熱學

氣體黏性系數的導出主講：孔紅艷

陜西師范大學物理學與信息技術學院§3.8氣體輸運系數的導出

前面我們已介紹過氣體輸運現象的宏觀規律,并說明氣體的黏性、熱傳導及擴散來源于不均勻氣體中的無規熱運動.在交換分子對的同時分別把分子原先所在區域的宏觀性質（動量、能量、質量）輸運到新的區域.本節將利用分子碰撞截面及分子平均自由程來導出氣體輸運系數的表達式。

◆所討論輸運過程的適用條件:(1)這里的“輸運過程都是近平衡的非平衡”過程,空間不均勻性（如溫度梯度、速度梯度、分子數密度梯度）都不大.因而不管分子以前的平均數值如何,它經過一次碰撞后就具有在新的碰撞地點的平均動能、平均定向動量及平均粒子數密度.(2)在這里所討論的氣體是既足夠稀薄（氣體分子間平均距離比起分子的大小要大得多,這是理想氣體的特征）,但又不是太稀薄（它不是“真空”中氣體的輸運現象,“真空”中氣體的輸運現象將在下一節討論）.§3.8.1氣體黏性系數的導出一.氣體的黏性系數在層流流體中,每個分子除有熱運動動量外,還疊加上定向動量.因為熱運動動量的平均值為零,故只需考慮流體中各層分子的定向動量.設想有一與定向動量方向平行,與z軸垂直的某一中性平面,它的z軸坐標為z0.如圖所示。2.若再假設所有從上面（或從下面）穿越z0平面的分子,平均說來都分別是來自

則:1.在t時間內從上方穿過

z0平面上的面積元向下運動的平均分子數為:假定有n/6個分子向z0方向運動,每個分子以平均速率運動。3.將上面的兩式相減即得從下方通過z0平面面積向上方凈輸運的總動量:4.該式除以t即得z0平面內的切應力,即黏性力:5.考慮到在近平衡的非平衡條件下,氣體定向運動的速度梯度ux/z較小,另外氣體的壓強也并非很低,因而分子平均自由程并不很大,這說明在z方向間距為平均自由程的范圍內,定向速率的變化ux與ux相比小得多,因而可作泰勒級數展開并取一級近似有:

將它們代入f中可得:6.將上式與牛頓黏性定律比較可得:利用氣體的密度

=mn的關系,上式可以表示為:二.討論:1.

與

n無關:和由可以得到:(2)氣體的黏性系數在溫度一定時與n(或P)無關這一特性首先由麥克斯韋于1860年得出,并由他在實驗上加以證實.2.僅是溫度的函數:若認為氣體分子是剛球,有效碰撞截面=d2為常數.將氣體分子平均速率公式代入中可得:說明:與T1/2成正比.(1)若n加倍,確實在z0平面上下之間交換的分子對數加倍.但因平均自由程也減半,它只能輸送離z0平面上下距離分別為處的定向動量,這樣凈動量的輸運率仍不變.3.利用可以測定氣體分子碰撞截面及氣體分子有效直徑的數量級。在三個輸運系數中,實驗最易精確測量的是氣體的黏性系數,利用黏性系數的測量來確定氣體分子有效直徑是較簡便的.4.黏性系數公式的適用條件為:(L為容器的線度)對于稀薄氣體:它的輸運性質將在下一節討論.5.采用不同近似程度的各種推導方法的實質是相同的.上面對的推導中采用了如下近似:①利用氣體分子碰壁數公式;②平均說來從上（或下）方穿過z0平面的分子都是在上下分別相距平均自由程處經受一次碰撞的；③未考慮分子從上（或下）方穿過z0平面時的碰撞概率.實際上,即使是更為嚴密細致的推導,其中仍有一定的近似,其結果與實驗仍有一定差別,更深層次的討論要利用非平衡態統計,其數學處理要復雜得多.所有不同層次的各種推導方法的實質都是相同的,所得結果其數量級一致.對于初學者來說,應該首先關心輸運系數與哪些物理量有關？它的數量級是多少？至于公式中的系數,在不影響數量級的情況下是次等重要的.

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氣體熱傳導系數和擴散系數的導出主講：孔紅艷

陜西師范大學物理學與信息技術學院§3.8.2氣體熱傳導系數與擴散系數的導出

一.氣體的熱傳導系數1.推導:氣體熱傳導是在分子熱運動過程中交換分子同時所伴隨的能量傳輸,其討論方法與上節類同.不同僅是在z軸方向不存在定向運動速率梯度,而存在溫度梯度.現假設在及處的溫度分別為:若溫度梯度數值較小,就可假定恰在離開z0平面上下一個平均自由程距離處碰撞過的分子的平均動能僅與在碰撞處的溫度有關,它們的溫度分別為:這樣,在z0平面上交換分子對的同時也交換了熱運動動能,因而產生了熱量的輸運.在單位時間內,在單位截面上交換的分子對數為:因而單位時間內,在單位截面上流過的熱量為:即:或者:(1)因為理想氣體內能就是熱運動能量,而理想氣體定體摩爾熱容量為:代入(1)式得:(2)將(2)式與傅里葉定律對照:可得:利用

=mn關系,可以得到氣體熱導系數:可見:剛性分子氣體的熱導率與數密度n無關,僅與T1/2有關。2.氣體熱導系數討論

(1)在熱導率公式推導中沒有考慮到,由于溫度梯度不同,會在離開z0平面上下平均自由程處會發生氣體分子數密度差異及平均速率的差異,故前面所用的數據應是與氣體平均溫度所對應的數密度、密度及平均速率.(2)將及代入中可得:3.氣體熱導率公式適用于溫度梯度較小,滿足如下條件的理想氣體:二.氣體擴散系數的導出:1.類似地可證明理想氣體的擴散系數:2.討論:(1)利用平均自由程公式和平均速率的公式,即:可將上式化為:說明:剛性分子氣體的擴散系數與黏性系數不同,它在P一定時與T3/2成正比,在溫度一定時,又與P成反比.而黏性系數與P無關,與T1/2成正比.(2)由上式可看到,在一定的壓強與溫度下,擴散系數D與分子質量的平方根成反比.

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理論與實驗的比較主講：孔紅艷

陜西師范大學物理學與信息技術學院§3.8.3與實驗結果的比較

下面我們從幾個方面將初級理論的結果與實驗結果進行比較.1.輸運系數與氣體狀態參量的函數關系:選壓強P和溫度T為獨立的狀態參量.則:由于與對于壓強P的依賴關系相反,二者的乘積與P無關,導致和與P無關.這個結論在不經理論推導之前并不是顯而易見的.麥克斯韋和邁耶等人曾在幾個mmHg到幾個大氣壓的壓強范圍內作實驗,證實了這個推論,這對當時氣體動理論的建立起了重要作用.以上各式表明,,實驗結果表明,,即都比理論預期的溫度依賴關系更為顯著.偏差來自計算平均自由程時采用的是剛球模型,在此模型中只考慮了分子間的排斥力.實際上分子間還有較弱的吸引力,吸引力使分子的碰撞截面對溫度有一定的依賴關系.2.三個輸運系數之間的關系:以上各式表明:而實驗結果是:具體數值都因氣體不同而異.3.輸運系數的數量級:例1:估算150C時N2的黏性系數.取N2分子的有效直徑.已知N2的分子量為28.解:實驗測得150C時N2的黏性系數,即理論與實驗的數量級是符合的.由于三個輸運系數兩兩之比的數量級理論與實驗符合,其它兩個輸運系數的數量級也是對的.空氣的摩爾質量為0.029kg,而空氣密度為:例2:試估計標準狀況下空氣的黏性系數,熱導率及擴散系數.解:前面已估算出標準狀況下空氣的平均自由程和平均速率分別為:故:在上述計算中認為空氣是剛性分子,它僅有三個平動、兩個轉動自由度,故CV.m=5R/2。將理論結果:與表3.1,3.2和3.3的結果:進行比較.可見:在數量級上無多大差異,但其數值有一定偏差,它主要用于估計數量級.這也說明,前面所介紹的僅是關于輸運過程微觀分析的初級理論,它還存在相當大局限性.

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