第四章§1A級基礎鞏固1．函數f(x)＝－x2＋4x－4在區間[1,3]上eq\x(導學號00814956)(B)A．沒有零點 B．有一個零點C．有兩個零點 D．有無數個零點[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故選B．2．函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖像是不間斷的，并且f(a)·f(b)<0，則這個函數在該區間上eq\x(導學號00814957)(D)A．只有一個零點 B．有二個零點C．不一定有零點 D．至少有一個零點[解析]若y＝f(x)在[a，b]上單調，f(a)·f(b)<0說明只有一個零點且為變號零點．若不單調，零點個數有可能多于一個．故選D．3．函數f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上eq\x(導學號00814958)(C)A．有3個零點 B．有2個零點C．有1個零點 D．沒有零點[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一個零點．4．下列圖像表示的函數中能用二分法求零點的是eq\x(導學號00814959)(C)[解析]A中函數沒有零點，因此不能用二分法求零點；B中函數的圖像不連續；D中函數在x軸下方沒有圖像，故選C．5．已知連續函數y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，則y＝f(x)eq\x(導學號00814960)(B)A．在區間[a，b]中可能沒有零點B．在區間[a，b]中至少有一個零點C．在區間[a，b]中零點的個數為奇數D．在區間[a，b]中零點的個數為偶數[解析]因為f(a)·f(b)<0，所以由函數零點的性質判斷，得f(x)在區間[a，b]中至少存在一個零點．6．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)內近似解的過程中得f(1)<0，f>0，f<0，則方程的根落在區間eq\x(導學號00814961)(A)A．, B．(1,C．,2) D．不能確定[解析]∵f>0，f<0，∴根落在區間,間，故選A．7.若函數y＝mx2＋x－2沒有零點，則實數m的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,8)).eq\x(導學號00814962)[解析]當m＝0時，函數有零點，所以應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0,Δ＝1＋8m<0，))解得m<－eq\f(1,8).8．已知函數f(2x)＝3x2＋1，則f(x＋5)有_0__個零點.eq\x(導學號00814963)[解析]∵f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝eq\f(3x2,4)＋1，∴y＝f(x＋5)＝eq\f(3x＋52,4)＋1，令y＝0，方程無解．即f(x＋5)無零點．9．求證：方程5x2－7x－1＝0的根一個在區間(－1,0)上，另一個在區間(1,2)上.eq\x(導學號00814964)[解析]設f(x)＝5x2－7x－1，則f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.而二次函數f(x)＝5x2－7x－1是連續的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一個零點，即方程5x2－7x－1＝0的根一個在(－1,0)上，另一個在(1,2)上．10．求函數y＝x3－4x的零點，并畫出它的圖像.eq\x(導學號00814965)[解析]∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函數y＝x3－4x的零點為0，－2,2，這三個零點把x軸分成4個區間：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在這4個區間內，取x的一些值(包括零點)．列出這個函數的對應值表：x…－－2－1－012…y…－030－－30…在直角坐標系中描點作圖，圖像如圖所示：B級素養提升1．根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈的一個根所在的區間是eq\x(導學號00814966)(C)x－10123ex1x＋212345A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判斷ex－(x＋2)＝0的一個根所在的區間轉化為f(x)＝ex－(x＋2)零點的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝－4>0.∴零點在(1,2)內．2．對于函數f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，則函數f(x)在區間(a，b)內eq\x(導學號00814967)(C)A．一定有零點 B．一定沒有零點C．可能有兩個零點 D．至多有一個零點[解析]如圖，若函數f(x)的圖像及給定的區間(a，b)如圖(1)或圖(2)所示，可知A錯，若如圖(3)所示，可知B錯、D錯，C對．3．已知函數f(x)的圖像是連續不斷的，且有如下的對應值表：eq\x(導學號00814968)x－2－101234567f(x)－136－2161913－1－8－2429則下列判斷正確的是_(1)(2)(3)__．(1)函數f(x)在區間(－1,0)內至少有一個零點；(2)函數f(x)在區間(2,3)內至少有一個零點；(3)函數f(x)在區間(5,6)內至少有一個零點；(4)函數f(x)在區間(－1,7)內有三個零點．[解析]觀察對應值表，不難得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函數f(x)在區間(－1,0)，(2,3)，(5,6)內至少各有一個零點．而(－1,7)內至少有三個零點．故應填(1)(2)(3)．4．(2023·北京高考)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1.))eq\x(導學號00814969)①若a＝1，則f(x)的最小值為_－1__；②若f(x)恰有2個零點，則實數a的取值范圍是eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.[解析]①a＝1時f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1.))函數f(x)在(－∞，1)上為增函數，函數值大于1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))為減函數，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))為增函數，當x＝eq\f(3,2)時，f(x)取得最小值為－1；②若函數f(x)＝2x－a在x<1時與x軸有一個交點，則a>0，并且當x＝1時，f(1)＝2－a>0，則0<a<2，函數f(x)＝4(x－a)(x－2a)與x軸有一個交點，所以2a≥1且a<1?eq\f(1,2)≤a<1；若函數f(x)＝2x－a與x軸無交點，則函數f(x)＝4(x－a)(x－2a)與x軸兩個交點，當a≤0時f(x)與x軸無交點，f(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1與x軸無交點，不合題意；當f(1)＝2－a≥0時，a≥2，f(x)與x軸有兩個交點，x＝a和x＝2a，由于a≥2，兩交點橫坐標均滿足x≥1；綜上所述a的取值范圍eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.5．圖像連續不間斷的函數f(x)的部分對應值如表所示：eq\x(導學號00814970)x123456789f(x)148－2273－2－18試判斷函數f(x)在哪幾個區間內一定有零點？[解析]∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函數f(x)圖像又是連續不間斷的，∴一定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，即f(x)在(2,3)內有零點．同理，f(x)在區間(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零點，而且是變號零點．6．中央電視臺曾有一檔娛樂節目“幸運52”，主持人李詠會給選手在限定時間內猜某一物品售價的機會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標．某次猜一種品牌的手機，手機價格在500～1000元之間．選手開始報價：1000元，主持人回答：高了；緊接著報價900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分，實際上，游戲報價的過程體現了“逼近”的數學思想，你能設計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎？eq\x(導學號00814971)[解析]取價格區間[500,1000]的中點750，如果主持人說低了，就再取[750,1000]的中點875；否則取另一個區間[500,750]的中點；若遇到小數，則取整數．照這樣的方案，游戲過程猜價如下：750,875,812,843,859,851，經過6次可以猜中價格．C級能力拔高求函數f(x)＝x3－x－1在區間[1,]內的一個零點(精確到.eq\x(導學號00814972)[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f＝－－1＝>0，∴f(x)在區間[1,]內存在零點，取區間[1,]作