2022-2023學年上海市浦東新區高二上學期期末數學試題一、填空題1．過平面外一點與該平面平行的平面有_____個．【答案】1【分析】假設過平面外一點與該平面平行的平面不止一個，由面面平行的性質推出矛盾，得出結果為1.【詳解】由面面平行的傳遞性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，則平面β∥平面γ，假設過平面外一點與該平面平行的平面不止一個，則這些平面均相交，與上述結論相矛盾，所以假設不成立，所以過平面外一點與該平面平行的平面有1個．故答案為：1．2．小王做投針實驗，觀察針壓住平行線的次數，所得的數據是______．（用“觀測數據”或“實驗數據”填空）【答案】實驗數據【分析】根據具體的實驗，得到具體的實驗數據.【詳解】由題意，小王做具體投針實驗，觀察針壓住平行線的次數，所得的數據是實驗數據.故答案為：實驗數據.3．某藥物公司實驗一種降低膽固醇的新藥，在500個病人中進行實驗，結果如下表所示.膽固醇降低的人數沒有起作用的人數膽固醇升高的人數30712073則使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于______.【答案】##0.614【分析】根據經驗概率的定義可求出結果.【詳解】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數為，又試驗總次數為，所以使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于.故答案為：4．已知球的表面積為,則該球的體積為______.【答案】【分析】設球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積．【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結果．5．“二十四節氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開始的四句詩.某校高二共有學生400名，隨機抽查100名學生并提問二十四節氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據此估計該校高二年級的400名學生中，對“二十四節氣歌”一句也說不出的有__________人.【答案】【分析】根據題意可知，隨機抽查比例是，算出被抽查的100名學生中對“二十四節氣歌”一句也說不出的人數，按比例計算即可得出結果.【詳解】由題意可知，隨機抽查100名學生中有人一句也說不出，又抽查比例為，所以，該校高二年級的400名學生中共有人對“二十四節氣歌”一句也說不出.故答案為：6．某校高二（1）班為了調查學生線上授課期間的體育鍛煉時間的差異情況，抽取了班級5名同學每周的體育鍛煉時間，分別為6，6.5，7，7，8.5（單位：小時），則可以估計該班級同學每周的體育鍛煉時間的方差為___________．【答案】0.7##【分析】利用方差的公式求解.【詳解】解：數據為6，6.5，7，7，8.5，所以平均數為：，則方差為，故答案為：0.77．已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為___________．【答案】【分析】根據直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結果.【詳解】由題意可知，原圖形面積為，又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為.故答案為：8．已知大小為的二面角的一個面內有一點，它到二面角的棱的距離為6，則這個點到另一個面的距離為_________．【答案】3【分析】作出圖形，根據題意結合直角三角形運算求解.【詳解】如圖，設二面角為，點，且，過點A作平面，垂足為，連接，∵平面，，∴，又∵，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，故二面角的平面角為，在Rt△ABC中，，故點A到平面的距離為3.故答案為：3.9．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為________．【答案】【分析】利用割補法可得二十四等邊體的體積，計算即可得解.【詳解】棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為.故答案為:10．已知事件、互斥，，且，則_______.【答案】##0.8【分析】由已知事件、互斥，且，可求，進而根據對立事件概率公式得到答案.【詳解】解：事件、互斥，且，解得,.故答案為：.11．小明和小王在課余玩象棋比賽，可以采用“五局三勝制”或“三局兩勝制”.相對而言，小明棋藝稍弱，每一局贏的概率都僅為.小明為了讓自己在比賽中贏的幾率更大些，應該提議采用_________________.(填選“三局兩勝制”或“五局三勝制”)【答案】三局兩勝制【分析】分別計算出“三局兩勝制”和“五局三勝制”下小明贏的概率，比較概率大小，確定選法.【詳解】因為小明每一局贏的概率都為，所以采用“三局兩勝制”時小明獲勝的概率為，采用“五局三勝制”時小明獲勝的概率為，所以小明選擇“三局兩勝制”時在比賽中贏的幾率更大些，故答案為：三局兩勝制.12．如圖，有一邊長為2cm的正方形，分別為、的中點.按圖中的虛線翻折，使得三點重合，制成一個三棱錐，并得到以下四個結論：①三棱錐的表面積為；

②三棱錐的體積為；③三棱錐的外接球表面積為；

④三棱錐的內切球半徑為.則以上結論中，正確結論是______________.（請填寫序號）【答案】①②③【分析】根據折疊規則可確定三棱錐的表面積與原正方形面積相等，即可判斷①；再利用垂直關系找出三棱錐的底面積和高可求得其體積，能判斷②；利用三條棱兩兩垂直可構造長方體求外接球的半徑，即可判斷③；利用等體積法可求得三棱錐的內切球半徑判斷④，得出結論.【詳解】根據題意可知，三棱錐的表面積與正方形的面積相等為，即①正確；設三點重合于點，則制成三棱錐如下圖所示：易知，根據幾何關系可知，所以平面所以三棱錐的體積，即②正確；由可知，三棱錐的外接球與以為棱構造的長方體的外接球相同，設三棱錐的外接球半徑為，則滿足所以，其表面積為，故③正確；設三棱錐的內切球半徑為，由①知三棱錐的表面積為利用等體積法可知，得，所以三棱錐的內切球半徑為，即④錯誤；故答案為：①②③二、單選題13．小明同學每天閱讀數學文化相關的書籍，他每天閱讀的頁數分別為：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（單位：頁）.下列圖形中不利于描述這些數據的是（

）A．條形圖 B．莖葉圖 C．散點圖 D．扇形圖【答案】C【分析】根據相關圖的特征理解判斷.【詳解】條形圖：是用寬度相同的條形的高度（或長度）表示數據的頻數，故符合題意；莖葉圖：即可以保留原始數據又可以方便記錄數據，故符合題意；散點圖：用兩組數據構成多個坐標點，通常用于比較跨類別的成對數據，不符合題意；扇形圖：是用整個圓表示總體，用圓內各個扇形的大小表示各個部分占總體的百分數，扇形圖可以容易看出各個部分所占總體的比例，故符合題意；故選：C.14．下列說法正確的是（）A．過球面上任意兩點與球心，有且只有一個大圓B．底面是正多邊形，側棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D．以直角三角形任意一邊為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周所得的旋轉體都是圓錐【答案】B【分析】根據空間幾何體的概念和性質可判斷.【詳解】球面上兩點與球心共線時，有無數個大圓，故A錯誤.底面是正多邊形，側棱與底面所成的角均相等,則頂點在底面的射影是底面的中心，所以是正棱錐，B正確.用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺，故C錯誤.以直角三角形任意一直角邊為旋轉軸，旋轉一周所得的旋轉體都是圓錐，故D錯誤.故選：B15．某校組織了一次航空知識競賽，甲、乙兩個班級各派8名同學代表參賽．兩個班級的數學課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結論錯誤的是（

）A．甲班參賽同學得分的極差比乙班參賽同學得分的極差小B．甲班參賽同學得分的中位數比乙班參賽同學得分的中位數低C．甲班參賽同學得分的平均數為84D．乙班參賽同學得分的第75百分位數為89【答案】D【分析】A.利用極差的定義求解判斷；B.利用中位數的定義求解判斷；C.利用平均數的定義求解判斷；D.利用百分位數的定義求解判斷.【詳解】對A，甲班參賽同學得分的極差為，乙班參賽同學得分的極差為，故正確；對B，甲班參賽同學得分的中位數是，乙班參賽同學得分的中位數是，故正確；對C，甲班參賽同學得分的平均數為，故正確；對D，乙班參賽同學得分為71，80，81，82，85，89，90，94，，取第6個與第7個數的平均數為第75百分位數，即為，故錯誤.故選：D16．先后拋擲質地均勻的硬幣4次，得到以下結論：①可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間②事件“至少2次正面朝上”與事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”與事件”4次反面朝上”是對立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”發生的概率是以上結論中，正確的個數為（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①本實驗是一個古典概型，考慮正反面出現的次數及順序有關或無關判斷；②分別列舉事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判斷；③列舉事件“至少1次正面朝上”判斷；④利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】①本實驗是一個古典概型，可只考慮正反面出現的次數或既考慮次數也考慮順序，所以可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間，故正確；②事件“至少2次正面朝上”為2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”為2反2正，3反1正，4反，不互斥，故錯誤；③事件“至少1次正面朝上”為1正3反，2正2反，3正1反，4正，與事件“4次反面朝上”互為對立事件，故正確；④樣本空間為“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4種，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1種，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”發生的概率是，故正確；故選：C.17．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以OA為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以OA為直徑的圓上，而以OA為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D18．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B為平面上兩點，且，M為線段AB中點，其坐標為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得以為直徑的圓過點O，對條件變形得到，從幾何意義出發得到圓M與直線相切，從而得到圓M的半徑最小值為點到直線的距離的一半，利用點到直線距離公式進行求解.【詳解】因為，所以，即以為直徑的圓過點O，因為M為線段AB中點，坐標為，，則，幾何意義為圓M的半徑與點M到直線的距離相等，即圓M與直線相切，則圓M的半徑最小值為點到直線的距離的一半，即.故選：B三、解答題19．如圖，在正方體中，為的中點.(1)求異面直線與所成的角；(2)判斷與平面的位置關系，并說明理由.【答案】(1)(2)平面，理由見解析【分析】（1）通過平移找到異面直線所成的角，在三角形中求解即可.（2）通過線面平行判定定理判斷.【詳解】（1）因為，所以就是異面直線與所成的角.設，則，，所以.所以異面直線與所成的角為（結果也可寫成或）.（2）平面連接，交于，連接,在中，分別為、中點，為的中位線，所以.因為平面上，而平面上，由直線與平面平行的判定定理得，平面.20．不透明的盒子中有標號為1、2、3、4的4個大小與質地相同的球.(1)甲隨機摸出一個球，放回后乙再隨機摸出一個球，求兩球編號均為奇數的概率；(2)甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規則是：甲先隨機摸出一個球，記下編號，設編號為，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設編號為.如果，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規則公平嗎？請說明理由.【答案】(1)(2)不公平，理由見解析【分析】(1)列出樣本空間，根據古典概型概率公式求事件兩球編號均為奇數的概率；(2)由(1)分別求出事件甲贏和乙贏的概率，比較概率大小判斷游戲是否公平.【詳解】（1）設事件兩球編號均為奇數為事件，由已知隨機試驗的樣本空間為共16個基本事件，事件包含基本事件，所以，所以事件兩球編號均為奇數的概率為；（2）由(1)事件包含基本事件，所以，所以事件甲贏的概率為，故事件乙贏的概率為，因為事件甲贏的概率與事件乙贏的概率不相等，所以這種游戲規則不公平.21．如圖，在直角中，，斜邊，是中點，現將直角以直角邊為軸旋轉一周得到一個圓錐.點為圓錐底面圓周上一點，且.(1)求圓錐的體積與側面積；(2)求直線與平面所成的角的正切值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據旋轉體的幾何特征可求得圓錐底面積和高，利用圓錐體積公式可求得體積，再利用側面展開圖和扇形面積公式可得側面積；（2）根據線面角的定義作出直線與平面所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.【詳解】（1）由題意可得，所以底面圓面積，圓錐的高，所以圓錐的體積為.圓錐側面展開圖的半徑為，弧長為底面圓周長圓錐的側面積為.（2）取中點，連接，如下圖所示：在中，中位線，易知平面可得平面，所以即為直線與平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直線與平面所成的角的正切值為.22．法國著名的數學家笛卡爾曾經說過：“閱讀優秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進行交談，也就是和他們傳播的優秀思想進行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位大一新生，對這些學生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數（精確到0.1）（單位：分鐘）；(3)為了進一步了解大一新生的閱讀方式，該大學采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的學生中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率．【答案】(1)(2)平均數為74分鐘(3)【分析】（1）結合頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1列出方程求解即可；（2）將各組的頻數計算出來，直接計算平均值即可3；（3）先算出每組要抽取的人數，編號寫出樣本空間，再計算概率.【詳解】（1）因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，得，（2）各區間的中點值為55、65、75、85、95對應的頻數分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時間的平均數為所以估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數為74分鐘.（3）由題意，閱讀時間位于分組，和的學生數分別為10人、20人、20人，因此中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，再從中任選2人進行調查，樣本空間共10個樣本點，設事件A為“恰好有1