數據、模型與決策

第十講案例分析

主講：鄧旭東教授教學內容李四企業的生產經營規劃問題1農戶種植計劃的優化問題2王五管理的科研課題經費使用規劃問題3產品結構優化問題4張三同學的自習時間分配方案規劃問題5教學內容連續投資的優化問題6人員需求規劃問題7飛行器能源裝置設置優化方案問題8企業集團的經營規劃問題9一、李四企業的生產經營規劃問題李四經營著一個小企業，這個企業最近出現了一些問題，資金周轉出現困難。該企業一共生產經營著三種產品，當前有兩種產品賠錢，一種產品賺錢。其中，第一種產品是每生產一件賠100元，第二種產品每生產一件賺300元，第三種產品每生產一件賠400元。

三種產品分別消耗(或附帶產出)三種原料，其中第一種產品每生產一件附帶產生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二種產品每生產一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附帶產生100千克原料B；第三種產品每生產一件需要消耗原料A、B、C各100千克。由于生產第一種產品的設備已經損壞，且企業也無能力籌集資金修復之，所以該企業現已無法組織生產第一種產品。

現在倉庫里還存有A原料40000千克，后續貨源供應難以得到保證；庫存B原料20000千克，如果需要，后續容易從市一、李四企業的生產經營規劃問題場采購得到；庫存C原料30000千克，如果需要，后續容易從市場采購得到。

李四想轉行經營其他業務，但苦于倉庫里還積壓著90000千克原料，如果直接出售原料，則比生產后出售成品賠得更多。沒有辦法，李四只好向運籌學專家咨詢，看看如何組織生產才能將損失降到最低。

請對李四企業的生產經營情況進行考查和分析，建立該問題的線性規劃模型，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。

一、李四企業的生產經營規劃問題設生產第一、第二、第三種產品的數量分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規劃模型如下：

目標函數maxz=-100x1+300x2-400x3

約束條件-100x1+100x2+100x3≤40000

100x1-100x2+100x3≥20000

200x1+100x2+100x3≥30000

x1=0,x2≥0,x3≥0

解得：x1*=0，x2*=50，x3*=250，z*=-85000。

不生產第一種產品，生產第二種產品50件，生產第三種產品250件，A原料余下10000千克予以轉讓，B、C原料剛好用完，生產性損失最小(虧損85000元)。二、農戶種植計劃的優化問題某農戶共承包土地23畝，其中坡地10畝，旱地8畝，水田5畝。在這23畝土地上，可以種植的作物有6種。其中第一種作物適合于在坡地與旱地種植，第二種作物只適合于在旱地種植，第三種作物則三種類型的土地都適合于種植，第四種作物適合于在坡地和旱地種植，第五種和第六種作物只適合于在水田種植。

根據經驗，在坡地種植第一種獲得100元收入所需要的面積是0.4畝，在旱地種植第一種作物獲得100元收入所需要的面積是0.3畝；在旱地種植第二種作物獲得100元收入所需要的面積是0.25畝；在坡地種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.2畝，在旱地種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.15畝，在水田種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.4畝；在坡地種植第四種作物獲得100元收入所需要的面積是0.18二、農戶種植計劃的優化問題畝，在旱地種植第四種作物獲得100元收入所需要的面積是0.1畝；在水田種植第五種作物獲得100元收入所需要的面積是0.15畝，在水田種植第六種作物獲得100元收入所需要的面積是0.1畝。

問題是：如何安排種植計劃，才能獲得最大的收益？

請建立該問題的線性規劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。

二、農戶種植計劃的優化問題設選擇種植第一、第二、第三、第四、第五、第六種作物的份數(1份對應于獲得100元收入所需要的畝數)分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，則可建立該問題的線性規劃模型如下：

目標函數maxz=100x1+100x2+100x3+100x4+100x5+100x6

約束條件0.4x1+0.2x3+0.18x4

≤10

0.3x1+0.25x2+0.15x3+0.1x4

≤8

0.4x3+0.15x5+0.1x6≤5

x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0

解得：x1*=0,x2*=9.777778,x3*=0,x4*=55.55556,x5*=0,x6*=50。

全部的5畝水田都用來種植第六種作物；在旱地中拿出2.45畝地種植第二種作物，其余的5.55畝旱地全部種植第四種作物；10畝坡地全部用于種植第四種作物，其他的三種作物不安排種植。按照這樣的方案種植，可以獲得最大收入為：z*=11533.33(元)。三、王五管理的科研課題經費使用規劃問題

王五管理著一個科研課題，根據課題進展情況看，不久就要結題了。由于課題的管理采用經費與任務包干制，所以可以通過節約開支來預留課題完成后的產業推廣經費。現王五需要制訂出這樣的一個方案：既按期完成科研任務，又要盡可能多地節省費用，人員的收入還不能減少。同時他還想知道這筆可節省的費用究竟是多少？

課題組的費用構成有兩個部分：一是人員經費開支，二是試驗消耗與器材采購費用開支。其中，由于出臺了增收節支激勵政策，所以人員經費開支與原計劃相比每月可節省1萬元，試驗消耗與器材采購費用開支每月可節省4萬元。

該課題由兩個子課題構成。其中第一個子課題的開支情況為：每月人員經費為1萬元，每月試驗與器材經費的開支為10萬元；第二個子課題的開支情況為：人員經費計劃為1萬元，實際上該子課題每月可通過邊研制邊推廣應用的方式三、王五管理的科研課題經費使用規劃問題獲得凈收入1萬元，這樣就可以保證每月正常的人員經費開支，所節余的1萬元可向課題組上繳，同時該子課題的試驗與器材經費開支需求是每月8萬元。

第一個子課題的總經費還剩20萬元，但如果申請，還可以增加；第二個子課題的經費還有40萬元，但即使申請也不可能再增加。

課題組研究后一致決定采用如下原則進行決策：

(1)所節余的人員經費用于獎勵，不計入節省費用的總額當中。

(2)在保證圓滿完成課題任務的前提下，最大限度地積累課題應用性推廣經費。

請建立該問題的線性規劃模型，幫助王五制訂最合理的科研結題周期以及可節省的費用(要求使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題，并附帶結果分析報告)。三、王五管理的科研課題經費使用規劃問題設第一個、第二個費用科目節省經費的月數分別為x1、x2，則可建立該問題的線性規劃模型如下：

目標函數maxz=x1+4x2

約束條件x1+10x2≥20

-x1+8x2≤40

x1=0，x2≥0

解得：x1*=0，x2*=5，z*=20。

得到的結論是：在給定的決策原則下，從節省費用最大化的角度看，最合理的科研結題周期是5個月，最多可從中節省出20萬元的產業化推廣經費。

四、產品結構優化問題

某企業可以生產兩種產品(分別記為A、B產品)，這兩種產品都既可以按標準狀態出廠，也可以按不同的部件組合方案或者標準產品加部件的組合方案配套出廠。標準A產品由兩種部件(分別記為A1、A2)構成，標準B產品有三種部件(分別記為B1、B2、B3)構成。

今年的市場分析表明，客戶甲需要的產品由A、B兩種產品組成，以標準狀態作為出廠狀態；客戶乙需要的產品需要由A產品加B1部件組合這種非標準狀態作為出廠狀態；客戶丙需要的產品需要由A2部件加B2部件組合這種非標準狀態作為出廠狀態。

其中，客戶甲需要的產品每套使用5個A1部件，7個A2部件，6個B1部件，4個B2部件，7個B3部件；客戶乙需要的產品每套使用10個A1部件，9個A2部件，8個B1部件；客戶丙需要的產品每套使用12個A2部件，11個B2部件。四、產品結構優化問題

在以上技術狀態約束下，經測算，提供給甲客戶產品的單套利潤為48萬元，提供給乙客戶產品的單套利潤為46萬元，提供給丙客戶產品的單套利潤為36萬元。

經生產能力平衡測算，各種部件產品的年生產能力上限分別為：A1部件年產624個，A2部件年產920個，B1部件年產412個，B2部件年產770個，B3部件年產350個。

問題：如何組織生產和銷售才能獲得最大利潤？最大獲利為多少？

請建立該問題的線性規劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。

四、產品結構優化問題

設客戶甲、乙、丙需要的產品套數分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規劃模型如下：

目標函數maxz=48x1+46x2+36x3

約束條件5x1+10x2

≤624

7x1+9x2+12x3

≤920

6x1+8x2

≤412

4x1++11x3

≤770

7x1

≤350

x1，x2，x3≥0

解得：x1*=50，x2*=14，x3*=37，z*=4376

得到的結論是：從銷售角度來看，客戶甲需要的產品銷售50套，客戶乙需要的產品銷售14套，客戶丙需要的產品銷售37套；從生產角度來看，A1部件生產390個，A2部件生產920個，B1部件生產412個，B2部件生產607個，B3部件生產350個；最大獲利為4376萬元。五、張三同學的自習時間分配方案規劃問題張三念大學一年級，半年后他的學習情況如下：必修課平均成績85分，選修課中自然科學類學科的平均考試成績為60分，而人文科學類學科的平均考試成績為50分。他認為自己的學習成績還不是十分理想，準備增加自修時間(從每天的6小時增加到7小時——即下午和晚上各增加半個小時)來提高成績，但是，他不知道在哪類功課上增加自修時間對提高成績最有利。他請輔導老師幫他認真分析和總結了自己的自修時間分配與各類課程成績之間的關系，并列出了一張關系表：

必修課自然科學類選修課人文科學類選修課總自修時間上午1001下午1102晚上1113平均成績85%60%50%五、張三同學的自習時間分配方案規劃問題請幫助張三制定一個關于自習時間優化分配的線性規劃模型，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)

。五、張三同學的自習時間分配方案規劃問題以每天在各類課程自修方面所花的時間為背景，設x1表示優化后在必修課方面所需投入時間與現在投入時間相比的倍數，x2表示優化后在自然科學類選修課方面所需投入時間與現在投入時間相比的倍數，x3表示優化后在人文科學類選修課方面所需投入時間與現在投入時間相比的倍數，則可建立該問題的線性規劃模型如下：

目標函數maxz=0.85x1+0.6x2+0.5x3

約束條件x1

≤1

x1+x2

≤2.5

x1+x2+x3

≤3.5

x1，x2，x3

≥0

解得：x1*=1，x2*=1.5，x3*=1，z*=2.25。

顯然，最優的選擇是自然科學類選修課自修時間與當前自修時間的比值為1.5，即下午和晚上各增加半個小時。三類功課的平均分總分將從當前的195分上升到225分。博弈的分類

某企業在今后五年內考慮對下列項目投資，已知：項目A，從第一年到第四年每年年初需要投資，并于次年末回收本利115%。項目B，第三年初需要投資，到第五年末能回收本利125%，但規定最大投資額不超過40萬元。項目C，第二年初需要投資，到第五年末能回收本利140%，但規定最大投資額不超過30萬元。項目D，五年內每年初可購買公債，于當年末歸還，并加息6%。該企業5年內可用于投資的資金總額100萬元，問它應如何確定給這些項目每年的投資額，使得到第五年末獲得的投資本利總額為最大？請建立該問題的線性規劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。六、連續投資的優化問題

設xiA、xiB、xiC、xiD(i=1,2,…,5)分別表示第i年年初給項目A、B、C、D的投資額，它們都是待定的未知變量。根據給定的條件，將變量列于下表中：六、連續投資的優化問題年份項目12345Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D

則可建立該問題的線性規劃模型如下：目標函數maxz=1.15x4A+1.25x3B+1.40x2C+1.06x5D約束條件x1A+x1D=1000000-1.06x1D+x2A+x2C+x2D=0-1.15x1A-1.06x2D+x3A+x3B+x3D=0

-1.15x2A-1.06x3D+x4A+x4D=0-1.15x3A-1.06x4D+x5D=0x2C

≤300000x3B

≤400000x1A,x1D,x2A,x2C,x2D,x3A,x3B,x3D,x4A,x4D,x5D≥0

六、連續投資的優化問題按下述方案進行組合投資，可獲本利的總額是1437500元，五年總獲利率為43.75%：x1A=347826.1，x1D=652173.9，x2A=391304.3，x2C=300000，x3B=400000，x4A=450000，即第一年：A項目投資347826.1元,D項目投資652173.9元；第二年：A項目投資391304.3元，C項目投資300000元；第三年：B項目投資400000元；第四年：A項目投資450000元；第五年：不進行任何新的投資活動。六、連續投資的優化問題

某生產線需要24小時連續不斷地運轉，生產線上的工人每工作4小時后需要進餐和休息2小時，然后再上班工作4小時，合計工作8小時后下班，休息14小時后再上班。已知生產線上各個時段需要完成的工作時間數量為：早上8:00到中午12:00需要596(人·小時)；中午12:00到下午2:00需要304(人·小時)；下午2:00到下午6:00需要492(人·小時)；下午6:00到晚上10:00需要366(人·小時)；晚上10:00到晚上12:00需要202(人·小時)；晚上12:00到早上4:00需要412(人·小時)；早上4:00到早上8:00需要404(人·小時)。為了保持生產的連續性，每個時段都至少要有一個班組的人員要留下來跟蹤關鍵工藝流程2個小時。七、人員需求規劃問題規劃的總目標是，在不同的時間段，根據需要安排最低限度的人力資源，既保證生產線的正常運轉，又不至于出現冗員。問這個生產線至少需要配備多少名工人？每班次各需要配備多少名工人？請建立該問題的線性規劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。七、人員需求規劃問題根據已知條件，這條生產線的運轉每天有7個不同的時段，每個時段都需要一個新的工作班次人員加入，各個時段都需要至少2個以上的班次人員并行工作，不同班次的(人·小時)數相加等于本工作時段的總(人·小時)數，就可以構成7個約束條件；把每個班次所需人數相加并使其最小化，就可以構成問題的目標函數；由于人數不可能為負數，所以所有的決策變量均大于或等于零。于是有：

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x78:00～12:004x1+2x2+4x6+2x7=59612:00～14:002x2+2x3+2x7=30414:00～18:004x1+2x2+2x3+2x7=49218:00～22:002x2+4x3+2x4=36622:00～24:002x4+2x5=2020:00～4:004x4+2x5+2x6=4124:00～8:004x5+2x6+2x7=404x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0七、人員需求規劃問題

規劃的結果是，這個企業至少需要347人才能保證生產線正常運轉。其中，第一班次需要工人數為47，第二班次需要工人數為41，第三班次需要工人數為42，第四班次需要工人數為58，第五班次需要工人數為43，第六班次需要工人數為47，第七班次需要工人數為69。七、人員需求規劃問題某飛行器需要使用電源的設備主要包括導航設備、控制儀器設備、伺服機構三個部分。該飛行器的能源裝置為化學電池，一共需要使用三組電池為上述三種設備進行分類供電(第一組為三種設備的大功率部件供電，第二組為三類設備的中功率部件供電，第三組為三類設備的小功率部件供電)。三組電池可選擇三種電池單元進行組合，以便在獲得足夠輸出功率的同時實現電池質量最小化的目標。其中，導航設備需要的總額定能量為≥200(A·h)，控制儀器設備需要的總額定能量為≥220(A·h)，伺服機構需要的總額定能量為≥580(A·h)。再其中，針對導航設備而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為5.5，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為8，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為9.1。八、飛行器能源裝置設置優化方案問題針對控制儀器設備而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為5.6，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為8.2，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為9.2。針對伺服機構而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為5.47，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為7.9，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(A·h/單元)為8.7。已知每個電池單元的質量分別為2千克、1.5千克和1千克。由于工藝與結構尺寸的限制，每組電池所包含的單元數不能大于30個。請建立該問題的線性規劃模型，確定需要每種電池單元的數量，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結果分析報告)。八、飛行器能源裝置設置優化方案問題設優化后的第一種、第二種、第三種電池單元數分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規劃模型如下：目標函數maxz=2x1+1.5x2+x3約束條件5.5x1+8x2+9.1x3

≥2005.6x1+8.2x2+9.2x3≥220

5.47x1+7.9x2+8.7x3

≥580

x1

≤30

x2

≤30

x3

≤30

x1，x2，x3

≥0解得：x1*=15，x2*=30，x3*=30，z*=105。得到的結論是：第一組電池使用單元數為15個，第二組電