2023/2/51第八章應力狀態(tài)分析材料力學2023/2/52基本變形的應力計算和強度條件材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/53FF拉伸（壓縮）應力計算公式：強度條件：其中，許用應力：實驗測得材料相應的極限應力安全因數（安全系數）材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/54彎曲變形應力計算公式：強度條件：其中，許用應力：單向拉伸實驗測得材料的極限應力安全因數（安全系數）材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/55扭轉變形應力計算公式：強度條件：其中，許用切應力：剪切實驗測得材料的極限應力安全因數（安全系數）材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/56可見，對于材料的拉伸、壓縮、彎曲和扭轉問題其共同特點是：一是材料的危險截面危險點只承受正應力或切應力二是需要實驗直接確定失效時的極限應力，并依此建立強度準則但是，對于工程上的復雜結構危險點同時受正應力和切應力作用，很難用實驗確定極限應力如何分析材料危險受力情況以及極限荷載？應力狀態(tài)材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/57應力狀態(tài)的基本概念平面應力狀態(tài)應力分析應力圓主應力與主平面空間應力狀態(tài)的概念應力應變關系空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/58應力狀態(tài)的基本概念1.

什么是應力狀態(tài)？3.

描述一點應力狀態(tài)的方法

2.

為什么要研究應力狀態(tài)應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/59應力狀態(tài)的概念——過一點、在不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/510應力的點的概念

—同一截面上不同點的應力各不相同

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。FQ橫截面上切應力分布橫截面上正應力分布FNxMz應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/511應力的面的概念—同一點處不同方向面上的應力各不相同受力之前,桿件表面同一點處取一正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析受拉后，正方形變成菱形。2023/2/512低碳鋼拉伸實驗鑄鐵拉伸實驗韌性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/513應力的面的概念—過同一點不同方向面上的應力各不相同斜截面上存在正應力和切應力橫截面上只有正應力應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/514

受扭之前，圓軸表面為正圓。

思考題TT為什么變?yōu)闄E圓？受扭后，圓形變?yōu)槭裁葱螤睿繎顟B(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/515為什么脆性材料扭轉時沿45o螺旋面斷開？低碳鋼扭轉實驗鑄鐵扭轉實驗應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/516同一點不同方向面上的應力也是各不相同，此即應力的面的概念。應力指明

哪一點？哪個方向面？應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/517

為什么要研究應力狀態(tài)不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力。不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/518微元及其各面上一點應力狀態(tài)的描述

dxdydz微元（Element）

描述一點應力狀態(tài)的基本方法

應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/519三向（空間）應力狀態(tài)(Three-DimensionalStateofStresses)yxz應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/520平面（二向）應力狀態(tài)yxz應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/521xyxy單向應力狀態(tài)(OneDimensionalStateofStresses)純切應力狀態(tài)

(ShearingStateofStresses)應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析

(PlaneStateofStresses)平面（二向）應力狀態(tài)2023/2/522三向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)純切應力狀態(tài)特例特例應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/523F例：畫出圖示矩形截面梁在紅線截出橫截面內不同點的應力狀態(tài)Qyz1123455432應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析

思考：畫出橫截面A上各點應力狀態(tài)。A2023/2/524T例2：畫出圖示螺旋槳軸桿表面一點的應力狀態(tài)1.螺旋槳帶動軸桿向前，產生拉力FF2.軸桿帶動螺旋槳旋轉，有扭轉作用T應力狀態(tài)的基本概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/525平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/526平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析α平面應力狀態(tài)分析的目的：分析過一點任意角度方向面上的應力分布分析方法：將所求方向的斜截面與微元所形成三角形微元取出，通過平衡方程求解xs2023/2/527

方向角與應力分量的正負號約定

微元的局部平衡

平面應力狀態(tài)中任意方向面上的正應力與切應力平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/528拉為正壓為負正應力：拉為正，壓為負

方向角與應力分量的正負號約定平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/529使微元順時針方轉動為正；反之為負。切應力：

方向角與應力分量的正負號約定※

引入正負號之后平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/530

方向角與應力分量的正負號約定α方向角由

x軸指向逆時針方向為正；反之為負。xy平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析dAα2023/2/531tyxx′

平衡方程y'

平衡對象——用

斜截面截取的微元局部

參加平衡的量：力——應力乘以其作用的面積

微元的局部平衡

xs平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/532x′tyxdAαxs平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析α2023/2/533y′tyxdAαxs

課堂思考：根據y′方向的平衡條件寫出的表達式平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/534xdA根據和方向上的平衡條件：由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正應力和切應力：平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/535507010030°70例題1：圖示微元，表面正應力與切應力已知。求法向與x軸正向成30°的斜面上所受正應力與切應力。所示應力單位為MPa。解：平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/536平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析例題2：兩端密封圓柱形壓力容器，圓筒部分由壁厚為δ，寬度為b的塑條壓成螺旋狀并熔接而成。圓筒內徑，容器承受內壓強p，若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉應力的80%，試求塑條許可寬度b。2023/2/537平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/538平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析Ｄlp1s2sσ1=?σ2=?222023/2/539平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析Ｄp111

(2

l)ppDll1s2s2023/2/540平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/541平面應力狀態(tài)分析材料力學－第8章應力狀態(tài)分析由幾何關系代入表達式，并考慮得：若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉應力的80%，試求塑條許可寬度b2023/2/542應力圓材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/543

應力圓方程

應力圓的畫法

應力圓的應用

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/544由微元任意方向面上的正應力和切應力公式兩方程等號左右兩邊同時平方后相加：

應力圓方程

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓α2023/2/545應力圓方程：該方程描述了以為橫軸，為縱軸的坐標系。這種圓稱為應力圓（stresscircle）或莫爾圓（Mohrcircle）。應力圓的圓心位于橫軸，圓心坐標為：圓半徑為：OR材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/546Oa(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐標系由面找點確定圓心和半徑ABAABB

應力圓的畫法

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓c2023/2/547

二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。

轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和切應力；

應力圓與微元應力狀態(tài)的對應關系

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/548A點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和切應力；A材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/549ADnxAθD轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/550

二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。

轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和切應力；

應力圓與微元應力狀態(tài)的對應關系

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/551Oca(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐標系由面找點確定圓心和半徑ABAABB

應力圓的畫法

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/552材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓課堂練習畫出下圖應力狀態(tài)的應力圓：(-140,-80)(0,80)(-70,0)2023/2/553已知某點兩截面應力(MPa)，試畫出該點應力圓，并求出圖中兩截面夾角。40103020AB建立坐標系由面找點確定圓心和半徑

思考：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/554

在應用過程中，應當將應力圓作為思考、分析問題的工具，而不是計算工具。

應力圓的應用

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/555sxsxtso2×45o2×45oBEADadcbeEEBB45o45o拉中有剪的例子：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/556ctso2×45o2×45oadbesxsxEBEBsxsx材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/557EBsxsx

軸向拉伸時，45o方向面上既有正應力又有切應力，正應力不是最大值，切應力卻最大。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/558ots2×45o2×45osy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb剪中有拉的例子：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/559sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/560

在純切應力狀態(tài)下，45o方向面上只有正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/561例題3：圖示圓桿分別采用低碳鋼（a）和鑄鐵（b）進行扭轉實驗，低碳鋼斷裂面垂直于軸線，鑄鐵的斷裂面與軸線成45°角。試采用應力圓分析該兩種材料不同的斷裂特性。（a）低碳鋼（b）鑄鐵材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓2023/2/562解：圓桿扭轉，微元為平面應力狀態(tài)。取圓桿表面微元，可知該微元的應力狀態(tài)為純剪。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓OAABBCC2023/2/563最大切應力的方向角αs＝0°與低碳鋼的斷裂面一致，所以低碳鋼是剪力引起破壞。與鑄鐵的斷裂面一致，所以

鑄鐵這種脆性破壞是拉應力引起。最大拉應力的方向角α0＝45°材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓ABCOABC2023/2/564思考：1.

正應力最大時的方向角與切應力最大時的方向角有什么關系？2.

正應力最大的平面上切應力是否一定為零？3.

切應力最大的平面上正應力是否一定為零？5.

平面內最大切應力是否是過一點所有方向面中切應力的最大值？4.平面內最大正應力與最大切應力之間有何關系？材料力學－第8章應力狀態(tài)分析應力圓OR2023/2/565主應力與主平面材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/566材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面

主平面、主應力與主方向

平面應力狀態(tài)的三個主應力問題：1.過一點所有方向面上的最大正應力、最大切應力是多少？2.最大正應力所在平面？2023/2/567材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面極值正應力最大切應力最大正應力所在平面2023/2/568材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面主平面:主方向：主應力：定義切應力為零的平面（極值正應力所在平面）主平面外法線方向主平面上的正應力（極值正應力）2023/2/569材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面相鄰主平面一定兩兩相互垂直，由三對互垂主平面所構成的微體成為主平面微體主應力：3個（平面內2個＋平面外1個）問：空間內一點有幾個主應力、主平面、主方向？主平面和主方向：3對問：主平面之間的相互關系？平面應力狀態(tài)是主應力的特殊情況主應力排序2023/2/570由主方向方向角公式：代入任意方向面正應力公式解析法求平面應力狀態(tài)下的三個主應力材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/571

平面應力狀態(tài)的三個主應力

將以上三個主應力按照代數值由大到小排列，并分別用表示則有：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/572

平面應力狀態(tài)的三個主應力

FFFFFF※材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/573應力圓與三個主應力材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同

主應力排序

s1s2

s32qptx'y'sx'ocbeadss2023/2/574主應力排序tx'y'sx'oadcbess材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同2023/2/575tx'ysxoadcbess材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同主應力排序2023/2/576x-y坐標系x′-y′坐標系σ'-σ''坐標系同一點的應力狀態(tài)有無窮多種表達形式。其中，以主應力的表達最為簡單材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力是反映應力狀態(tài)本質的特征量2023/2/577

根據主應力的大小與方向可以確定材料何時發(fā)生失效或破壞，確定失效或破壞的形式。因此，可以說主應力是反映應力狀態(tài)本質的特征量。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/578例題

4已知:應力狀態(tài)如圖所示。解：1.確定主應力

試求：1．寫出主應力1、2、3的表達式；

2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4MPa，當坐標軸x、y反時針方向旋轉=120后至x′、y′

，求:

x′、τx′y′

。

應用平面應力狀態(tài)主應力公式材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/579解：1.確定主應力

應用平面應力狀態(tài)主應力公式因為y＝0，所以有又因為是平面應力狀態(tài)，故有材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/580于是，根據1＞2＞3的排列順序，得

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/581解：2.計算方向面法線旋轉后的應力分量

將已知數據x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－yx=76.4MPa，=120等代入任意方向面上應力分量的表達式

，求得：

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/582例題5：如圖，薄壁圓管受扭轉和拉伸同時作用。圓管平均直徑D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶矩Me＝600N?m，軸向載荷Fp＝20kN。薄壁管截面的扭轉截面模量可近似取為。1.求圓管表面上過D點與母線夾角為30°的斜截面上的應力。2.求D點的主應力與最大切應力。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/583解：1.取微元，利用拉伸和圓軸扭轉公式計算微元各面上的應力：2.求斜截面上的應力，首先：則材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/584解：3.確定主應力與最大切應力：根據最大主應力計算公式求得面內主應力另因為平面應力狀態(tài)，有按照代數值大小排序，D點的三個主應力為：D點的最大切應力為：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析主應力與主平面2023/2/585空間應力狀態(tài)的概念材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/586過一點所有方向面中的最大切應力

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念O平面內最大切應力：空間應力狀態(tài)下

極值切應力？2023/2/587為確定過一點的所有方向面上的最大切應力，考察主平面微元體過一點所有方向面中的最大切應力

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/588材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念txysxIs2s3第I組方向面內的最大切應力所在平面內的應力不受的影響2023/2/589材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念第II組方向面內的最大切應力所在平面內的應力不受的影響IIIs2s3txysxOs12023/2/590材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念第III組方向面內的最大切應力所在平面內的應力不受的影響IIItxysxOs3IIIs2s12023/2/591對任意一個應力狀態(tài)，均可以找到一個特殊的方向角，使得微元上僅有三個主應力作用。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/592s1IIIs3IIIs2Otxysx微元任意方向面上的應力對應著三向應力圓陰影區(qū)域某一點的坐標。最大正應力：最大切應力：最小正應力：三向應力狀態(tài)下：材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念三向應力圓2023/2/593

已知:三向應力狀態(tài)如圖所示，圖中應力的單位為MPa。例題

6

試求：主應力及微元內的最大切應力。材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/594故微元上平行于的方向面上的應力值與無關。因此，當確定這一組方向面上的應力，以及這一組方向面中的主應力和時，可以將所給的應力狀態(tài)視為平面應力狀態(tài)。

解：所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/595這與平面應力狀態(tài)相類似。于是，平面應力狀態(tài)下主應力和公式可直接應用解：所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/596

本例中x=－20Mpa，xy=－40MPa。據此，求得

材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/597根據123的排列順序，可以寫出微元內的最大切應力材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/598

例題

7obatmax20030050(MPa)

求：平面應力狀態(tài)的主應力1、2

、3和最大切應力tmax。AB材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/599Ob2005030050(MPa)tmax

例題

8

求：平面應力狀態(tài)的主應力1、2

、3和最大切應力tmax。aAB材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/5100O300100(MPa)tmax例題

9

求：平面應力狀態(tài)的主應力1、2

、3和最大切應力tmax。abAB材料力學－第8章應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念2023/2/5101

各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/510211橫向變形與泊松比μ

——泊松比1＋xyx1－x

廣義胡克定律

各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5103三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法：各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5104yzx對于平面應力狀態(tài)，廣義胡克定律為各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5105證明：對于各向同性材料，三個彈性常數滿足以下關系各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析例題

2023/2/5106各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析解：構造一個剪中有拉的應力狀態(tài)O＝2023/2/5107如圖，邊長為a的鋼塊嵌在理想剛性的槽內，并受集中力F作用。已知鋼塊彈性模量E，泊松比μ，求鋼塊的主應力，主應變。各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析例題

其中2023/2/5108一大小未知的矩形平板雙向受拉，拉應力已知，平板彈性模量E，受力前在平板內畫有一個半徑為a的圓。問：受力后該圓的面積為多少？各向同性材料的應力應變關系材料力學－第8章應力狀態(tài)分析例題

2023/2/5109

空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5110

總應變能密度

體積改變能密度與畸變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5111微元應變能(strainenergy)dydxdz力的作用點所產生的位移

總應變能密度

空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5112dW=力在位移上所做的功轉變?yōu)槲⒃膽兡?dV空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5113應變能密度(strain-energydensity)空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學－第8章應力狀態(tài)分析2023/2/5114+將一般應力狀態(tài)分解為兩種特殊情形

體積改變能密度與形狀改變能密度

不改變形狀，但改變體積不改變體積，但改變形狀空間