第四章三角形微專題一特殊三角形中的分類討論特殊三角形中的分類討論主要針對于等腰三角形和直角三角形的角和邊不確定引起的討論，本專題主要對等腰三角形角和邊的不確定、直角三角形直角頂點的不確定進行了分類討論.本專題知識在河南中考中常以填空題或解答題中的特殊三角形的存在性形式呈現.

類型條件圖示分類討論等腰三角形頂角和底角不確定已知等腰三角形的一個角為α，求另外兩個角的度數需分α為頂角或底角兩種情況進行討論，計算結果需用三角形的內角和進行檢驗類型條件圖示分類討論等腰三角形腰和底邊不確定已知點A，B和直線l，在直線l上找一點P，使△PAB為等腰三角形（1）以AB為腰.①當AB＝AP時，以點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，交直線l于點P1，P2，如圖所示，即為所求；②當AB＝BP時，以點B為圓心，AB的長為半徑畫圓，交直線l于點P3，P4，如圖所示，即為所求；（2）以AB為底.作線段AB的垂直平分線，交直線l于點P5，如圖所示，即為所求.簡記為“兩圓一線”類型條件圖示分類討論等腰三角形腰和底邊不確定解題方法（1）代數法：設出P點的坐標，再分別表示出線段AB2，BP2，AP2的長，分AB2＝AP2，AB2＝BP2，AP2＝BP2三種情況，列方程求解；（2）幾何法：分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三種情況，根據幾何圖形的性質（線段相等）求出相應的未知量即可類型條件圖示分類討論直角三角形的直角頂點不確定已知點A，B和直線l，在直線l上找一點P，使△PAB為直角三角形（1）當∠BAP＝90°時，過點A作AB的垂線，交直線l于點P1，如圖所示，即為所求；（2）當∠ABP＝90°時，過點B作AB的垂線，交直線l于點P2，如圖所示，即為所求；（3）當∠APB＝90°時，以線段AB的中點O為圓心，OA的長為半徑畫圓，交直線l于點P3，P4，如圖所示，即為所求.簡記為“兩線一圓”類型條件圖示分類討論直角三角形的直角頂點不確定解題方法（1）代數法：設出P點的坐標，再分別表示出線段AB2，BP2，AP2的長，分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三種情況，每種情況下分別用勾股定理列方程求解.若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在.（2）幾何法：分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三種情況，利用兩直線垂直，k1·k2＝－1，求得與AB垂直的直線解析式，此解析式和已知直線聯立即可得到答案.（3）一線三垂直法：作輔助線構造一線三垂直模型，利用兩三角形全等或相似，即可得到答案（此方法詳見微專題四

一線三等角模型）

?類型1：等腰三角形頂角和底角不確定【例1】如果一個等腰三角形的一個外角為130°，那么其頂角的度數為（

D

）DA.50°B.80°C.130°D.50°或80°?類型2：等腰三角形腰和底邊不確定

思路點撥?類型3：直角三角形的直角頂點不確定

思路點撥

?類型1：等腰三角形頂角和底角不確定1.等腰三角形的一個角是80°，則它另外兩個角的度數是

80°，20°或50°，50°

?.

?類型2：等腰三角形腰和底邊不確定2.已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（

B

）A.13B.17C.13或17D.13或1080°，20°或50°，50°

B

∴分BC＝BP和BC＝CP兩種情況進行討論：

?類型3：直角三角形的直角頂點不確定

5.如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.若點D為拋物線對稱軸上一動點，當△BCD是直角三角形時，求點D的坐標.解：在y＝x2－2x－3中，令x＝0，得y＝－3，∴C（0，－3）.令y＝0，即x2－2x－3＝0，

∴分∠BCD＝90°，∠DBC＝90°和∠BDC＝90°三種情況進行討論：①當∠BCD＝90°時，如圖1.此時DC2＋BC2＝DB2，即t2＋6t＋10＋18＝t2＋4，解得t＝－4.∴D1（1，－4）；圖1圖2圖1圖2②當∠DBC＝90°時，如圖2.此時BC2＋DB2＝DC2，即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，解得t＝2.∴D2（1，2）；③當∠BDC＝90°時，如圖3