學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE24學必求其心得，業必貴于專精PAGE2．1.2函數的表示方法學習目標1.理解函數的三種表示方法。2.能根據需要選擇恰當的函數表示方法.3。了解分段函數，并能進行簡單應用．知識點一解析法思考一次函數如何表示？梳理用等式來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為解析法．這個等式通常叫做函數的解析表達式，簡稱解析式．知識點二圖象法思考要知道林黛玉長什么樣,你覺得一個字的描述和一張二寸照片哪個更直觀？梳理用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法稱為圖象法．知識點三列表法思考在街頭隨機找100人，請他們依次隨意地寫一個數字．設找的人序號為x,x＝1，2,3,…，100。第x個人寫下的數字為y，則x與y之間是不是函數關系？能否用解析式表示？怎樣表示這種對應關系?梳理用列表來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為列表法．三種表示法的優缺點：知識點四分段函數思考某市規定出租車收費標準：起步價(不超過2km）為5元．超過2km時,前2km依然按5元收費，超過2km部分，每千米收1。5元．按此規定乘坐出租車行駛任意一段路程，是否都有一個唯一的收費額與之對應？收費額y元是行駛里程xkm的函數嗎？當x∈［0,2］時的計費方法與x∈(2,＋∞)時計費方法一樣嗎？梳理在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式．像這樣的函數，通常叫做分段函數．類型一解析式的求法例1根據下列條件，求f(x）的解析式．（1）f（f（x))＝2x－1，其中f(x）為一次函數；(2)f（x＋eq\f（1,x)）＝x2＋eq\f(1,x2)；（3)f(x）＋2f(－x）＝x2＋2x。反思與感悟(1）如果已知函數類型，可以用待定系數法．(2）如果已知f（g（x）)的表達式，想求f（x)的解析式，可以設t＝g（x），然后把f(g（x))中每一個x都換成t的表達式．（3)如果條件是一個關于f（x）、f(－x)的方程,我們可以用x的任意性進行賦值．如把每一個x換成－x,其目的是再得到一個關于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x）．跟蹤訓練1根據下列條件，求f(x)的解析式．（1）f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－f(x）＝2x＋9；（2)f（x＋1）＝x2＋4x＋1;(3)2f(eq\f（1,x))＋f（x）＝x（x≠0)．類型二列表法及函數表示法的選擇例2下表是某校高一（1)班三名同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表．測試序號成績姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278。385。480。375。782.6（1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系;（2）根據表示出來的函數關系對這三位同學的學習情況進行分析．反思與感悟函數的三種表示方法都有各自的優點,有些函數能用三種方法表示，有些只能用其中的一種來表示．跟蹤訓練2若函數f（x）如下表所示:x0123f（x)3210則f(f（1）)＝________.類型三分段函數命題角度1建立分段函數模型例3如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm,當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關于x的函數解析式,并畫出大致圖象．反思與感悟當目標在不同區間有不同的解析表達方式時，往往需要用分段函數模型來表示兩變量間的對應關系，而分段函數圖象也需要分段畫．跟蹤訓練3某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定:(1)5公里以內(含5公里），票價2元；（2)5公里以上,每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象．命題角度2研究分段函數的性質例4已知函數f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x，x≤2,,x2＋2,x>2.))(1)求f（f(eq\f（3，2）))；(2)若f(x0）＝8，求x0的值；（3）解不等式f(x）〉8。反思與感悟已知函數值求變量x取值的步驟（1)先對x的取值范圍分類討論．（2)然后代入到不同的解析式中．（3)通過解方程求出x的解．(4）檢驗所求的值是否在所討論的區間內．（5)若解不等式，應把所求x的范圍與所討論區間求交集,再把各區間內的符合要求的x的值并起來．跟蹤訓練4已知f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1。)）（1)畫出f（x）的圖象；(2）若f(x)≥eq\f(1，4)，求x的取值范圍；（3）求f（x)的值域．1．已知函數f（x）由下表給出，則f(f（3))＝________.x1234f(x）32412。如果二次函數的圖象開口向上頂點坐標為(1，－1)，且過點(0,0），則此二次函數的解析式為______________．3．已知正方形的邊長為x,它的外接圓的半徑為y，則y關于x的解析式為________．4．如圖所示，函數圖象是由兩條射線及拋物線的一部分組成，則函數的解析式為________．5．已知函數f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋4，x≤0,,x2－2x,0〈x≤4,,－x＋2，x〉4。))（1)求f（f（f（5))）的值；(2)畫出函數f（x）的圖象．1．如何求函數的解析式求函數的解析式的關鍵是理解對應法則f的本質與特點(對應法則就是對自變量進行對應處理的操作方法，與用什么字母表示無關），應用適當的方法,注意有的函數要注明定義域．主要方法有：待定系數法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何用函數圖象常借助函數圖象研究定義域、值域、函數變化趨勢及兩個函數圖象交點問題．3．對分段函數的理解（1)分段函數是一個函數而非幾個函數．分段函數的定義域是各段上“定義域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集．（2)分段函數的圖象應分段來作，特別注意各段的自變量取值區間端點處函數的取值情況，以決定這些點的虛實情況．

答案精析問題導學知識點一思考y＝kx＋b(k≠0)．知識點二思考一圖勝千言．知識點三思考對于任一個x的值,都有一個他寫的數字與之對應，故x，y之間是函數關系，但因為人是隨機找的，數字是隨意寫的，故難以用解析式表示．這時可以制作一個表格來表示x的值與y的值之間的對應關系．知識點四思考因為任一行駛里程x都對應唯一的收費額y，故y是x的函數；但由于起步價的規定,x∈［0，2]時,y＝5，x∈(2，＋∞)時，y＝5＋(x－2）×1。5.計費方法不一樣．題型探究例1解(1)由題意，設f（x）＝ax＋b(a≠0)，∵f（f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性質，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝2，，ab＋b＝－1，））∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r（2)，，b＝1－\r（2)）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2），，b＝1＋\r(2).))∴所求函數解析式為f(x）＝eq\r(2）x＋1－eq\r（2）或f(x）＝－eq\r（2）x＋1＋eq\r（2）.(2）∵f(x＋eq\f(1,x））＝x2＋eq\f（1，x2）＝(x＋eq\f(1，x））2－2，∴f（x)＝x2－2.又x≠0，∴x＋eq\f(1,x）≥2或x＋eq\f(1,x)≤－2，∴f(x)中的x與f（x＋eq\f（1，x)）中的x＋eq\f(1，x）取值范圍相同，∴f(x）＝x2－2，x∈(－∞，－2］∪［2，＋∞）．（3)∵f（x）＋2f（－x)＝x2＋2x，將x換成－x,得f（－x）＋2f(x)＝x2－2x,∴聯立以上兩式消去f(－x)，得3f（x）＝x2－6x,∴f（x)＝eq\f(1,3）x2－2x.跟蹤訓練1解（1）由題意,設f(x）＝ax＋b（a≠0)，∵3f（x＋1）－f(x）＝2x＋9，∴3a（x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性質,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＝2，,3a＋2b＝9，））∴a＝1,b＝3。∴所求函數解析式為f（x)＝x＋3。（2)設x＋1＝t，則x＝t－1,f（t）＝（t－1）2＋4(t－1）＋1，即f(t）＝t2＋2t－2.∴所求函數解析式為f(x)＝x2＋2x－2。（3）∵f（x)＋2f（eq\f(1,x)）＝x，將原式中的x與eq\f（1,x）互換，得f（eq\f（1,x））＋2f（x)＝eq\f（1，x)。于是得關于f（x）的方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（fx＋2f\f（1，x）＝x，,f\f（1，x)＋2fx＝\f(1,x），））解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x，3)(x≠0)．例2解(1)不能用解析法表示，用圖象法表示為宜．在同一個坐標系內畫出這四個函數的圖象如下:(2)王偉同學的數學成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩定而且成績優秀．張城同學的數學成績不穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大．趙磊同學的數學成績低于班級平均水平,但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數學成績在穩步提高．跟蹤訓練21例3解過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC,垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°,AB＝2eq\r（2）cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm,所以AD＝GH＝3cm.（1）當點F在BG上，即x∈［0，2]時，y＝eq\f(1，2)x2；(2）當點F在GH上，即x∈（2，5]時，y＝eq\f（x＋x－2,2）×2＝2x－2;（3）當點F在HC上，即x∈（5,7］時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2）（7＋3）×2－eq\f(1，2）(7－x）2＝－eq\f（1,2)（x－7）2＋10.綜合（1）(2）(3），得函數的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2，x∈[0，2],,2x－2，x∈2，5]，，－\f(1,2)x－72＋10,x∈5，7］.))

圖象如圖所示：跟蹤訓練3解設票價為y元，里程為x公里，定義域為（0，20］．由題意得函數的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2，0〈x≤5，,3，5<x≤10，，4，10〈x≤15，,5,15〈x≤20.））函數圖象如圖所示：例4解(1）∵eq\f（3，2）≤2，∴f（eq\f(3，2）)＝2×eq\f（3,2）＝3，∴f（f（eq\f（3,2)））＝f（3)．∵3＞2，∴f（3)＝32＋2＝11，即f(f（eq\f（3,2))）＝11。（2）當x0≤2時，由2x0＝8，得x0＝4，不符合題意；當x0>2時，由xeq\o\al(2，0）＋2＝8，得x0＝eq\r（6）或x0＝－eq\r（6）（舍去）,故x0＝eq\r（6）.（3）f(x)>8等價于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x≤2，,2x〉8,）)①或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x〉2，,x2＋2〉8，）)②解①得x∈?，解②得x>eq\r（6)。綜合①②，f（x）>8的解集為{x｜x〉eq\r（6)}．跟蹤訓練4解(1）利用描點法，作出f(x）的圖象,如圖所示．（2）由于f（±eq\f(1，2））＝eq\f（1，4),結合此函數圖象可知，使f（x）≥eq\f（1,4)的x的取值范圍是(－∞，－eq\f（1,2)]∪［eq\f(1,2)，＋∞）．(3）由圖象知，當－1≤x≤1時，f(x)＝x2的值域為［0,1］，當x>1或x<－1時，f(x)＝1.所以f(x)的值域為[0，1］．當堂訓練1．12.f（x)＝(x－1)2－13.y＝e