廣東省廣州市新港中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A=60°，b=2，sinA=sinB，則向量在方向上的投影為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】可根據正弦定理，由sinA=得出a=，從而得出a=，進一步由正弦定理可求出，，從而便可求出sinC=，從而由正弦定理求出c=8，這樣根據投影的計算公式便可求出要求的投影的值．【解答】解：由正弦定理，，帶入得：，如圖，在△ABC中，；∴sinB=，cosB=；∴sinC=sin（A+B）==；∴；解得c=8；根據條件，在方向上的投影為：．故選D．2.橢圓的焦距為2，則m的值等于(

)

A.5

B.5或8

C.5或3 D.20參考答案：C3.如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為64個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的油漆面數為X，則X的均值E(X)=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意知，；；；；.故選：C.

4.在中，若，那么等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B，在中，，則，由余弦定理得，又，=.5.在一組樣本數據的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A6.曲線與曲線的（

）A.焦距相等

B.離心率相等

C.焦點相同

D.以上答案都不對參考答案：A7.如圖，在棱長為3的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是棱A1B1、A1D1的中點，則點B到平面AMN的距離是（*****）

A．

B．

C．

D．2參考答案：D8.甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不與丙相鄰，不同的排法種數有（）A．72種B．54種C．36種D．24種參考答案：C【分析】根據題意，先排丁、戊兩人，有2種排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙兩人相鄰、不相鄰兩種情況討論，可得甲、乙、丙的排法，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，先排丁、戊兩人，有2種排法，排好后，丁、戊的兩邊和中間共有3個空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相鄰，則把甲乙視為一個元素，與丙一起放進三個空位中的兩個空位中，有2A32=12種方法；若甲乙不相鄰，則甲、乙、丙一起放進三個空位中，有A33=6種方法，根據分步、分類計數原理，不同的排法數目有2×（12+6）=36種，故選：C．【點評】本題考查排列、組合的運用，解題時注意甲乙兩人可以相鄰，還可以不相鄰，需要分情況討論，屬于中檔題．9.若直線與直線平行，則實數的值為

（

）A．

B．1

C．1或

D．

參考答案：A略10.已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0相交，則圓C1與圓C2的公共弦長為（）A． B． C．

D．5參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點和（）的橢圓的標準方程為_________．參考答案：12.n個連續自然數按規律排成下表：

03→47→811…

↓

↑

↓

↑

↓

↑

1→

2

5→

6

9→10根據規律，從2009到2011的箭頭方向依次為________．①↓→②→↑③↑→④→↓參考答案：②略13.數列的首項為,前n項和為,若成等差數列,則

參考答案：略14.設拋物線被直線所截得的弦長為，則．參考答案：-4略15.將A，B，C，D，E五個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有

種.(結果用數值作答)參考答案：80按的位置分類，當在第三個位置時，共有種排法；當在第四個位置時，共有種不同的排法；當在第五高為位置時，共有種不同的排法，所以當都在的左側時，共有種不同的排法，所以都在的同側時，共有種不同的排法.

16.雙曲線以為焦點，且虛軸長為實軸長的倍，則該雙曲線的標準方程是

.參考答案：17.已知且,則的最大值

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數列，＝2，n∈N*.（Ⅰ）求并由此猜想出的一個通項公式；（Ⅱ）證明由（Ⅰ）猜想出的結論．參考答案：解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，…………3分由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一個通項公式為：an＝n＋1(n∈N*)．…6分（Ⅱ）證明：①當n＝1時，a1=2，猜想成立．…………7分②假設當n＝k（k∈N*且k≥1）時猜想成立，即ak=k＋1，那么當n＝k＋1時，ak＋1＝ak(ak－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，………………11分也就是說，當n＝k＋1時，ak＋1=(k＋1)＋1.猜想成立根據①和②，對于所有n∈N*，都有an=n＋1.…………………12分

略19.（本小題滿分13分）已知函數，其中.（Ⅰ）若函數為奇函數，求實數的值；（Ⅱ）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）解：因為是奇函數．

所以，其中且.

…………2分

即,其中且.

所以.

…………6分（Ⅱ）解：.

…………8分因為在區間上單調遞增,所以在上恒成立，

………9分

即在上恒成立，

因為在上的最小值，所以．

驗證知當時，在區間上單調遞增.

…13分

20.已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）討論函數f（x）的單調性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出導函數，通過當a≤0時，當a＞0時，判斷導函數的符號，然后判斷函數的單調性．（2）通過當a=0時，當a＜0時，當a＞0時，分別求解判斷求解函數的最小值，推出a的取值范圍．【解答】解：（1），…（1分）當a≤0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增…（3分）當a＞0時，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．…（2）當a=0時，f（x）＞0恒成立…（6分）當a＜0時，當x→0時，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）當a＞0時，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）綜上所述，a的取值范圍是．…（12分）【點評】本題考查函數的單調性的判斷與應用，導數的應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．21.已知，直線：，橢圓：的左、右焦點分別為，（Ⅰ）當直線過時，求的值；（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，△、△的重心分別為、，若原點在以線段為直徑的圓內，求實數的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）由已知，交軸于為，，得（Ⅱ）設，因為的重心分別為，所以因為原點在以線段為直徑的圓內，所以

，∴①

∴

∵，∴，即…②由及①②，得實數的取值范圍是.略22.已知函數f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；（Ⅱ）當a＜0時，討論f（x）的單調性；（Ⅲ）若對任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2lnx+，求導，令f′（x）=0，解方程，分析導數的變化情況，確定函數的極值；（Ⅱ）當a＜0時，求導，對導數因式分解，比較兩根的大小，確定函數f（x）單調區間；（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），當a=0時，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，當0＜x＜時，f′（x）＜0；當x≥時，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無極大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，當a＜﹣2時，﹣＜，令f′（x）＜0得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0得﹣＜x＜；當﹣2＜a＜0時，得﹣＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0得＜x＜﹣；當a=﹣2時，f′（x）=﹣≤0，綜上所述，當a＜﹣2時f（x），的遞減區間為（0，﹣）和（，+∞），遞增區間為（﹣，）；當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區間為（0，）和（﹣，+∞），遞增區間為（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）