第第頁中考數學模試題匯總《銳角三角函數》練習題（含答案）一、填空題1．如圖，正方形ABCD中，將線段BC繞點C順時針旋轉60°得到線段CE，連接BE、DE，若正方形邊長為2，則圖中陰影部分的面積是_____．2．京西某游樂園的摩天輪采用了國內首創的橫梁結構，是市民周末休閑的好去處．如圖，如果該摩天輪的直徑為88米，最高點距地面100米，勻速運行一圈所需的時間是18分鐘．但受周邊建筑物影響，如果乘客與地面距離不低于34米時為最佳觀景期，那么在摩天輪運行的一圈中最佳觀景的時長為________分鐘．

二、解答題3．計算：．4．計算：．5．計算：．6．計算：．7．計算：．8．計算：．9．（如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊中點，過D點作AB的垂線交BC于點E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．(1)求證：四邊形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，連接CD，求CD的長．10．如圖，在矩形中，，相交于點O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．11．如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在線段BD上，點F在BD的延長線上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長．12．如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，過點C作CFEB交AB的延長線于點F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長14．如圖，BE是⊙O直徑，點A是⊙O外一點：OA⊥OB，AP切⊙O于點P，連接BP交AO于點C．(1)求證：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，，求BP的長．15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，連接AC、BC，過O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求證：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的長．16．如圖，為的直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．17．如圖，是的外接圓，AB是的直徑，點D為的中點，的切線DE交OC延長線于點E．(1)求證：；(2)連接BD交AC于點P，若，，求DE和BP的長．18．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在弧BC上，AF與CD交于點G，點H在DC的延長線上，且HG=HF，延長HF交AB的延長線于點M．(1)求證：HF是⊙O的切線；(2)若，BM=1，求AF的長．19．如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點（Q在P，H之間）．我們把點P稱為⊙I關于直線a的“遠點”，把PQ·PH的值稱為⊙I關于直線a的“特征數”．(1)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標軸交于點A，B，C，D．①過點E作垂直于y軸的直線m﹐則⊙O關于直線m的“遠點”是點__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關于直線m的“特征數”為_____________；②若直線n的函數表達式為，求⊙O關于直線n的“特征數”；(2)在平面直角坐標系xOy、中，直線l經過點M（1，4），點F是坐標平面內一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點N（–1，0）是⊙F關于直線l的“遠點”，且⊙F關于直線l的“特征數”是，直接寫出直線l的函數解析式．20．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，對于直線，給出如下定義：若直線與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線關于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，的半徑為1，當k=1,b=1時，直接寫出直線關于的“圓截距”；(2)點M的坐標為，①如圖2，若的半徑為1，當時，直線關于的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線關于的“圓截距”的最小值為2，直接寫出b的值．21．我們規定：在平面直角坐標系中，如果點到原點的距離為，點到點的距離是的整數倍，那么點就是點的倍關聯點．(1)當點的坐標為時，①如果點的2倍關聯點在軸上，那么點的坐標是；②如果點是點的倍關聯點，且滿足，．那么的最大值為________；(2)如果點的坐標為，且在函數的圖象上存在的2倍關聯點，求的取值范圍．22．在平面直角坐標系中，的半徑為2．對于直線和線段BC，給出如下定義：若將線段BC沿直線l翻折可以得到的弦（，分別是B，C的對應點），則稱線段BC是以直線l為軸的的“關聯線段”．例如：在圖1中，線段BC的是以直線l為軸的的“關聯線段”．(1)如圖2，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數．在線段，，中，以直線l為軸的的“關聯線段”是______；(2)△ABC是邊長為a的等邊三角形，點，若BC是以直線l為軸的的“關聯線段”，求a的值；(3)如果經過點的直線上存在以直線l為軸的的“關聯線段”，直接寫出這條直線與y軸交點的縱坐標m的取值范圍．參考答案1．【解析】【分析】由旋轉的性質可知，，，，到邊上的高；到邊上的高，根據，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，∵∴∴到邊上的高；到邊上的高∴故答案為：

．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，正弦等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．12【解析】【分析】先計算出圓的底端距離地面的距離為12，從而得到圓的底部到弦的距離為22，從而計算出弦所對的圓心角，用弧長公式計算劣弧的長，周長減去劣弧的長得到最佳觀賞路徑長，除以運動速度即可．【詳解】解：如下圖所示，根據題意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圓轉動的速度為，∴最佳觀賞時長為÷=12（分鐘），故答案為：12．【點睛】本題考查了垂徑定理，弧長公式，特殊角的三角函數，解題的關鍵是熟練掌握弧長公式，靈活運用特殊角的三角函數．3．【解析】【分析】根據特殊角三角函數值，負整數指數冪，絕對值，以及二次根式的性質進行求解即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數值，負整數指數冪，絕對值，以及二次根式的性質，實數的運算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．4．5【解析】【分析】先根據絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負整數指數冪及二次根式的性質進行化簡計算，再按照從左到右的運算順序計算即可．【詳解】原式【點睛】本題考查了實數的混合運算，涉及絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負整數指數冪及二次根式的性質，熟練掌握運算法則及順序是解題的關鍵．5．【解析】【分析】根據特殊三角函數值、負整數指數冪、零指數冪的法則、二次根式的化簡進行計算即可．【詳解】解：＝2×－4＋1－＝－4＋1－【點睛】本題考查了特殊三角函數值、負整數指數冪、零指數冪的法則、二次根式的運算等知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．6．-1【解析】【分析】根據實數的計算，把各個部分的值求出來進行計算即可．【詳解】解：原式===-1．【點睛】本題考查了實數的混合運算，準確記憶特殊角的銳角三角函數值、絕對值化簡、零指數冪、二次根式的化簡是解題的關鍵．7．【解析】【分析】先分別根據特殊角的三角函數值、二次根式的化簡、絕對值的性質及0指數冪的計算法則，計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查的是實數的運算，熟知0指數冪及負整數指數冪的計算法則、特殊角的三角函數值及絕對值的性質是解答此題的關鍵．8．3【解析】【分析】直接利用二次根式的性質、絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．【詳解】解：原式【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值、實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．9．(1)見解析(2)2【解析】【分析】（1）根據菱形的判定條件：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形進行證明即可；（2）先證明∠AEC=∠EBF，從而求出CE=3，，BC=8，利用勾股定理求出AB的長，即可利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長．(1)解：∵D是AB的中點，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；(2)解：∵四邊形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中點，∠ACB=90°，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，熟知菱形的性質與判定條件是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)根據矩形的性質得出OA=OB，進而利用菱形的判定解答即可；(2)根據菱形的性質及面積公式，解直角三角形即可求得．(1)證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形(2)解：如圖：連接EO，交AB于點F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，作出輔助線是解決本題的關鍵．11．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質得到，再由菱形的判定定理即可得到結論；（2）先求出，由勾股定理得出BD的長度，解直角三角形求出AF的長度，再由菱形的性質即可求解．(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四邊形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四邊形AECF是菱形【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、菱形的判定和性質、勾股定理及利用同角的三角函數關系求值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．12．(1)證明見解析(2)BC的長為【解析】【分析】（1）先判定，再根據題中所給的條件即可利用平行四邊形判定定理證出；（2）根據三角函數值設，，利用平行四邊形性質得到平行及線段相等，從而根據確定的相似比代值求解即可．(1)證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；(2)解：在中，，設，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．【點睛】本題考查了平行線的判定、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數定義等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）先證明四邊形BFCE是平行四邊形，再根據即可求證；（2）利用矩形的性質得到，根據得到，根據勾股定理求解即可．(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵∴∴四邊形是矩形．(2)解：∵四邊形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理以及三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．14．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，由切線的性質及垂直條件可得，再由等腰三角形的性質即可證得結果；（2）過點作于點，，設，則可求得OB，從而可得k的值，則在中由勾股定理即可求得PB的長．(1)證明：連接∵切⊙O于點∴∴∵OA∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∴(2)解：過點作于點∵∴∴設∴由勾股定理得：∵⊙O半徑為5∴∴∴∴∴在中，【點睛】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理及正切函數的定義等知識，連接半徑是關鍵．15．(1)見解析(2)，【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OC，先證明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可證∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可證∠DOF=∠OAC，即可證明∠DOF=∠DCB；（2）先證△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，則CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，則，，即可得到，可證△OFD∽△ACD，得到，則．(1)解：如圖所示，連接OC，∵CD是圓O的切線，AB是圓O的直徑，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；(2)解：設OF與BC交于點G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可證△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓切線的性質，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，平行線的性質，等腰三角形的性質，直徑所對的圓周角是直角等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．16．(1)證明見詳解(2)【解析】【分析】（1）連接OC，可證明，推導出，又因為，可得，即可證明，即平分；（2）連接BC，由為的直徑可證明，由（1）可知，利用三角函數分別解、，解得AC、AD長度，再由勾股定理計算CD的長即可．(1)證明：如圖1，連接OC，∵CD為切線，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；(2)解：如圖2，連接BC，∵為的直徑，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質、圓周角定理、三角函數解直角三角形以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．17．(1)見解析(2)，【解析】【分析】（1）連接OD，用垂徑定理的推論和切線性質定理證明；（2）設OD與AC交點為F，連接AD，根據∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的長，證明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根據相似比求出DE的長；根據三角形中位線定理求出OF的長，得到DF的長，用勾股定理求出AD的長，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的長(1)連接OD，∵點D是的中點，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切線，∴DE⊥OD，∴DE∥AC(2)設OD與AC交點為F，連接AD，則∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴【點睛】本題主要考查了垂徑定理，切線性質定理，平行線的判定，圓周角定理推論，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理，銳角三角函數，解題的關鍵是連接OD，AD，熟練運用上述性質和判定定理解答18．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接OF，根據CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根據OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求證；（2）連接BF，先證得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，從而得到，然后由勾股定理，即可求解．(1)證明：連接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切線；(2)解：如圖，連接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了圓的綜合題，熟練掌握切線的判定，相似三角形的判定和性質，理解銳角三角函數是解題的關鍵．19．(1)①D；10；②⊙O關于直線n的“特征數”為6；(2)或【解析】【分析】（1）①根據題干中“遠點”及“特征數”的定義直接作答即可；②過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，首先判斷直線n也經過點E（0，4），在中，利用三角函數求出∠EFO=60°，進而求出PH的長，再根據“特征數”的定義計算即可；（2）連接NF并延長，設直線l的解析式為y=kx+b1,用待定系數法得到，再根據兩條直線互相垂直，兩個一次函數解析式的系數k互為負倒數的關系可設直線NF的解析式為y=x+b2,用待定系數法同理可得，消去b1和b2，得到關于m、n的方程組；根據⊙F關于直線l的“特征數”是，得出NA=，再利用兩點之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點A的坐標，再根據待定系數法求直線l的函數表達式．注意有兩種情況，不要遺漏．(1)解：（1）①⊙O關于直線m的“遠點”是點D，⊙O關于直線m的“特征數”為=2×5=10；②如下圖：過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，∵直線n的函數表達式為，當x=0時，y=4；當y=0時，x=，∴直線n經過點E（0，4），點F（，0），在中，∵==4334=，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關于直線n的“特征數”為6；(2)如下圖，∵點F是圓心，點是“遠點”，∴連接NF并延長，則直線NF⊥直線l，設NF與直線l的交點為點A（m，n），設直線l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線NF⊥直線l，∴設直線NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點A的坐標為（，）；又∵⊙F關于直線l的“特征數”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；當k=-1時，m=2，n=3，∴點A的坐標為（2，3），把點A（2，3）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為；當k=時，m=，n=，∴點A的坐標為（，），把點A（，）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為．∴直線l的解析式為或．【點睛】本題是一次函數與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關系、一次函數的圖象和性質、解直角三角形等，理解“遠點”和“特征數”的意義，熟練掌握一次函數的圖象和性質、兩點之間距離公式、兩條直線互相垂直的兩個一次函數解析式中系數k互為負倒數的關系是解題的關鍵．20．(1)(2)①或

②-≤b≤【解析】【分析】(1)直線與圓的交點分別為A(0，1)和B(-1，0)，則OA=OB=1，根據勾股定理計算即可．(2)①根據圓的垂徑定理，確定弦長為時，弦的位置，注意分類，確定直線的解析式，根據直線的增減性，確定k的范圍．②分最短弦長2的弦在x軸上方和下方，兩種情形求解．(1)解：如圖1，∵，∴直線的解析式為y=x+1，∴直線與y軸的交點為A(0，1)，與x軸的交點為B(-1，0)，∵的半徑為1，∴圓O與y軸的正半軸交點為A(0，1)，與x軸的負半軸交點為B(-1，0)，∴直線關于該圓的“圓截距”為AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如圖2，設直線與y軸正半軸交點為A，且A(0，1)∵點M的坐標為，的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點為B(2，0)，當時，直線的解析式為y=kx+1，當直線經過點B時，2k+1=0，解得k=；過點M作MF⊥AB，垂足為F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵MB=1，sin∠ABO=，∴，，設直線AB與圓M的另一個交點為C，則BC=2BF=，∵關于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；設直線AM與圓的一個交點為N，∵點A(0，1)，點M的坐標為，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根據圓的對稱性，直線AB和直線AD關于直線AN對稱，此時ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐標為(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直線AD的解析式為y=-2x+1，∵關于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；綜上所述，k的取值范圍是或．②如圖3，設圓M與x軸的正半軸交點為A,當AF=2時，作直線AB交y軸的正半軸于點B，此時b的值最大，過點M作MD⊥AB，垂足為D，∵AF=2，∴AD=1，∵MA=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此時b的最大值為；設圓M與x軸的正半軸交點為A,當AF=2時，作直線AC交y軸的負半軸于點C，此時b的值最小，過點M作ME⊥AC，垂足為E，∵AG=2，∴AE=1，∵MA=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°=，此時b的最小值為-；故b的取值范圍-≤b≤．【點睛】本題考查了了垂徑定理，一次函數的解析式和性質，特殊角的三角函數值，勾股定理，熟練掌握圓的性質，靈活運用特殊角的三角函數值是解題的關鍵．21．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【解析】【分析】（1）①根據點的坐標為，點的2倍關聯點在軸上，利用關聯點的定義即可求解；②根據點是點的倍關聯點，且滿足，，列出不等式，即可求解；（2）根據當直線與⊙相切時，即直線和，b分別取最大值b1和最小值b2，分兩種情況解答即可．(1)解：①∵點的坐標為，∴點到原點的距離為1.5，∴a＝1.5