢驗建立模型時往往希望模型的參數是穩定的，即所謂的結構不變，這將提高模型的預測與分析功能。如何檢驗？假設需要建立的模型為在兩個連續的時間序列（1,2,…，n1）與（n1+1,…，n1+n2）中，相應的模型分別為：因此，檢驗的F統計量為：記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證，于是參數穩定性的檢驗步驟：（1）分別以兩連續時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應的殘差平方：RSS1與RSS2

（2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR（3）計算F統計量的值，與臨界值比較：

若F值大于臨界值，則拒絕原假設，認為發生了結構變化，參數是非穩定的。該檢驗也被稱為鄒氏參數穩定性檢驗（Chowtestforparameterstability）。如果參數沒有發生變化，則=0，矩陣式簡化為(***)（***）式與（**）式這里：KU-KR=n2RSSU=RSS1分別可看成受約束與無約束回歸模型，于是有如下F檢驗：

第一步，在兩時間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR；

第二步，對前一時間段的n1個子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1；

第三步，計算檢驗的F統計量，做出判斷：鄒氏預測檢驗步驟：給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(n2,n1-k-1)如果F>F(n2,n1-k-1)，則拒絕原假設，認為預測期發生了結構變化。

例3.6.2中國城鎮居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。

1、參數穩定性檢驗1981~1994：RSS1=0.003240

1995~2001：

(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)1981~2001:

(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)給定=5%，查表得臨界值F0.05(4,13)=3.18判斷：F值>臨界值，拒絕參數穩定的原假設，表明中國城鎮居民食品人均消費需求在1994年前后發生了顯著變化。

2、鄒氏預測檢驗給定=5%，查表得臨界值F0.05(7,10)=3.18判斷：F值>臨界值，拒絕參數穩定的原假設*四、非線性約束

也可對模型參數施加非線性約束,如對模型施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型:

該模型必需采用非線性最小二乘法（nonlinearleastsquares）進行估計。

非線性約束檢驗是建立在最大似然原理基礎上的,有最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數檢驗.1、最大似然比檢驗(likelihoodratiotest,LR)

估計:無約束回歸模型與受約束回歸模型，

方法:最大似然法，

檢驗:兩個似然函數的值的差異是否“足夠”大。

記L(,2)為一似然函數:無約束回歸:Max:受約束回歸:Max:或求極值：

g():以各約束條件為元素的列向量,’：以相應拉格朗日乘數為元素的行向量

約束：g()=0

受約束的函數值不會超過無約束的函數值，但如果約束條件為真，則兩個函數值就非常“接近”。由此，定義似然比（likelihoodratio）:

如果比值很小，說明兩似然函數值差距較大，則應拒絕約束條件為真的假設；

如果比值接近于１，說明兩似然函數值很接近，應接受約束條件為真的假設。

具體檢驗時，由于大樣本下：

h是約束條件的個數。因此：

通過LR統計量的2分布特性來進行判斷。

在中國城鎮居民人均食品消費需求例中，對零階齊次性的檢驗：LR=-2(38.57-38.73)=0.32給出=5%、查得臨界值20.05(1)＝3.84，

判斷：LR<20.05(1),不拒絕原約束的假設，

表明:中國城鎮居民對食品的人均消費需求函數滿足零階齊次性條件。

２、沃爾德檢驗（Waldtest,W）

沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型。如對在所有古典假設都成立的條件下，容易證明

因此，在1+2=1的約束條件下

記

可建立沃爾德統計量:如果有h個約束條件，可得到h個統計量z1,z2,…,zh約束條件為真時，可建立大樣本下的服從自由度為h的漸近2

分布統計量

其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協方差矩陣。因此，W從總體上測量了無約束回歸不滿足約束條件的程度。對非線性約束，沃爾德統計量W的算法描述要復雜得多。

3、拉格朗日乘數檢驗

拉格朗日乘數檢驗則只需估計受約束模型.受約束回歸是求最大似然法的極值問題:

’是拉格朗日乘數行向量，衡量各約束條件對最大似然函數值的影響程度。

如果某一約束為真，則該約束條件對最大似然函數值的影響很小，于是，相應的拉格朗日乘數的值應接近于零。因此，拉格朗日乘數檢驗就是檢驗某些拉格朗日乘數的值是否“足夠大”，如