廣東省廣州市廣雅中學2022年高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.二進制數110011（2）轉化為十進制數為（）A． 51 B． 50 C． 49 D． 19參考答案：A2.已知冪函數的圖象經過點，則的值為（）A．

B．C．2

D．16參考答案：B3.今有一組實驗數據，如表：x1.9933.0024.0015.0326.121y1.5014.4137.49812.0417.93現準備從以下函數中選擇一個最能代表兩個變量x、y之間的規律，則擬合最好的是（）A．y=2x﹣1+1 B．y=log2x C．y=x2－D．y=﹣2x﹣2參考答案：C【考點】函數模型的選擇與應用．【分析】把（x，y）的值分別代入A，B，C，D中，能夠找到擬合最好的函數模型．【解答】解：把（x，y）的值分別代入y=2x﹣1+1中，不成立，故A不是擬合最好的函數模型；把（x，y）的值分別代入中，不成立，故B不是擬合最好的函數模型；把（x，y）的值分別代入中，基本成立，故C是擬合最好的函數模型；把（x，y）的值分別代入y=﹣2x﹣2中，不成立，故D不是擬合最好的函數模型．故選：C．4.在海島上有一座海拔千米的山，山頂設有一個觀察站，上午時測得一輪船在海島北偏東，俯角為的處，勻速直行10分鐘后，測得該船位于海島北偏西，俯角為的處．從處開始，該船航向改為正南方向，且速度大小不變，則該船經過分鐘后離開點的距離為A．千米

B．千米

C．千米

D．千米

參考答案：C略5.若x＞0，則函數與y2=logax（a＞0，且a≠1）在同一坐標系上的部分圖象只可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數的圖象．【分析】結合指數函數和對數函數的圖象和性質，分析出當a＞1時，兩個函數的圖象形狀，可得答案．【解答】解：當a＞1時，函數為增函數，且圖象過（0，﹣1）點，向右和x軸無限接近，函數y2=logax（a＞0，且a≠1）為增函數，且圖象過（1，0）點，向左和y軸無限接近，此時答案B符合要求，當0＜a＜1時，函數為減函數，且圖象過（0，﹣1）點，函數y2=logax（a＞0，且a≠1）為減函數，且圖象過（1，0）點，向左和y軸無限接近，此時無滿足條件的圖象．故選：B【點評】本題考查的知識點是函數的圖象，熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵．6.已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，則A∩B為(

)A．{0，2} B．{1，3} C．{0，1，3} D．{2}參考答案：B【考點】交集及其運算．【專題】計算題．【分析】根據題意，分析集合A與B的全部元素，由交集的定義即可得答案．【解答】解：根據題意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，則A∩B={1，3}；故選B．【點評】本題考查集合交集的計算，關鍵是理解交集的含義．7.下列各組函數中，表示同一函數的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略8.如果點同時位于函數及其反函數的圖象上，則的值分別為（

）。

A、

B、

C、

D、參考答案：A9.若

=(2,3),=(4,-1+y)，且，則

（

）A、6

B、5

C、7

D、8

參考答案：C略10.若，且，則角是（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第四象限

D．第三象限參考答案：D因為，所以角在第二、三象限，因為，所以所以角在第四、三象限，因此角在第三象限，

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件；（1）焦點在y軸上；

（2）焦點在x軸上；（3）拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；（4）拋物線的通徑的長為5；（5）由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）．其中適合拋物線y2=10x的條件是(要求填寫合適條件的序號）

______．參考答案：(2)

(5)12..如圖在△ABC中，已知，，E，F分別是邊AB，AC上的點，且，，其中，且，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則的最小值為____．參考答案：【分析】連接，由向量的數量積公式求出，利用三角形中線的性質得出，再根據向量的數量積公式和向量的加減的幾何意義得，結合二次函數的性質可得最小值.【詳解】連接，在等腰三角形中，，所以,因為是三角形的中線，所以，同理可得，由此可得，兩邊平方并化簡得,由于，可得，代入上式并化簡得，由于，所以當時，取得最小值，所以的最小值為.【點睛】本小題主要考查平面向量的數量積運算，考查二次函數最值的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分析與解決問題的能力，綜合性較強，屬于難題.13.數列{an}的通項公式為an＝已知它的前n項和Sn＝6，則項數n等于：

參考答案：4814.角α的終邊經過點，且,則__________.參考答案：或1

15.已知等差數列{an}的公差d不為0，且成等比數列，則

。參考答案：216.關于下列命題：①函數在第一象限是增函數；②函數是偶函數；

③函數的一個對稱中心是（，0）；④函數在閉區間上是增函數；寫出所有正確的命題的題號：

。參考答案：①③略17.數據的方差為，平均數為，則數據的標準差為，，平均數為

參考答案：，略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，已知菱形ABCD的頂點和，AB所在直線的方程為.（1）求對角線BD所在直線的方程；（2）求AD所在直線的方程.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根據坐標求得和中點；根據菱形特點可知對角線互相垂直且平分，可得直線斜率和在直線上，利用點斜式寫出直線方程；（2）由直線和的方程解得點坐標，從而求得；由平行關系可知，利用點斜式寫出直線方程.【詳解】（1）由和得：，中點四邊形為菱形

，且為中點，對角線所在直線方程為：，即：（2）由，解得：

直線的方程為：，即：【點睛】本題考查直線方程的求解問題，關鍵是能夠通過菱形的特點得到所求直線斜率與已知斜率之間的關系，從而運用直線點斜式方程求得結果.19.已知≤≤1，若函數在區間[1，3]上的最大值為，最小值為，令．

（1）求的函數表達式；

（2）判斷函數在區間[，1]上的單調性，并求出的最小值.參考答案：（2）設則

上是減函數.

……………10分

設

則上是增函數.…12分∴當時，有最小值．…14分20.已知函數f（x）=|x+3|﹣|x+a|是R上的奇函數．（1）求實數a的值；（2）畫出函數f（x）的圖象；

（3）寫出函數f（x）的值域．參考答案：【考點】函數的圖象；函數的值域．【專題】作圖題；數形結合；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】（1）根據函數為奇函數，得到f（0）=0，得a=﹣3，（2）化為分段函數，畫圖即可，（3）由圖象可得得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+3|﹣|x+a|是R上的奇函數．∴f（0）=0，得a=﹣3，當a=﹣3時，f（x）=|x+3|﹣|x﹣3|，f（﹣x）=|﹣x+3|﹣|﹣x﹣3|=|x﹣3|﹣|x+3|=﹣f（x），滿足題意∴a=﹣3，（2），如圖所示．（3）由圖象可知f（x）的值域是[﹣6，6]．【點評】本題考查了函數的奇偶性，函數圖象的畫法，以及函數的值域，屬于基礎題．21.已知點關于直線的對稱點為，且對直線恒過定點，設數列{an}的前n項和Sn，且,(1)求數列{an}的通項公式;(2)設Tn為數列的前n項和，證明:對一切正整數n,有參考答案：(1)；(2)見證明【分析】（1）先通過點線的位置關系求出的值，再帶入與的關系式中，再利用公式求出（2）由（1）知，再利用放縮法證明不等式?！驹斀狻拷猓?1)由已知解得，.

①當時,

②由①—②得

數列是以首項為,公差為1的等差數列.當時,上式顯然成立,(2)證明:由(2)知,①當時,,原不等式成立.②當時,,原不等式亦成立.③當時,當時,原不等式亦成立.綜上,對一切正整數,有.【點睛】關于的常見放縮有。22.已知復數在復平面內所對應的點為A．（1）若復數為純虛數，求實數m的值；（2）若點A在第二象限，求實數m的取值范圍；（3）求的最小值及此時實數m的值．參考答案：（1）由…………2分解得……………………