2023年高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．2．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．3．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}時，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．?4．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．25．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．6．已知函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．函數在上單調遞減B．函數在上單調遞增C．函數的對稱中心是D．函數的對稱軸是7．已知函數，則下列結論中正確的是①函數的最小正周期為；②函數的圖象是軸對稱圖形；③函數的極大值為；④函數的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④8．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．9．已知，則（）A．5 B． C．13 D．10．函數（）的圖像可以是（）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A． B．3 C． D．212．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，若存在實數m，使得關于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數a的取值范圍是______.14．已知函數，若的最小值為，則實數的取值范圍是_________15．設α、β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題：①若m∥n，則m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；其中正確命題的序號為_____．16．函數在處的切線方程是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若在定義域內是增函數，且存在不相等的正實數，使得，證明：.18．（12分）近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將上面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關？請說明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位從事的是戶外作業的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害，現從不患心肺疾病的位男性中，選出人進行問卷調查，求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業的概率.下面的臨界值表供參考：（參考公式，其中）19．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞增區間（2）記函數的圖象為曲線，設點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數存在“中值和諧切線”，當時，函數是否存在“中值和諧切線”請說明理由20．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.21．（12分）已知在中，內角所對的邊分別為，若，，且.（1）求的值；（2）求的面積.22．（10分）已知數列是公比為正數的等比數列，其前項和為，滿足，且成等差數列.（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．2、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.3、B【解析】試題分析：由集合A中的函數y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函數考點：交集及其運算．4、D【解析】

設，，，根據可得①，再根據又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題．5、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．6、B【解析】

根據圖象求得函數的解析式，結合余弦函數的單調性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數的周期，所以.將點代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數在上單調遞減，當時，函數在上單調遞減，故A正確；令，得，故函數在上單調遞增.當時，函數在上單調遞增，故B錯誤；令，得，故函數的對稱中心是，故C正確；令，得，故函數的對稱軸是，故D正確.故選：B.【點睛】本題考查由圖象求余弦型函數的解析式，同時也考查了余弦型函數的單調性與對稱性的判斷，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數的最小正周期為，因為函數的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數的最小值為，④正確．故選D．8、B【解析】

首先根據題中條件和三角形中幾何關系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因為，所以，又因為，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.9、C【解析】

先化簡復數，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點睛】考查復數的運算，是基礎題.10、B【解析】

根據，可排除，然后采用導數，判斷原函數的單調性，可得結果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數在單調遞減在單調遞增，故選：B【點睛】本題考查函數的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調性；（5）值域，屬基礎題.11、D【解析】

根據拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸的交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.12、B【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數在單調遞減，在單調遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.14、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當，，當且僅當時，等號成立.當時，為二次函數，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數的最值問題，對每段函數先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數的最小值進行比較，得到結果，題目較綜合，屬于中檔題.15、④【解析】

根據直線和平面，平面和平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①，當m∥n時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出m∥α，①錯誤；對于②，當m?α，n?α，且m∥β，n∥β時，由兩平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②錯誤；對于③，當α∥β，且m?α，n?β時，由兩平面平行的性質定理，不能得出m∥n，③錯誤；對于④，當α⊥β，且α∩β＝m，n?α，m⊥n時，由兩平面垂直的性質定理，能夠得出n⊥β，④正確；綜上知，正確命題的序號是④．故答案為：④．【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.16、【解析】

求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，，.因此，函數在處的切線方程是，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數求函數的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導，分，，進行討論，可得的單調性；（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，，設，可得，則，設，對求導，利用其單調性可證明.【詳解】解：的定義域為，因為，所以，當時，令，得，令，得；當時，則，令，得，或，令，得；當時，，當時，則，令，得；綜上所述，當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，此時，設，又因為，則，設，則對于任意成立，所以在上是增函數，所以對于，有，即，有，因為，所以，即，又在遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導數研究含參函數的單調性及導數在極值點偏移中的應用，考查學生分類討論與轉化的思想，綜合性大，屬于難題.18、（1）列聯表見解析，有的把握認為患心肺疾病與性別有關，理由見解析；（2）.【解析】

（1）結合題意完善列聯表，計算出的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為、，其余三人分別為、、，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】（1）由于在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為，所以人中患心肺疾病的人數為人，故可將列聯表補充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計.故有的把握認為患心肺疾病與性別有關；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業的兩人分別為、，其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業的有種情形，分別為：、、、、、、、、，所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業的概率為.【點睛】本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，結合導數的幾何意義，再令，轉化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數的定義域為，所以當時，；，所以函數在上單調遞增當時，①當時，函數在上遞增②，顯然無增區間；③當時，，函數在上遞增，綜上當函數在上單調遞增.當時函數在上單調遞增；當時函數無單調遞增區間當時函數在上單調遞增(2)假設函數存在“中值相依切線”設是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調遞增，，故無解，假設不成立綜上，假設不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數的單調性，導數的幾何意義，考查導數的應用以及分類討論和轉化思想，屬于中檔題．20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知