第二章§4一、選擇題1．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝()A．e2 B．e\f(ln2,2) D．ln2解析：由已知有f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，所以f′(x0)＝2?lnx0＋1＝2?x0＝e.答案：B2．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：y′＝[(x＋1)2(x－1)]′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′|x＝1＝4.答案：D3．曲線(xiàn)f(x)＝eq\f(1,5)x5上一點(diǎn)M處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝－x＋3垂直，則該切線(xiàn)方程為()A．x－y＋1＝0 B．x－y＋5＝0C．5x－5y±4＝0 D．不確定解析：設(shè)M(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝\f(1,5)x\o\al(5,0),x\o\al(4,0)＝1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1,y0＝\f(1,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1,y0＝－\f(1,5)))即切點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,5)))所求切線(xiàn)方程為y±eq\f(1,5)＝x±1即5x－5y±4＝0.答案：C4．已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則α的取值范圍是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k，則k＝y(tǒng)′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，因?yàn)閑x＞0，所以由均值不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.答案：D二、填空題5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(1)＝________________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)答案：－26．若曲線(xiàn)y＝x3－2x＋a與直線(xiàn)y＝x＋1相切，則常數(shù)a＝______________.解析：由y′＝3x2－2＝1得切點(diǎn)為(1,2)和(－1,0)當(dāng)x＝1時(shí)有a－1＝2，∴a＝3當(dāng)x＝－1時(shí)有1＋a＝0，∴a＝－1答案：3或－1三、解答題7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)；(3)f(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx)；(4)f(x)＝lgx－3x.解析：(1)因?yàn)閒(x)＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6，所以f′(x)＝2x－1；(2)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(－2,x3)＝eq\f(2,x3)－eq\f(1,x2)＝eq\f(2－x,x3)；(3)因?yàn)閒(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx)，所以f′(x)＝eq\f(cosx1＋sinx－sinxcosx,1＋sinx2)＝eq\f(cosx,1＋sinx2)；(4)因?yàn)閒(x)＝lgx－3x，所以f′(x)＝eq\f(1,xln10)－3xln3.8．已知曲線(xiàn)方程y＝x2，求過(guò)點(diǎn)B(3,5)且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程．解析：設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線(xiàn)斜率k＝f′(x0)＝2x0，故切線(xiàn)方程為y－y0＝2x0(x－x0)，∵P(x0，y0)在曲線(xiàn)上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，∴切線(xiàn)方程為：y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)又(3,5)在切線(xiàn)上，將(3,5)代入上式得：5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)，故所求切線(xiàn)方程為y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.9．設(shè)函數(shù)y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，且曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為12x－y－4＝0.若函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處有水平切線(xiàn)，試確定函數(shù)的解析式．解析：∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸的交點(diǎn)為P，∴P的坐標(biāo)為P(0，d)．又∵曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y＝12x－4，點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，從而d＝－4.又∵切線(xiàn)斜率k＝12，故在x＝0處的導(dǎo)數(shù)y′|x＝0＝12，而y′＝3