廣東省梅州市豐順第一中學2023年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的定義域是A. B. C. D..參考答案：【答案解析】D

要使函數有意義則故選D。【思路點撥】先表示有意義的式子，再解出結果。2.命題“存在實數，使>1”的否定是（

）A.對任意實數,都有

>1

B.不存在實數，使1C.對任意實數,都有1

D.存在實數，使1參考答案：C3.對任意的實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知集合，集合，集合.命題，命題，（I）若命題為假命題，求實數的取值范圍；（II）若命題為假命題，求實數的取值范圍.參考答案：略5.已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為.

.3

.

.參考答案：A由：，得，設，一條漸近線，即，則點到的一條漸近線的距離=，選A..6.函數的圖象大致形狀是

參考答案：D7.命題“”是命題“”的（

）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不是充分又不是必要條件參考答案：Ｂ8.拋物線：的焦點坐標是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.函數周期為，其圖像的一條對稱軸是，則此函數的解析式可以是（

）A．

B．

C．D．參考答案：A略10.已知向量，且，則m=（

）A.－1 B.－2 C.－3 D.－4參考答案：C【分析】求出的坐標，由知，列出方程即可求出m.【詳解】，因為，所以，解得.故選：C【點睛】本題考查向量的坐標表示，兩向量垂直則向量的數量積為0，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖4，已知是⊙的切線，是切點，直線交⊙于、兩點，是的中點，連結并延長交⊙于點．若，，則=

．

參考答案：12.已知，若的展開式中各項系數的和為1458，則該展開式中項的系數為___________參考答案：61略13.設P為曲線C1上動點，Q為曲線C2上動點，則稱|PQ|的最小值為曲線C1，C2之間的距離，記作d（C1，C2）．若C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，則d（C1，C2）=

；若C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y，則d（C3，C4）=

．參考答案：，（1﹣ln2）．

【考點】直線與圓的位置關系．【分析】考慮到C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，利用圓心距減去半徑，可得結論；考慮到兩曲線C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值．【解答】解：C1（0，0），r1=，C2（3，3），r2=，d（C1，C2）=3=；∵C3：ex﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y互為反函數，先求出曲線ex﹣2y=0上的點到直線y=x的最小距離．設與直線y=x平行且與曲線ex﹣2y=0相切的切點P（x0，y0）．y′=ex，∴=1，解得x0=ln2∴y0=1．得到切點P（ln2，1），到直線y=x的距離d=，丨PQ丨的最小值為2d=（1﹣ln2），故答案為，（1﹣ln2）．14.已知實數滿足，則的取值范圍為

．參考答案：作出不等式組所表示的平面區域如下圖陰影部分所示，觀察可知，當直線過點時，有最小值，當直線過點時，有最大值，故的取值范圍為.

15.已知集合若，則實數的取值范圍是A．{1} B．（—，0） C．（1，+）

D．（0，1）參考答案：D16.在△ABC中，若，則角C=

．參考答案：由正弦定理，由，可得.由余弦定理可得，代入上式得：.所以.因為.所以.解得.故答案為：.

17.若直線(m–1)x+3y+m=0與直線x+(m+1)y+2=0平行，則實數m=________.參考答案：－2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本小題滿分12分）已知等差數列（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項的和Sn.參考答案：略19.已知橢圓Cn：+=n（a＞b＞1，n∈N*），F1，F2是橢圓C4的焦點，A（2，）是橢圓C4上一點，且?=0；（1）求Cn的離心率并求出C1的方程；（2）P為橢圓C2上任意一點，直線PF1交橢圓C4于點E，F，直線PF2交橢圓C4于點M，N，設直線PF1的斜率為k1，直線PF2的斜率為k2；（i）求證：k1k2=﹣（ii）求|MN|?|EF|的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）橢圓C4的方程為：=4，即：=1．不妨設c2=a2﹣b2，則F2（2c，0）．由?=0，可得⊥．2c=2，==，2b4=a2=b2+1，解出即可得出．（2）（i）橢圓C2的方程為：+y2=2即：+=1．橢圓C4的方程為：=1．設P（x0，y0），由P在橢圓C2上，可得y02=（4﹣x02）．再利用斜率計算公式即可證明k1k2為定值．（ii）設直線PF1的方程為：y=k1（x+2）直線PF2的方程為：y=k2（x﹣2），與橢圓方程聯立消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0，設E（x1，y1），F（x2，y2），利用根與系數的關系可得|EF|=，|MN|．利用（i）的結論代入|EF|?|MN|，化簡即可證明．【解答】解：（1）解：橢圓C4的方程為：=4，即：=1．不妨設c2=a2﹣b2

則F2（2c，0）．∵?=0，∴⊥．于是2c=2，==，2b4=a2=b2+1，∴2b4﹣b2﹣1=0，（2b2+1）（b2﹣1）=0，∴b2=1，a2=2．∴橢圓Cn的方程為：+y2=n．∴e2==，∴e=．橢圓C1的方程為：+y2=1．（2）（i）證明：橢圓C2的方程為：+y2=2

即：+=1．橢圓C4的方程為：+y2=4

即：=1．∴F1（﹣2，0），F2（2，0），設P（x0，y0），∵P在橢圓C2上，∴=1，即y02=（4﹣x02）．∴k1k2=?===﹣．（ii）設直線PF1的方程為：y=k1（x+2）直線PF2的方程為：y=k2（x﹣2），聯立方程組：

消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①設E（x1，y1），F（x2，y2），則x1，x2是方程①的兩個解，由韋達定理得：x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|==．同理：|MN|=．∴|EF|?|MN|=?=32×=32×==16+≤18，又|EF|?|MN|＞0．∴|EF|?|MN|∈（16，18]．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.如圖，在五面體ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD=1.

(1)

求異面直線BF與DE所成的角的大小；（2）求二面角A-CD-E的余弦值。

參考答案：以點為坐標原點建立空間直角坐標系，依題意得

（1）

所以異面直線與所成的角的大小為.（5分）（2）又由題設，平面的一個法向量為

（（10分）21.

我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人(年齡60歲及以上)人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并婁托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如下圖表：(I)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？(Ⅱ)估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；(Ⅲ)據統計該市大約有丑分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發放生活補貼，標準如下： ①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；②80歲以下老人每人每月發放生活補貼120元；③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100元.利用樣本估計總體，試估計政府執行此計劃的年度預算.（單位:億元,結果保留兩位小數）參考答案：（Ⅰ）數據整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應抽取：8×=3人，80歲以下應抽取：8×=5人…………2分（Ⅱ））在600人中80歲及以上長者在老人中占比為：用樣本估計總體，80歲及以上長者為：66×=11萬，80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為．

……………5分（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，，，，

……………8分則隨機變量X的分布列為：X0120200220300PE(X)==28

……………10分全市老人的總預算為28×12×66×104=2.2176×108元．政府執行此計劃的年度預算約為2.22億元．

……………12分22.（本小題滿分12分）已知，函數（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；（Ⅱ）當x[0，2]時，求|f(x)|的最大值．參考答案：（Ⅰ）y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）【知識點】導數的應用解析：（Ⅰ）因為f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x2-6x+3a，故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）2+3（a-1），0≤x≤2．故當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．當a≥1時，有f′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．當0＜a＜1時，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得．所以，當x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（x2，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．所以函數f（x）的極大值，極小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．從而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．當0＜a