教材分析與建議

平面向量高中數學(四)第二章一、平面向量概述平面向量的實際背景及基本概念《課程標準》《考試說明》通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示．平面向量的相關概念B（一）《課程標準》與《考試說明》要求比較向量的線性運算《課程標準》《考試說明》①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義．②通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義．③了解向量的線性運算性質及其幾何意義．①向量的加法與減法

C②向量的數乘C③兩個向量的共線B平面向量的基本定理及坐標表示《課程標準》《考試說明》①了解平面向量的基本定理及其意義．②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．③會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算．④理解用坐標表示的平面向量共線的條件．①平面向量的基本定理A②平面向量的正交分解及坐標表示B③用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算C④用坐標表示的平面向量共線的條件C平面向量的數量積《課程標準》《考試說明》①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義．②體會平面向量的數量積與向量投影的關系．③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．①數量積C②數量積的坐標表示C③用數量積表示兩個向量的夾角

B

④用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系C向量的應用《課程標準》《考試說明》經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力．

用向量方法解決簡單的問題B（二）本單元知識結構數形結合（三）本單元教材特點重視背景（物理、幾何），重視過程，重視應用強調向量法的基本思想（類比解析法，三部曲）明確向量運算及運算律的核心地位（向量若沒有運算…）重視向量的幾何意義及應用（幾何背景，概念、運算幾何意義）（四）課時分配1.側重基礎考查基本概念、基本運算、幾何意義（五）高考“平面向量”考查特點考查向量的平行于垂直考查向量加法、減法的幾何意義2.提高了對平面向量基本定理的考查力度3.對數量積的概念和幾何意義的考查對概念的考查對概念和幾何意義的考查轉化為坐標對運動變化，數形結合的考查盡管是個案，但向量已由小題向大題發展關注高考平面向量的考查注意常規，抓小題強調概念、運算的本質強化數形結合的方法和思想不因題小而輕視小考題中有大文章二、教學建議（一）平面向量的實際背景及基本概念1.向量的物理背景與概念▲向量的引入▲向量的概念既有大小，又有方向的量稱為向量多舉實例進行比較▲向量與有向線段的關系ABa2.向量概念的相關問題▲向量的表示有向線段：起點，方向，長度向量：方向，長度實例比較多次認識學生、教師都有問題▲特殊向量●零向量：長度為零的向量●單位向量：長度為1的向量▲平行向量，共線向量3.由兩個向量的關系認識自由向量▲相等向量（長度、方向均相同，認識自由向量）

▲線段的共線與向量的共線的區別

（認識自由向量）沒有定義方向（二）向量的線性運算有關運算的復習

運算對象種類表示結果數加、減…＋、－…新數集合交、并…∩、∪…新集合函數加、復合…f(x)+g(x),f(g(x))新函數向量？？？（二）向量的線性運算▲引入向量運算的必要性（與實數類比，沒有運算向量是…）1.向量加法運算及其幾何意義▲向量加法運算的引入（幾何意義上的運算）●生活實例—北京直飛臺北3小時

(位移的合成)●物理實例

（力的合成）▲向量加法的定義及幾何意義“操作”確認，從幾何直觀上理解向量的加法運算法則ABC向量加法三角形法則平行四邊形法則物理模型：位移的合成物理模型：力的合成做法兩個向量首尾連接，和向量指向末向量的終點做法連接兩個向量的起點，為和向量的起點，對角線的另一端點為終點易表示為多個向量的和不易表示為多個向量的和●三角形法則與平行四邊形法則的比較●向量的分解●從自由向量來理解向量兩種加法法則▲向量線加法的相關問題●規定：a+0=0+a=a（a是非零向量）有目標的分解

●向量模不等式●利用實例和向量的幾何意義理解向量加法的運算律深化對向量加法幾何意義的理解2.向量減法運算及其幾何意義▲向量減法運算的定義▲向量減法的幾何意義●向量a-b的指向（學生易錯）●從數與形兩個角度認識向量的加法與減法●向量a-b的做法

3.向量數乘運算及其幾何意義▲數乘定義的引入只有向量的加減法很多問題無法解決類比實數加法到乘法

●通過實例認識λa的方向與長度實數：2+2+2=3×2，a+a+a=3a向量：a+a+a與a方向相同，3倍|a|長度的向量？

●用量化的向量形式λa表示向量間的關系▲向量數乘的運算律●理解向量的共線有且只有----存在且唯一性幾何量化----向量的運算的向量化表示兩個向量間的關系基底表示----直線上的向量基本定理（理解a≠0）●正確理解，會應用▲向量共線的條件：

設a≠0，若a，b共線，則有且只有一個實數λ，使b=λa2010高三（上）期中考試（理科）區公立校：0.65一組校：0.77二組校：0.64三組校：0.50

●通過問題理解λa的方向●判斷三點共線轉化為判斷兩個向量共線

●

(1)鞏固數乘運算；(2)為下節平面向量基本定理做準備

▲把握例題的功能

例.求與a向量方向相同或相反，長度為2的向量.▲強化對三種運算的理解與掌握●對數乘的理解；學會向量的單位化例.(1)角平分線的向量表示；(2)做出互相垂直的向量以這兩個向量為臨邊做平行四邊形OABC.（三）平面向量的基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理▲平面向量基本定理的形成過程

●形成過程

◆向量加法的平行四邊形法則

◆直線上的向量基本定理◆

特殊一般

一維二維；給定向量任選向量動畫演示理性分析形成定理

●動手實踐，理解定理

直觀感知，操作確認，理性理解

↓

向量a的任意性與λ1λ2的對應關系思想方法認知過程▲平面向量基本定理的認識

●

定理的解讀

●

定理的作用----用向量方法研究幾何問題的基礎▲平面向量基本定理引入的教學設計舉例▲開拓平面向量基本定理的學習視角

例證明平行四邊形的對角線互相平分.◆考查基本量思想----根據問題設出基底考查平面向量基本定理----深刻理解并運用定理2.平面向量的正交分解及坐標表示▲正交分解●引入的必要性：基底標準化、表示簡約化●理論依據

●實例

●單位正交基向量i，j----特殊基向量使問題簡化a=xi+yj

a=(x，y)▲向量坐標表示●

特殊一般●（自由）向量的坐標表示3.平面向量的坐標運算注意例3與平面上兩點距離公式的聯系4.平面向量共線的坐標表示▲會推導向量共線的坐標公式▲向量共線與定比分點的向量公式與坐標化公式5.整體認識平面向量基本定理●通過實例整體認識平面向量基本定理（四）平面向量的數量積1.平面向量數量積的物理背景及其含義▲概念的引入：●現實存在（力所做的功）

●數學運算的完整性

a+b，a-b，ka

，a·b=?▲定義：◆數量積a·b的值的理解◆a在b方向上的投影|a|cosθ

的理解◆θ的值對a·b的值的影響▲實數的乘積與向量的數量積的對比：

實數的乘積與向量的數量積相同的部分實數的乘積向量的數量積運算結果一個實數一個實數交換律ab

=ba

a·b

=b·a

(λa)b=λ(ab)=a(λb)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)c=ac+bc

(a+b)·c=a·c+b·c平方展開(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)2=a2±2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-b)=

a2-b2a2+b2=0則a=0且b=0a2+b2=0則a=0且b=0不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|實數的乘積與向量的數量積不同的部分▲數量積a·b與實數運算的區別：▲通過練習應熟練掌握如下常用運算關系：熟練掌握2.平面向量數量積的坐標表示、模、夾角▲向量關系的坐標表示：熟練掌握▲平面向量數量積的物理背景及其含義的教學