2023學年內蒙古鄂爾多斯一中高一（下）第一次月考數學試卷（文科）一、選擇題（每小題5分，共60分）1．sin300°=（）A． B． C． D．2．函數是（）A．周期為π的奇函數 B．周期為π的偶函數C．周期為的奇函數 D．周期為的偶函數3．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內切4．若，化簡=（）A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθ C．±（sinθ﹣cosθ） D．sinθ+cosθ5．已知，則的值為（）A． B． C． D．6．若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點P（a，b）與圓的位置關系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．不能確定7．已知角α的終邊上一點的坐標為（），角α的最小正值為（）A． B． C． D．8．已知點A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則實數a的值等于（）A． B．﹣ C．﹣或﹣ D．或9．記sin（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B． C． D．10．在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點的坐標是（）A．（） B．（ C．（﹣） D．11．同時具有以下性質：“①最小正周期是π；②圖象關于直線x=對稱；③在上是增函數；④一個對稱中心為”的一個函數是（）A． B． C． D．12．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上是增函數．令a=f（sin50°），b=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c二.填空題（每小題5分，共20分）13．在平面直角系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角α、β的終邊分別與單位圓交于點（，）和（﹣，），那么sinαcosβ等于．14．已知，且α∈（0，π）則tanα=．15．求已知點P（5，0）及圓C：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0，若直線l過點P且被圓C截得的弦AB長是8，則直線l的方程是．16．若關于x的方程=kx+2只有一個實數根，則k的取值范圍為．三．解答題（本大題共6小題，共70分）．17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，點A（3，5）．（1）求過點A的圓的切線方程；（2）O點是坐標原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S．19．已知函數（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象；（2）指出f（x）的周期和單調減區間．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中點，F是AB中點，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C﹣AB1E的體積．21．已知a＞0，函數，當時，﹣5≤f（x）≤1（1）求常數a，b的值；（2）當時，求f（x）的最大值與最小值及相應的x的值．22．在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在x軸上、半徑為2的圓C位于y軸右側，且與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）在圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

2023學年內蒙古鄂爾多斯一中高一（下）第一次月考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共60分）1．sin300°=（）A． B． C． D．【考點】誘導公式的作用．【分析】直接根據誘導公式轉化求解計算即可．【解答】解：sin300°=sin（﹣60°+360）=sin（﹣60°）=﹣sin60°=故選A．2．函數是（）A．周期為π的奇函數 B．周期為π的偶函數C．周期為的奇函數 D．周期為的偶函數【考點】三角函數的周期性及其求法．【分析】利用誘導公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的奇偶性和周期性，得出結論．【解答】解：∵函數=4cos（4x﹣）=4sin4x是奇函數，且它的周期為=，故選：C．3．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內切【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【分析】求出半徑，求出圓心，看兩個圓的圓心距與半徑的關系即可．【解答】解：圓O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1圓O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴兩圓的位置關系是相交．故選B4．若，化簡=（）A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθ C．±（sinθ﹣cosθ） D．sinθ+cosθ【考點】三角函數的化簡求值．【分析】直接利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可．【解答】解：，cosθ＞sinθ．==|sinθ﹣cosθ|=cosθ﹣sinθ．故選：B．5．已知，則的值為（）A． B． C． D．【考點】三角函數的化簡求值．【分析】根據誘導公式化簡可求值．【解答】解：由=cos（π﹣﹣x）=﹣cos（+x）∵，∴=﹣．故選B．6．若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點P（a，b）與圓的位置關系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．不能確定【考點】直線與圓的位置關系．【分析】因為直線與圓相交，所以圓心到直線的距離小于半徑，求出圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出圓心到該直線的距離小于圓的半徑得到關于a和b的關系式，然后再根據點與圓心的距離與半徑比較即可得到P的位置．【解答】解：由圓x2+y2=1得到圓心坐標為（0，0），半徑為1，因為直線與圓相交，所以圓心到該直線的距離d=＜1，即a2+b2＞1即P點到原點的距離大于半徑，所以P在圓外．故選：B．7．已知角α的終邊上一點的坐標為（），角α的最小正值為（）A． B． C． D．【考點】終邊相同的角．【分析】將點的坐標化簡，據點的坐標的符號判斷出點所在的象限，利用三角函數的定義求出角α的正弦，求出角α的最小正值【解答】解：=∴角α的終邊在第四象限∵到原點的距離為1∴∴α的最小正值為故選D8．已知點A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則實數a的值等于（）A． B．﹣ C．﹣或﹣ D．或【考點】點到直線的距離公式．【分析】因為A和B到直線l的距離相等，根據點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即得到a的值．【解答】解：由題意知點A和點B到直線l的距離相等得到=，化簡得6a+4=﹣3a﹣3或6a+4=3a+3解得a=﹣或a=﹣．故選C9．記sin（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B． C． D．【考點】三角函數的化簡求值．【分析】先利用同角三角函數的基本關系式以及誘導公式求cos80°，然后化切為弦，即可求得tan100°．【解答】解：∵sin（﹣80°）=k，∴sin80°=﹣k，∴cos80°=，∴tan100°=﹣tan80°=．故選：C．10．在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點的坐標是（）A．（） B．（ C．（﹣） D．【考點】點到直線的距離公式；直線與圓的位置關系．【分析】在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點，必在過圓心與直線4x+3y﹣12=0垂直的直線上，求此線與圓的交點，根據圖象可以判斷坐標．【解答】解：圓的圓心（0，0），過圓心與直線4x+3y﹣12=0垂直的直線方程：3x﹣4y=0，它與x2+y2=4的交點坐標是（），又圓與直線4x+3y﹣12=0的距離最小，所以所求的點的坐標（）．圖中P點為所求；故選A．11．同時具有以下性質：“①最小正周期是π；②圖象關于直線x=對稱；③在上是增函數；④一個對稱中心為”的一個函數是（）A． B． C． D．【考點】三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性．【分析】根據題意，求解出ω和φ，考查在上是增函數；一個對稱中心為可得答案．【解答】解：由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②圖象關于直線x=對稱；可得：+φ=，k∈Z．對于D選項：φ=﹣，不滿足，排除D；④一個對稱中心為”帶入函數y中，B選項不滿足．排除B；故選C．12．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上是增函數．令a=f（sin50°），b=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】將自變量調整到同一單調區間內，根據單調性比較a、b、c的大小．【解答】解：b=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則b=f（cos50°），c=f（tan50°），因為45°＜50°＜90°，所以cos50°＜sin50°＜tan50°，因為函數在區間[0，+∞）上是增函數，所以b＜a＜c，故選：A．二.填空題（每小題5分，共20分）13．在平面直角系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角α、β的終邊分別與單位圓交于點（，）和（﹣，），那么sinαcosβ等于﹣．【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】利用任意角的三角函數定義求出sinα與cosβ的值，代入原式計算即可得到結果．【解答】解：∵角α、β的終邊分別與單位圓交于點（，）和（﹣，），∴sinα==，cosβ==﹣，則sinαcosβ=﹣，故答案為：﹣．14．已知，且α∈（0，π）則tanα=﹣．【考點】三角函數的化簡求值．【分析】根據同角的三角函數關系，求出sinα、cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：，∴cosα=﹣﹣sinα；∴sin2α+cos2α=sin2α+=1，即2sin2α+sinα﹣=0，解得sinα=或sinα=﹣；又α∈（0，π），∴sinα=，cosα=﹣﹣=﹣；∴tanα==．故答案為：﹣．15．求已知點P（5，0）及圓C：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0，若直線l過點P且被圓C截得的弦AB長是8，則直線l的方程是x﹣5=0或7x+24y﹣35=0．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】當直線l2的斜率不存在時，利用垂徑定理算出弦AB的長為8，此時l2方程為x=5符合題意；當直線l2的斜率存在時設l2的方程為y=k（x﹣5），利用點到直線的距離公式和垂徑定理加以計算，可得k=﹣，得到l2方程為7x+24y﹣35=0．最后加以綜合即可得到滿足條件的直線l2的方程．【解答】解：①當直線l2的斜率不存在時，其方程為x=5，∵圓心C到x=5距離等于3，∴弦AB的長為2=8，滿足題意；②當直線l2的斜率存在時，設l2方程為y=k（x﹣5），∵弦AB長是8，∴圓心C到直線l2的距離d==3，∵l2方程為y=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k=0，∴=3，解之得k=﹣，可得直線l2方程是7x+24y﹣35=0綜上所述，可得直線l2方程為x﹣5=0或7x+24y﹣35=0，故答案為x﹣5=0或7x+24y﹣35=0．16．若關于x的方程=kx+2只有一個實數根，則k的取值范圍為k=0或k＞1或k＜﹣1．【考點】直線與圓的位置關系；函數的圖象．【分析】設已知方程的左邊為y1，右邊為y2，故y2表示圓心為原點，半徑為2的半圓，y2表示恒過定點（0，2）的直線，畫出兩函數的圖象，如圖所示，則原方程要只有一個實數根，即要半圓與直線只有一個公共點，根據圖象可知當直線與半圓相切時滿足題意，求出此時k的值，再求出兩個特殊位置，直線再過（2，0），求出此時k的值，當k小于求出的值時滿足題意，同時求出直線過（﹣2，0）時k的值，當k大于求出的值時滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的k的范圍．【解答】解：設y1=，y2=kx+2，則y1表示圓心為原點，半徑為2的x軸上方的半圓，y2表示恒過（0，2）的直線，畫出兩函數圖象，如圖所示，根據圖象可得：當直線與半圓相切，即直線為y=2時，直線與半圓只有一個公共點，即方程=kx+2只有一個實數根，此時k=0；當直線過（0，2）和（2，0）時，直線的斜率為﹣1，則當k＜﹣1時，直線與半圓只有一個公共點，即方程=kx+2只有一個實數根；當直線過（0，2）和（﹣2，0）時，直線的斜率為1，則當k＞1時，直線與半圓只有一個公共點，即方程=kx+2只有一個實數根，綜上，滿足題意的k的范圍是k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案為：k=0或k＞1或k＜﹣1三．解答題（本大題共6小題，共70分）．17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系求得cosα的值，可得tanα的值．（2）利用誘導公式、同角三角函數的基本關系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵，∴cosα==，∴tanα==2．（2）====﹣10．18．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，點A（3，5）．（1）求過點A的圓的切線方程；（2）O點是坐標原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S．【考點】圓的切線方程．【分析】（1）先把圓轉化為標準方程求出圓心和半徑，再設切線的斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，然后可得切線方程．（2）先求OA的長度，再求直線AO的方程，再求C到OA的距離，然后求出三角形AOC的面積．【解答】解：（1）因為圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0?（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．所以圓心為（2，3），半徑為1．當切線的斜率存在時，設切線的斜率為k，則切線方程為kx﹣y﹣3k+5=0，所以=1，所以k=，所以切線方程為：3x﹣4y+11=0；而點（3，5）在圓外，所以過點（3，5）做圓的切線應有兩條，當切線的斜率不存在時，另一條切線方程為：x=3．（2）|AO|==，經過A點的直線l的方程為：5x﹣3y=0，故d=，故S=d|AO|=19．已知函數（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象；（2）指出f（x）的周期和單調減區間．【考點】五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象；正弦函數的單調性．【分析】（1）令+=0，，π，，2π，得到相應的x的值，列表描點即可；（2）利用周期公式求周期；由它在一個周期內的閉區間上的圖象可得到其單調減區間．【解答】解：（1）列表如下：+0π2πx﹣y36303作圖：（2）周期4π；函數f（x）的單調減區間+∈[+2kπ，+2kπ]，即x∈[+4kπ，+4kπ]（k∈Z）．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中點，F是AB中點，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C﹣AB1E的體積．【考點】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）取AB1的中點G，聯結EG，FG，由已知條件推導出四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等積法能求出三棱錐C﹣AB1E的體積．【解答】（1）證明：取AB1的中點G，聯結EG，FG∵F，G分別是棱AB、AB1的中點，∴又∵∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴點B到平面AEB1的距離為BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距離等于點B到平面ACE的距離，即為2，∴===．21．已知a＞0，函數，當時，﹣5≤f（x）≤1（1）求常數a，b的值；（2）當時，求f（x）的最大值與最小值及相應的x的值．【考點】三角函數的最值．【分析】（1）根據x∈[0，]求出2x+的取值范圍，再根據題意