廣東省揭陽市華僑高級中學高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.閱讀右邊的程序，若輸出的y=3，則輸入的x的值為（）A．1 B．2 C．±2 D．1或2參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】首先判斷程序框圖，轉化為分段函數形式，然后根據y=3分別代入三段函數進行計算，排除不滿足題意的情況，最后綜合寫出結果．【解答】解：根據程序框圖分析，程序框圖執行的是分段函數運算：y=，如果輸出y為3，則當：﹣x+4=3時，解得x=1，不滿足題意；當x2﹣1=3時，解得：x=2，或﹣2（舍去），綜上，x的值2故選：B．【點評】本題考查程序框圖，通過程序框圖轉化為分段函數，然后分析分段函數并求解，屬于基礎題．2.將4名志愿者分配到3所不同的學校進行學生課外活動內容調查,每個學校至少分配一名志愿者的方案種數為（

）A.24

B.36

C.72

D.144參考答案：B3.已知是等比數列，，，則（

）A． B．C． D．參考答案：D略4.函數的最小正周期是3π，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數的一條對稱軸是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由三角函數的周期可得，由函數圖像的變換可得，平移后得到函數解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數的最小正周期是，則函數，經過平移后得到函數解析式為，由，得，當時，.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數圖像的性質及函數圖像的平移變換，屬基礎題.5.下列結論正確的是（）

A．若ac>bc，則a>b

B．若a2>b2，則a>b

C．若a>b,c<0，則a+c<b+c

D．若<，則a<b參考答案：D略6.已知向量，向量，若，則為（

）A．（-2，2） B．（-6，3）

C．（2，-1） D．（6，-3）參考答案：B7.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，那么的取值范圍是（

）（A）（）（B）（）

（C）（）

（D）（）參考答案：D8.橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意可得cos60°==，從而得到橢圓的離心率的值．【解答】解：由題意可得cos60°==，∴橢圓的離心率是

=，故選B．9.如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規律閃爍，下一個呈現出來的圖形是()A. B. C. D.參考答案：A【分析】觀察已知中的三個圖形，得到每一次變化相當于“順時針”旋轉2個角，由此即可得到答案。【詳解】由題意，觀察已知的三個圖象，每一次變化相當于“順時針”旋轉2個角，根據此規律觀察四個答案，即可得到C項符合要求，故選C。【點睛】本題主要考查了歸納推理的應用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某項相同的性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題。10.命題：“若則”的否命題是

（

）

A．若，則

B．若則

C．若，則

D．若則參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“”是“”的___________條件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）參考答案：12.橢圓+=1上的點到直線l：x﹣2y﹣12=0的最大距離為．參考答案：4【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先將橢圓方程化為參數方程，再求圓心到直線的距離d，利用三角函數的性質求其最大值，故得答案．【解答】解：由題意，設P（4cosθ，2sinθ）則P到直線的距離為d==，當sin（θ﹣）=1時，d取得最大值為4，故答案為：4．13.在區域D：內隨機取一個點，則此點到點A(1，2)的距離大于2的概率是

參考答案：14.在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α+cos2β=1．類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=．參考答案：2【考點】類比推理；棱柱的結構特征．【分析】由類比規則，點類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．【解答】解：我們將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據長方體性質可以類比推斷出空間性質，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一頂點出發的三個棱的長分別為a，b，c，則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為：cos2α+cos2β+cos2γ=2．15.若m為正整數，則x（x+sin2mx）dx=．參考答案：【考點】67：定積分．【分析】將被積函數變形，兩條定積分的可加性以及微積分基本定理求值．【解答】解：m為正整數，則x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案為：．16.f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）處的切線方程為

．參考答案：4x﹣y﹣10=0【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數的導數，可得切線的斜率，再由點斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）=x3+x﹣8的導數為f′（x）=3x2+1，可得切線的斜率為k=3+1=4，即有切線的方程為y+6=4（x﹣1），化為4x﹣y﹣10=0．故答案為：4x﹣y﹣10=0．17.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有____

____種.參考答案：34分3步來計算，①從7人中，任取4人參加某個座談會，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；②選出的4人都為男生時，有1種情況，因女生只有3人，故不會都是女生，③根據排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；故答案為34．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）“坐標法”是以坐標系為橋梁，把幾何問題轉化成代數問題，通過代數運算研究圖形的幾何性質的方法，它是解析幾何中是基本的研究方法.請用坐標法證明下面問題：已知圓O的方程是，點，P、Q是圓O上異于A的兩點.證明：弦PQ是圓O直徑的充分必要條件是.參考答案：19.已知數列中,.(1)求證：為等比數列，并求的通項公式；(2)數列滿足,求數列的前n項和.參考答案：(1)

…………5分(2)，

…………8分用錯位相減法可得

…………14分略20.已知橢圓的兩個焦點，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點（1，0）且與坐標軸不平行的直線與橢圓交于不同兩點P、Q，若在軸上存在定點E（，0），使恒為定值，求的值．參考答案：解：（I）由題意知

=

，，（2分）∴

，=1∴橢圓的方程為=1

（II）當直線的斜率存在時，設其斜率為，則的方程為

消去得

設則由韋達定理得

則∴====

要使上式為定值須，解得

∴為定值21.某中學舉行了一次“環保知識競賽”活動．為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數據）．頻率分布直方圖

莖葉圖（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學到市政廣場參加環保知識宣傳的志愿者活動，求所抽取的2名同學來自不同組的概率．參考答案：（Ⅰ）由題意可知，樣本容量……2分……………………4分．………………6分（Ⅱ）由題意可知，分數在[80，90)有5人，分別記為a，b，c，d，e，分數在[90，100)有2人，分別記為F，G．從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學有如下種情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，F)，(a，G)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，F)，(b，G)，(c，d)，(c，e)，(c，F)，(c，G)，(d，e)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，(F，G)，共有21個基本事件；…………9分其中符合“抽取的2名同學來自不同組”的基本事件有(a，F)，(a，G)，(b，F)，(b，G)，(c，F)，(c，G)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，共10個，所以P=10/21………………12分22.如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分別為AB，VA的中點．（1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB．參考答案：【考點】LY：平面與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）由O，M分別為AB，VA的中點，得OM∥VB，即可得VB∥平面MOC．（2）由AC=BC，O為AB的中點，得OC⊥A