第十章動量定理1動力學實際上的問題是：

1、聯立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。

2、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運動，僅需要研究質點系整體的運動情況。動力學普遍定理概述對質點動力學問題：建立質點運動微分方程求解。對質點系動力學問題：理論上講，n個質點列出3n個微分方程，聯立求解它們即可。

從本章起，將要講述解答動力學問題的其它方法，而首先要討論的是動力學普遍定理（包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理）。2動力學

它們以簡明的數學形式，表明兩種量

——一種是同運動特征相關的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關的量(沖量、力矩、功等)——之間的關系，從不同側面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷。本章中研究質點和質點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關系，并研究質點系動量定理的另一重要形式——質心運動定理。3§10–1質點系的質心·內力與外力§10–2動量與沖量§10–3動量定理§10–4質心運動定理第十章動量定理動力學4一.質點系的質心

質點系的質量中心稱為質心。是表征質點系質量分布情況的一個重要概念。動力學§10-1質點系的質心內力與外力質心C點的位置：5

在均勻重力場中，質點系的質心與重心的位置重合。可采用靜力學中確定重心的各種方法來確定質心的位置。但是，質心與重心是兩個不同的概念，質心比重心具有更加廣泛的力學意義。動力學內力：所考察的質點系內各質點之間相互作用的力。對整個質點系來講，內力系的主矢恒等于零，內力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質點系的內力與外力外力：所考察的質點系以外的物體作用于該質點系中各質點的力。6動力學§10-2動量與沖量

一、動量

1.質點的動量：質點的質量與速度的乘積mv稱為質點的動量。是瞬時矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例如：槍彈：速度大，質量小；船：速度小，質量大。7

2.質點系的動量：質點系中所有各質點的動量的矢量和。動力學質點系的質量與其質心速度的乘積就等于質點系的動量。則：

3.剛體系統的動量：設第i個剛體 則整個系統：8解:曲柄OA：滑塊B：連桿AB：（P為速度瞬心）

動力學[例１]

曲柄連桿機構的曲柄OA以勻轉動，設OA=AB=l，曲柄OA及連桿AB都是勻質桿，質量各為m，滑塊B的質量也為m。求當=45o時系統的動量。9動力學系統的動量為102．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

元沖量：

沖量：1．力是常矢量：動力學二．沖量

力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內對物體作用的累積效應的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。11動力學

3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動量單位同。12§10-3動量定理一．質點的動量定理質點的動量對時間的導數等于作用于質點的力（在某一時間間隔內，動量的增量等于力在該時間內的沖量）動力學—質點的動量定理①微分形式：（動量的微分等于力的元沖量）②積分形式：13③投影形式：④質點的動量守恒若，則常矢量，質點作慣性運動若，則常量，質點沿x軸的運動是慣性運動二．質點系的動量定理

質點系的動量定理動力學對整個質點系：對質點系內任一質點i，14質點系動量對時間的導數等于作用在質點系上所有外力的矢量和。質點系動量的微分等于作用在質點系上所有外力元沖量的矢量和。

在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于作用在質點系上的所有外力在同一時間間隔內的沖量的矢量和。②積分形式)(12eiIKK?=-動力學①eiKieIdtF?微分形式

)()(dd==?15

③投影形式：?=)(eixxFdtdK?=)(eiyyFdtdK?=)(eizzFdtdK??ò==-21)()(12tteixexxdtFSixKK??ò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyKK??ò==-21)()(12tteizezzdtFSizKK動力學④質點系的動量守恒若則常矢量。若則常量。

只有外力才能改變質點系的動量，內力不能改變整個質點系的動量，但可以引起系統內各質點動量的傳遞。16動力學[例2]設作用在活塞上的合力為F，按規律變化，其中為活塞的質量為，。已知，活塞的速度m/s，方向沿水平向右。試求s時活塞的速度。解以活塞為研究對象。已知作用在活塞上的合力F隨時間的變化規律及，欲求，故采用積分形式的動量定理。取坐標軸Ox向右為正，根據公式，有在給定條件下，(a)(b)17動力學將式(b)及代入式(a)，得解得

m/s[例3]有一質量kg的郵包從傳送帶上以速度m/s沿斜面落入一郵車內，如圖所示。已知郵車的質量kg，原處于靜止，不計車與地面間的摩擦，求郵包落入車內后車的速度。18動力學解

將郵包及郵車分別視為兩質點，組成一質點系。因作用于質點系上的外力在軸上投影的代數和等于零，即，故質點系的動量在軸上的投影應保持不變，即

解得

m/s19動力學[例4]如圖所示物塊，重量各為(W1>W2)，掛在繩子兩端，繩子繞在重量為W的均質滑輪上，設下降時其加速度為。求支座對滑輪的約束反力。解兩物塊和滑輪組成一質點系。作用于質點系上的外力有重力和支座對滑輪的約束反力。設M1下降時，其速度為，應用質點系的動量定理微分形式，在坐標軸上有：20其中質點系的動量及作用于質點系上的外力分別為代入上式得解得

動力學21

[例5]質量為M的大三角形柱體，放于光滑水平面上，斜面上另放一質量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體滑到底時，大三角形柱體的位移。動力學解：選兩物體組成的系統為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則設大三角塊速度，小三角塊相對大三角塊速度為，則小三角塊運動分析，22運動分析，設經過ｔ時間后，流體AB運動到位置ab，

[例6]流體流過彎管時，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對彎管產生的動壓力(附加動壓力)。設流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。動力學解：取截面A與B之間的流體作為研究的質點系。受力分析如圖示。由質點系動量定理；得23靜反力，動反力

計算時，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的動壓力。動力學即24§10-4質心運動定理將代入到質點系動量定理，得若質點系質量不變，則或動力學

上式稱為質心運動定理（或質心運動微分方程）。質點系的質量與加速度的乘積，等于作用于質點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。1.投影形式：①②25

3.質心運動定理是動量定理的另一種表現形式，與質點運動微分方程形式相似。對于任意一個質點系，無論它作什么形式的運動，質點系質心的運動可以看成為一個質點的運動，并設想把整個質點系的質量都集中在質心這個點上，所有外力也集中作用在質心這個點上。動力學2.剛體系統：設第i個剛體mi，vCi，則有或26

4.質心運動守恒定律

①若，則常矢量，質心作勻速直線運動；若開始時系統靜止，即則常矢量,質心位置守恒。②若則常量，質心沿x方向速度不變；若存在則常量，質心在x軸的位置坐標保持不變。

5．質心運動定理可求解兩類動力學問題：

①已知質點系質心的運動,求作用于質點系的外力(包括約束反力)。②已知作用于質點系的外力，求質心的運動規律。

只有外力才能改變質點系質心的運動,內力不能改變質心的運動，但可以改變系統內各質點的運動。動力學27解:取整個電動機作為質點系研究，分析受力，受力圖如圖示。運動分析：定子質心加速度a1=0，轉子質心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。動力學

[例7]

電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質量為m1,轉子質量為m2,轉子的軸通過定子的質心O1,但由于制造誤差,轉子的質心O2到O1的距離為e。求轉子以角速度作勻速轉動時，基礎作用在電動機底座上的約束反力。28根據質心運動定理，有可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數。動力學a1=0，a2=e229

解：取起重船，起重桿和重物組成的質點系為研究對象。動力學

[例8]