2022-2023學年安徽省淮北市第一中學高二上學期期末數學試題一、單選題1．已知橢圓的左、右焦點分別為、，長軸長，焦距為，過點的直線交橢圓于A，兩點，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意畫出圖像，根據橢圓的定義即可求解．【詳解】由題知，2a＝8，的周長為．故選：C．2．設等差數列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列出關于首項與公差的方程組，求出首項與公差，從而可得答案.【詳解】設數列的公差為，因為，所以，解得，，故.故選：A.3．已知等比數列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.4．若，則是方程表示雙曲線的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據雙曲線定義可知，要使方程表示雙曲線和異號，進而求得的范圍即可判斷是什么條件．【詳解】解：因為方程表示雙曲線，所以，解得，因為，所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據雙曲線的定義是解決本題的關鍵，屬于基礎題．5．已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圓錐與內切球的軸截面圖，列出等量關系，即可求解.【詳解】如圖，圓錐與內切球的軸截面圖，點為球心，內切球的半徑為，為切點，設，即由條件可知，，中，，即，解得：，所以圓錐內切球的表面積.故選：D6．已知兩點，，若直線上存在點滿足，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】的軌跡為圓，考慮該圓和直線有公共點（即相交或相切）可得實數的取值范圍.【詳解】設，則由得，因在直線上，故圓心到直線的距離，故，故選C.【點睛】此類問題為“隱形圓問題”，常規的處理辦法是找出動點所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）如果為定點，且動點滿足，則動點的軌跡為圓；（2）如果中，為定長，為定值，則動點的軌跡為一段圓弧．7．已知等差數列中，，設函數，記，則數列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函數的圖象關于點對稱，利用等差中項的性質結合正弦型函數的對稱性質可求得結果.【詳解】，由，可得，當時，，故函數的圖象關于點對稱，由等差中項的性質可得，所以，數列的前項和為.故選：D.8．已知，若點P是拋物線上任意一點，點Q是圓上任意一點，則的最小值為A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】設，利用三角形知識得到，轉化成，令，將轉化成，問題得解．【詳解】設，由拋物線方程可得：拋物線的焦點坐標為，由拋物線定義得：又,所以，當且僅當三點共線時（F點在PQ中間），等號成立，令，可化為：，當且僅當，即：時，等號成立．故選B【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質及換元法、基本不等式的應用，還考查了計算能力及轉化能力，屬于基礎題．二、多選題9．已知三個數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】BC【分析】由等比數列的性質求出，再判斷曲線類型，進而求出離心率【詳解】由三個數成等比數列，得，即；當，圓錐曲線為，曲線為橢圓，則；當時，曲線為，曲線為雙曲線，，則離心率為：或故選BC【點睛】本題考查等比數列的性質，離心率的求解，易錯點為漏解的取值，屬于中檔題10．已知，是拋物線上的兩點，若直線過拋物線的焦點且傾斜角為.則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對于選項A，設直線的方程為，代入，再利用韋達定理，即可得到結論；對于選項B，利用拋物線的定義和選項A中的結論，表示出即可；對于選項C，由拋物線的定義，在直角三角形中，運用余弦函數的定義，即可得到的長，同理可得的長，即可判斷；對于選項D，選項A中的結論進行判斷即可.【詳解】對于選項A，設直線的方程為，代入，可得，所以，，選項A正確；對于選項B，因為是過拋物線的焦點的弦，所以由拋物線定義可得，由選項A知，，，所以.即，解得，當時，，所以，當時，，所以，當時，也適合上式，所以，選項B正確；對于選項C，不妨設，點A在x軸上方，設，是，在準線上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可證時，等式也成立，選項C正確；對于選項D，由上可知：，，所以，選項D不正確，故選：ABC.11．2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G．若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則（

）A．橢圓的長軸長為B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓性質可判斷B；取特值，結合OA長度的取值范圍可判斷C；由橢圓定義可判斷D.【詳解】由題知，橢圓中的幾何量，得，則，A正確；，由橢圓性質可知，所以，B正確；記，則取，則，C錯誤；由橢圓定義知，，所以的周長，D正確.故選：ABD12．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，，，進而判斷出結果.【詳解】如圖連接交于O，連接.設，則.由平面，，所以平面，所以，.由平面，平面，所以.又，且，平面，所以平面，所以.易知，，所以，所以,而，平面，所以平面.又，，所以有，所以選項AB不正確，CD正確.故選：CD.三、填空題13．已知向量．若，則________．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數量積.14．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【分析】根據離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15．正方體中，分別是的中點，則所成的角的余弦值是__________．【答案】【分析】取的中點，由得出異面直線與所成的角為，然后在由余弦定理計算出，可得出結果．【詳解】取的中點，由且可得為所成的角，設正方體棱長為，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合適的三角形，利用余弦定理或銳角三角函數來計算，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題．16．對給定的數列，記，則稱數列為數列的一階商數列；記，則稱數列為數列的二階商數列；以此類推，可得數列的P階商數列，已知數列的二階商數列的各項均為，且，則___________．【答案】【分析】由題意可得，從而得，即，由累乘法即可求得的值.【詳解】解：由數列的二階商數列的各項均為，可知，而，故數列是以1為首項，為公比的等比數列，即，即，即．所以，故．故答案為：四、解答題17．記△ABC得內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.(1)求a；(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結合余弦定理得出；（2）由正弦定理得出.【詳解】（1）因為sinA=3sinB，所以，由余弦定理可得，所以（2）由可得，18．已知數列的前項和為,，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由條件得到，結合已知兩式相減得到，再驗證，得到數列是等比數列，從而得到數列的通項公式；（2）由（1）可知，利用分組轉化為等差數列和等比數列求和.【詳解】（1）…………….①………………..

②

①-②得，即又,

是以2為首項，2為公比的等比數列

（2）由（Ⅰ）得

【點睛】本題考查已知求，以及分組轉化法求和，重點考查基本方法，計算能力，屬于基礎題型，本題容易忽略驗證，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂項相消法求和；3.分組轉化法求和；4.錯位相減法求和，這些常用方法需熟練掌握.19．如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F分別是棱，AC，BC的中點.(1)證明：平面.(2)求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因為E，F分別是棱AC，BC的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為D，F分別是棱，BC的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因為平面，平面，所以平面.因為平面ABD，且，所以平面平面.因為平面ABD，所以平面.（2）解：取的中點，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，，從而，，，.設平面ADE的法向量為，則令，得，設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面的夾角為，則.20．已知橢圓：的長軸長為，的兩個頂點和一個焦點圍成等邊三角形．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點，若的面積為，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，，可求橢圓的標準方程；（2）設，，將橢圓方程與直線方程聯立，可得，，由已知可得，求解即可．【詳解】（1）由題知，，得，要滿足兩個頂點和一個焦點圍成等邊三角形．兩頂點只能在短軸上，則，，故橢圓的標準方程為；（2）設，，將橢圓方程與直線方程聯立，化簡得，其中，即，且，，．原點到直線的距離，．化簡得，解得或，又且，或．21．已知公差為正數的等差數列的前項和為，________．請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①成等比數列，②．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先設等差數列的公差為，再根據等差數列的求和公式和等比中項的性質，根據條件①②分別列出關于首項與公差的方程，解出的值，即可計算出數列的通項公式；（2）先根據第（1）題的結果計算出數列的通項公式，再運用裂項相消法即可計算出前項和．【詳解】（1）由題意，設等差數列的公差為，方案一：選擇條件①，根據成等比數列得,代入得，又，化簡整理，可得，由于，所以，，．方案二：選擇條件②由，可得，又，解得，，（2）由（1）可得，則．22．已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸?y軸分別交于M、N兩點，當四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)