第7章有限脈沖響應濾波器的設計

2023/2/52本章將介紹數字濾波器的一種主要類型：有限脈沖響應濾波器，或稱FIR濾波器。本章內容包括：在回顧非遞歸濾波器的差分方程、脈沖響應、傳輸函數及頻率響應的基礎上，·說明FIR濾波器的特點、設計方法和線性相位條件?！ざxFIR窗，并給出選擇窗類型和濾波器階數的方法?！ち谐龃昂瘮捣ǖ屯V波器設計步驟，以及如何設計帶通、帶阻和高通FIR濾波器?！そo出頻率采樣法設計濾波器的基本原理，選擇過渡點數和濾波器階數的方法。·最后討論等波紋FIR濾波器的設計，并對FIR和IIR濾波器作全面比較。2023/2/53目錄7.1有限脈沖響應濾波器基礎7.2線性相位FIR數字濾波器的條件和特點7.3利用窗函數法設計FIR濾波器7.4用頻率采樣法設計FIR濾波器7.5用等波紋逼近法設計FIR濾波器設計7.6IIR和FIR數字濾波器的比較2023/2/547.1有限脈沖響應濾波器基礎無限脈沖響應(IIR)數字濾波器的優點是可以利用模擬濾波器的設計結果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單。但是它也有明顯的缺點，就是相位的非線性；若需線性相位，則要采用全通網絡進行相位校正。因為圖像處理以及數據傳輸都要求信道具有線性相位特性。而有限脈沖響應(FIR)數字濾波器就可以做成具有嚴格的線性相位，同時又可以具有任意的幅度特性。2023/2/55FIR濾波器的特點FIR濾波器的脈沖響應h(n)是有限長的(0≤n≤N-1)，其z變換為

是z-1的(N-1)階多項式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1)個零點，而極點位于z平面原點z=0處，且有(N-1)階。FIR濾波器最突出的優點有2個：一是只要對h(n)附加一定的條件，很容易獲得嚴格的線性相位特性；二是由于H(z)的極點位于原點z=0處，始終滿足穩定條件，所以FIR濾波器永運穩定。2023/2/56另外，FIR濾波器由于單位脈沖響應是有限長的，因而可以用快速傅里葉變換(FFT)算法來實現過濾信號，從而可大大提高運算效率。但是，要取得很好的衰減特性，FIR濾波器H(z)的階次比IIR濾波的要高。FIR濾波器的設計方法IIR濾波器設計中的各種變換法對FIR濾波器設計是不適用的，這是因為那里是利用有理分式的系統函數，而FIR濾波器的系統函數只是z-1的多項式。2023/2/57FIR濾波器的設計方法FIR的設計任務是選擇有限長度的脈沖響應h(n)，得到系統函數H(z)，使幅頻特性滿足技術指標要求，同時使相頻特性達到線性相位。本章主要介紹三種設計方法：(1)窗函數法(2)頻率采樣法(3)切比雪夫等波紋逼近法。人們最感興趣的是FIR濾波器具有線性相位的相頻特性。對非線性相位的FIR濾波器，一般可以用IIR濾波器來代替，因為同樣幅度特性，IIR濾波器所需階數比FIR濾波器的階數要少得多。2023/2/587.2線性相位FIR數字濾波器的條件和特點線性相位條件對于長度為N的h(n)，傳輸函數為H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)

式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)為ω的實函數，可能取負值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數，即

θ(ω)=-τω，τ為常數7-17-27-3如果θ(ω)滿足θ(ω)=θ0-τω，θ0是起始相位7-42023/2/59嚴格地說，此時θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數，即也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7-3)式是第一類線性相位；滿足(7-4)式為第二類線性相位。1.第一類線性相位條件將(7-1)式用尤拉公式展開2023/2/510因h(n)為實序列，可得相頻特性，同時考慮θ(ω)=–τω，得因而即7-52023/2/511分析(7-5)式，正弦函數應在τ=n處奇對稱，選序列中心，令τ=(N-1)/2，則正弦函數以(N-1)/2為中心奇對稱。為使求和式為零，h(n)必須以(N-1)/2為中心偶對稱，即必須滿足7-67-77-8式(7-7)是FIR濾波器具有線性相位的必要且充分條件，它要求脈沖響應h(n)序列以n=(N-1)/2為偶對稱中心，此時時間延時τ等于h(n)長度N-1的一半，即為τ=(N-1)/2個抽樣周期。θ(ω)是通過坐標原點的斜直線，斜率為-(N-1)/2。2023/2/5122.第二類線性相位條件對第二類線性相位，作同樣推導可知，必須要求要使(7-9)式成立，必須滿足7-97-107-117-127-13式(7-12)是FIR濾波器具有第二類線性相位的充要條件2023/2/513第二類線性相位的必要且充分條件

要求脈沖響應序列h(n)以n=(N-1)/2為奇對稱中心，此時延時τ等于(N-1)/2個抽樣周期。h(n)在這種奇對稱情況下，滿足h[(N-1)/2]=-h[(N-1)/2]，因而

h((N-1)/2)=0。這種線性相位情況和前一種不同之處是，除了產生線性相位外，還有±π/2的固定相移。由于h(n)有上述奇對稱和偶對稱兩種，而h(n)的點數N又有奇數、偶數兩種情況，因而h(n)可以有4種類型，如圖7-5和圖7-6所示，分別對應于4種線性相位FIR數字濾波器。2023/2/514

(a)N為奇數;(b)N為偶數(a)N為奇數;(b)N為偶數圖7-5h(n)偶對稱圖7-6h(n)奇對稱。2023/2/515線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點由于線性相位FIR濾波器的脈沖響應應該滿足(7-7)式和(7-12)式，即h(n)=±h(N–1–n)因而系統函數可表示為

即H(z)=±z-(N–1)H(z–1)7-14進一步寫成2023/2/5167-15在這一公式中，方括號內有“±”號。當取“+”號時，h(n)滿足h(n)=h(N–1–n)偶對稱；當取“-”號時，h(n)滿足h(n)=-h(N–1–n)奇對稱。對應圖7-5和圖7-6四種情況，下面分別討論它們的幅度特性。1.h(n)=h(N–1–n)，N為奇數由(7-15)式可知，頻率響應為7-162023/2/517幅度函數Hg(ω)為式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并，由于N是奇數，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數表示為令m=(N-1)/2-n，則有7-172023/2/518式中7-18按照(7-17)式，由于式中cosωn項對ω=0，π，2π皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對ω=0，π，2π是偶對稱的。如表7-2中情況1。2．h(n)=h(N–1–n)，N為偶數推導情況和前面N=奇數相似，不同點是由于N=偶數，Hg(ω)中沒有單獨項，相等的項合并成N/2項。2023/2/519令m=N/2-n，則有7-19式中7-20按照(7-19)式，ω=π時，余弦項變為正弦項，Hg(ω)以ω=π奇對稱，且在ω=π處有一零點,使Hg(π)=0。所以，對于高通和帶阻濾波器不適合采用這種情況。如表7-1中情況2。2023/2/5203．h(n)=-h(N–1–n)，N為奇數此時，由(7-15)式可知，頻率響應為由于h(n)=-h(N–1–n)，n=(N-1)/2時因此h((N-1)/2)=0，即h(n)奇對稱時，中間項為零。7-212023/2/521在Hg(ω)中h(n)對(N-1)/2奇對稱，正弦項也對該點奇對稱，因此在Σ中第n項和第(N–1–n)項是相等的，將相同項合并，共合并為(N-1)/2項，即令m=(N-1)/2-n，則有7-22式中7-232023/2/522由于在ω=0，π，2π時，正弦項為零，因此幅度特性Hg(ω)在ω=0，π，2π處為零，且Hg(ω)對ω=0，π，2π呈奇對稱。如表7-1中情況3。此種情況只能用于帶通濾波器的設計，其它類型均不適用。4．h(n)=-h(N–1–n)，N=偶數類似上面情況3，推導如下令m=(N-1)/2-n則有7-242023/2/523式中7-25由(7-24)式，因為正弦項在ω=0，2π處為零，因此Hg(ω)在ω=0，2π處為零，且對ω=0，2π奇對稱；當ω=π時，正弦項變為余弦項，Hg(ω)對ω=π呈偶對稱。適合高通或帶通濾波器的設計，不能設計低能濾波器。以上分析了四種線性相位FIR的幅度特性，由于有些情況在ω=0或π點Hg(ω)=0，所以在設計時，要注意選擇合適的h(n)對稱形式(奇或偶)和h(n)長度N(奇數或偶數)。如要設計高通濾波器，只能選情況1和情況4；要設計低通濾波器，只能選情況1和情況2。2023/2/524將以上四種情況的幅度特性之特點，h(n)需滿足的條件以及相位特性綜合在表7-2中。表7-2線性相位FIR濾波器的幅度特性與相位特性一覽表2023/2/525續表7-22023/2/5267.3利用窗函數法設計FIR濾波器逼近理想低通濾波器

圖7-10(a)是理想低通濾波器的幅度響應，該理想濾波器具有截止頻率ωc，相頻特性θ(ω)=0，如圖7-10(b)所示，這個理想濾波器作為普通FIR濾波器設計的起點。圖7-10理想低通濾波器的頻率響應和脈沖響應2023/2/527該理想低通濾波器的頻率響應為對應的脈沖響應為如圖7-10(c)所示。圖7-10(c)7-282023/2/528然而，設計一個理想低通濾波器并不是這么簡單。

第一個問題是由于脈沖響應在n=0之前就存在，所以它是非因果的。并且，由于n為負值時的非零值無限多，它不能向滑動平均濾波器一樣進行時移。

第二，無限多項意味著脈沖響應不能直接轉換為非遞歸差分方程。一個簡單的解決辦法就是把圖7-10(c)脈沖響應兩邊響應值很小的采樣點截去。脈沖響應為有限長，能夠位移為因果性，使得脈沖響應所描述的濾波器可用。將無限長脈沖脈沖響應序列截斷，得到一個有限長序列，并用它逼近理想低通濾波器，這就是利用窗函數法設計FIR數字濾波器的基本原理。2023/2/529設計時先將hd(n)右移a，且取，N為截斷后的序列長度，如圖7-11(a)所，此理想低通濾波器的頻率響應為對應的脈沖響應為7-29顯然，hd(n)是以a為中心的無限長非因果序列，現在需要尋找一個有限長序列h(n)來逼近hd(n)，h(n)應滿足FIR濾波器的基本條件，即它是偶對稱或奇對稱的，以滿足線性相位的要求，它還應當是因果的。2023/2/530取可見，選a=(N-1)/2是為了滿足偶對稱的要求，也可以把h(n)看作是hd(n)與一矩形序列wR(n)(如圖7-11(b)所示)相乘的結果，即h(n)=hd(n)wR(n)7-30其中h(n)如圖7-11(c)所示。wR(n)稱為矩形窗函數。即FIR數字濾波器的頻譜函數是理想低通濾波器的頻譜與窗函數頻譜的卷積。采用不同的窗函數，對應的H(ejω)有不同的形狀。2023/2/531圖7-11理想低通脈沖響應的直接截取

脈沖響應的截斷自然會對頻率響應產生影響。截斷后，濾波器形狀不再是理想矩形。2023/2/532圖7-12給出了N取21項因果脈沖響應的幅度響應。同時也給出了理想低通濾波器的形狀，用以說明時域截斷對濾波器形狀的影響。當然，保留的點越多，濾波器形狀就越接近理想。圖7-12非理想低通濾波器的幅度響應

由圖7-12可看出，截斷的影響主要體現在通帶和阻帶內有波動，過渡帶加寬。要使設計的濾波器逼近理想低通濾波器，必須從降低通帶和阻帶波動，減小過渡帶上去考慮。2023/2/533從降低通帶和阻帶波動，減小過渡帶上考慮。其中起關鍵作用的就是窗函數，窗函數不一定是矩形，也可以是其它形狀。窗函數設w(n)為某一窗函數，一般將h(n)表示為

h(n)=hd(n)wR(n)根據傅里葉變換的卷積性質，h(n)的頻譜函數可表示為7-317-32即FIR數字濾波器的頻譜函數是理想低通濾波器的頻譜與窗函數頻譜的卷積。采用不同的窗函數，對應的H(ejω)有不同的形狀。2023/2/534幾種常用的窗函數

1．矩形窗(RectangleWindow)長度為N的矩形窗函數定義為矩形窗wR(n)的頻譜為其中7-337-342023/2/535矩形窗幅度函數wR(ω)的圖形如圖7-13(b)所。ω從~之間的wR(ω)稱為窗函數頻譜的主瓣，主瓣兩則呈衰減振蕩的部分稱為旁瓣。圖7-13矩形窗對理想低通幅度特性的影響2023/2/536理想低通濾波器的頻率響應可表示為Hd(ejω)=Hd(ω)e-jαω其幅度響應Hd(ω)為由式(7-32)知，FIR數字濾波器的頻率響應表示為

因此FIR數字濾波器的幅度響應為7-352023/2/537圖7-13矩形窗對理想低通幅度特性的影響2023/2/538通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點：⑴在理想特性不連續點ω=ωc附近形過渡帶。過濾帶的寬度，近似等于WR(ω)主瓣寬度，即4π/N。⑵通帶內增加了波動，最大的峰值在ω=ωc-2π/N處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波動的情況與窗函數的幅度譜有關。WR(ω)波動愈快(N加大時)，通帶、阻帶內波動愈快，WR(ω)旁瓣的大小直接影響H(ω)波動的大小。以上兩點就是對hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映,稱為吉布斯效應。這種效應直接影響濾波器的性能。2023/2/539直觀上，增加矩形窗口的寬度，即加大N，可以減少吉布斯效應的影響。下面分析一N加大時，WR(ω)的變化。在主瓣附近，按照(7-34)式WR(ω)可近似為該函數的性質是隨x加大(N加大)，主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變；另一方面，波動的頻率加快，當x→∞(N→∞)時，sinx/x趨近于δ函數，因此，當N加大時，H(ω)的波動幅度沒有多大改善，帶內最大肩峰比H(0)高8.95％，阻帶最大負峰比零值超過8.95％，使阻帶最小衰減只有21dB。N加大帶來的最大好處就是H(ω)過濾帶變窄(過濾帶近似為4π/N)。2023/2/540因此加大N并不是減少吉布斯效應的有效方法。圖7-14給出了矩形窗的幅度響應，最大旁瓣比直流幅值低13dB，由矩形窗得到的低通濾波器，其通帶和阻帶增益之差約為21dB，如圖7-15。

圖7-14矩形窗幅度響應圖7-15矩形窗得到的濾波器形狀2023/2/541以上分析說明，調整窗口長度N可以有效地控制過濾帶的寬度。而減少帶內波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數的形狀上找解決方法。如果能找到窗函數形狀，使其譜函數的主瓣包含更多的能量，相應旁瓣幅度就變小了；旁瓣的減少可使通帶、阻帶波動減少，從而加大阻帶衰減。

但這樣總是以加寬過濾帶為代價的。下面介紹其他的窗函數。其包絡形狀如圖7-16。2023/2/542圖7-16幾種窗函數的包絡形狀2．巴特利特窗(BartlettWindow)(三角形窗)7-362023/2/5437-37其主瓣寬度為8π/N，第一副瓣比主瓣低26dB。3.漢寧窗(HanningWindow)(升余弦窗)0≤n≤N-1

或將頻率響應寫成W(ejω)=W(ω)e-jωα，利用序列的傅里葉變換的調制性質，由式(7-39)可得出漢寧窗的頻譜幅度函數為7-387-397-402023/2/544因此可以認為漢寧窗的頻譜由圖7-17所示的3部分組成，3部分頻譜相加的結果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣內，代價是使主瓣的寬度加大了一倍，為8π/N。

(a)(b)圖7-17漢寧窗的頻譜漢寧窗的旁瓣比直流幅度小31dB，濾波器的設計具有較好的阻帶衰減。用漢寧窗設計的低通FIR濾波器幅度響應，最大旁瓣的阻帶增益比通帶增益低44dB，而用矩形窗時僅為21dB。2023/2/5454.哈明窗(HammingWindow)(改進的升余弦窗)

對升余弦加以改進，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為(當N>>1)

7-417-42結果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗設計的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益低55dB。如圖7-19所示。2023/2/5465.布萊克曼窗(BlackmanWindow)(二階升余弦窗)為了更進一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗其頻譜的幅度函數為7-437-44其幅度函數由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WR(ω)函數，使旁瓣再進一步抵消。2023/2/547圖7-18給出了當N=51時五種窗函數的幅度譜?？梢钥闯?，隨著旁瓣的減小，主瓣寬度相應增加了。圖7-19則是利用這五種窗函數對同一技術指標(N=51，截止頻率ωc=0.5π)設計的FIR濾波器的幅度響應。

(a)矩形窗(a)矩形窗圖7-18各種窗函數的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應2023/2/548圖7-18各種窗函數的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(b)巴特列特窗(b)巴特列特窗(c)漢寧窗(c)漢寧窗

2023/2/549圖7-18各種窗函數的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(d)哈明窗(d)哈明窗(e)布萊克曼窗(e)布萊克曼窗

2023/2/550用窗函數法設計低通FIR濾波器現在把用窗函數設計FIR數字濾波器的步驟歸納如下⑴給出希望設計的濾波器的頻率響應函數Hd(ejω)；若所給指標為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，可選理想濾波器作逼近函數。⑵計算以下積分，求出hd(n)7-47為保證線性相位，取α=(N-1)/2⑶根據阻帶衰減指標，選擇窗函數的形狀，可查表7-42023/2/551根據允許的過渡帶寬度Δω，選定N值。由Δω=A/N可得7-48式中，A取決于所選定的窗函數，也可查表7-4得到。⑷將hd(n)與窗函數相乘得FIR數字濾波器的脈沖響應h(n)h(n)=hd(n)w(n)7-49⑸計算FIR數字濾波器的頻率響應，并驗證是否達到所要求的指標由H(ejω)計算幅度響應H(ω)和相位響應θ(ω)。7-502023/2/552在實際設計中，有許多具體問題要處理。盡管窗函數法由于有明顯的優點而受到重視，但是，以下兩個原因使它的應用受到限制。其一，很難準確控制濾波器的通帶邊緣；其二，若Hd(ejω)不能用簡單函數表示，則計算式(7-47)的積分非常困難。第一個問題只有通過多次設計來解決。理想低通濾波器的截止頻率ωc，由于窗函數主瓣的作用而產生過濾帶。出現了通帶截止頻率ω1和阻帶截止頻率ω2。在ω1和ω2處的衰減是否滿足通帶和阻帶的要求，也就是ω1和ω2是否就是所需要的通帶和阻帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿意的結果，不得不假設不同的ωc進行多次設計。2023/2/553第二個問題的解決辦法是用求和來代替積分。由式(7-47)知若以Hd(ejω)ejωn在的M個點上的值之和代替上式中的積分，則有上式表明實際上等效于序列的M點IDFT。根據頻率取樣的討論可知，與hd(n)有如下的關系7-517-52因此，當M>>N時，在窗口范圍內能很好地逼近hd(n)。2023/2/554例7-3

設計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ωs=2π×1.5×104(rad/sec)，模擬低通通帶截止頻率為Ωp=2π×1.5×103(rad/sec)，阻帶起始頻率為Ωst=2π×3×103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。幅度特性如圖7-20所示。圖7-20要求的模擬低通濾波器的特性2023/2/555解：本題要求設計一個數字的FIR低通濾波器,來模仿模擬濾波器，達到模擬濾波器的指標。所以在設計前要先將模擬的邊界頻率轉為數字邊界頻率，轉換公式為⑴計算對應的數字頻率通帶截止頻率為阻帶起始頻率為阻帶衰減相當于δ2=50dB⑵設Hd(ejω)為理想線性相位低通濾波器2023/2/556首先由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率Ωc

其對應的數字頻率為由此可得其中，τ為線性相位所必須的移位，根據7-1節的討論知道應滿足τ=(N-1)/2。2023/2/557⑶由阻帶衰減δ2來確定窗形狀，由過渡帶寬確定N

由于δ2=50dB，查表7-3可選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿足要求。所要求的過渡帶寬(數字頻域)Δω=ωst-ωp=0.2π,因哈明窗過渡帶寬滿足Δω=6.6π/N，所以取N=41，則⑷由哈明窗表達式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。哈明窗為2023/2/558所以⑸由h(n)求H(ejω)檢驗各項指標是否滿足要求，如不滿足要求要改變N，或改變窗形狀(或兩者都改變)來重新計算H(ejω)的圖形已畫在圖7-21上，滿足設計要求。2023/2/559圖7-21例7-3設計出的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性2023/2/560線性相位FIR高通、帶通和帶阻濾波器的設計數字高通、帶通和帶阻濾波器的定義參看第六章圖6-2。利用奇對稱單位脈沖響應的特點(見表7-2)還可以設計90°移相位(或稱離散希爾伯特變換器)以及幅度響應與ω成線性關系的線性差分器。1.線性相位FIR高通濾波器的設計按指標要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應為7-53其中τ=(N-1)/2，它的單位脈沖響應為2023/2/5617-54選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應選用哪一種窗函數和阻帶衰減有關，而時域窗的點數N則和過渡帶寬有關h(n)=hd(n)w(n)2023/2/562但是由表7-2看出，無固定相移時只能采用偶對稱單位脈沖響應，另外，對高通濾波器來說N只能取奇數，因為N為偶數H(ω)在ω=π處為0，不能做為高通濾波器。求出h(n)后，可求H(ejω)，以此檢驗是否滿足指標要求，否則要重新設計，這和低通濾波器的討論一樣。2．線性相位FIR帶通濾波器的設計理想線性相位帶通濾波器的頻率響應為7-55其中τ=(N-1)/2。此濾波器的單位脈沖響應hd(n)為2023/2/5637-56這里，當ω1=0，ω2=ωc時，即為理想線性相位低通濾波器。當ω2=π，ω1=ωc時，即為理想線性相位高通濾波器。后續設計步驟與FIR低通濾波器相同。3.線性相位FIR數字帶阻濾波器的設計2023/2/564帶阻濾波器的設計與帶通濾波器的設計步驟完全相同，只是理想頻率特性有所不同。7-57其中τ=(N-1)/2。同樣可得7-582023/2/565線性相位FIR帶阻濾波器只能采用偶對稱單位脈沖響應，N等于奇數來設計，道理與討論高通濾波器是一樣的。由理想濾波器的低通公式、高通公式、帶通公式以及帶阻公式可以看出⑴一個高通濾波器相當于一個全通濾波器減去一個低通濾波器⑵一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減，其中一個截止頻率為ω2，另一個截止頻率為ω1，即7-592023/2/566⑶一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器(截止頻率為ω1)加上一個高通濾波器(截止頻率為ω2)，即7-60上述關系也可作為高通、帶通和阻帶濾波器的設計方法窗函數法的特點

采用窗函數法，設計簡單，方便，也實用，但要求用計算機；且邊界頻率不易控制。窗函數設計法是從時域出發的一種設計法。但一般技術指標是在頻域給出的。因此，下面介紹的頻率采樣法更為直接，尤其對于Hd(ejω)公式比較復雜，或Hd(ejω)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率采樣設計法更為方便、有效。2023/2/5677.4利用頻率采樣法設計FIR濾波器用頻率采樣法設計濾波器的基本原理

待設計的濾波器的傳輸函數用Hd(ejω)表示，可按下列思路進行設計：⑴對它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)⑵對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n)式中，h(n)作為所設計的濾波器的單位取樣響應。7-627-612023/2/568⑶由h(n)求系統函數H(z)7-63以上是用頻率采樣法設計濾波器的基本原理。另外在第三章3.4節學習了頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復原信號的z變換公式(3-60~61)式,式中X(k)和X(z)在這里應改為Hd(k)和H(z)，將插值公式重寫如下7-64此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統函數，式(7-63)和(7-64)都屬于用頻率采樣法設計的濾波器，(7-63)式適合FIR直接型網絡結構，(7-64)式適合頻率采樣結構。2023/2/569實際濾波器的傳輸函數，與理想的傳輸函數Hd(ejω)間存在誤差，如圖7-28，需要討論逼近誤差問題及其改進措施。圖7-28頻率采樣的響應2023/2/570用頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件這里只討論第一類線性相位問題，第二類線性相位問題可按類似方法處理。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N–1–n)，參看表7-2中情況1和情況2，已推導出其傳輸函數應滿足的條件是且Hg(π)=0

7-657-667-677-68對Hd(ejω)進行N點等間隔采樣得到Hd(k)，則Hd(k)也必須具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)經過IDFT得到的h(n)具有偶對稱性，達到線性相位的要求2023/2/571在ω=0~2π之間等間隔采樣N點將ω=ωk代入(7-65)~(7-68)式中，并寫成k的函數N=奇數

N=奇數，且

(7-69)~(7-72)就是頻率采樣值滿足線性相位的條件,說明N等于奇數時Hg(k)對(N–1)/2偶對稱，N等于偶數時,Hg(k)對N/2奇對稱，且Hg(N/2)=0。7-697-707-717-722023/2/572設用理想低通作為希望設計的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點數N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計算N=奇數時N=偶數時7-737-742023/2/573上面公式中的kc是小于等于ωcN/(2π)的最大整數。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數。逼近誤差及其改進措施1.產生誤差的原因從圖7-28可看出，實際的H(ejω)與理想的Hd(ejω)相比，誤差主要體現在一是通帶和阻帶出現波動，二是過渡帶加寬，與窗函數設計法情況類似，產生誤差的原因可從時域和頻域兩方面進行分析。從時域分析：如果Hd(ejω)有間斷點，那么相應單位取樣響應hd(n)應是無限長的。這樣，由于時域混疊，引起所設計的h(n)和hd(n)有偏差。為此，希望在頻域的采樣點數N加大。N愈大，設計出的濾波器愈逼近待設計的濾波器Hd(ejω)。2023/2/574從頻域分析

在采樣點ω=2πk，k=0,1,2,…,N-1,Ф(ω-2πk/N)=1，因此，采樣點處H(ejωk)

(ωk=2πk/N)與H(k)相等，逼近誤差為0。在采樣點之間，H(ejω)由有限項的H(k)Ф(ω-2πk/N)之和形成。其誤差和Hd(ejω)特性的平滑程度有關，特性愈平滑的區域，誤差愈??；特性曲線間斷點處，誤差最大。表現形式為間斷點用傾斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻衰減減小，往往不能滿足技術要求。2023/2/5752.減小誤差的方法

最直觀的想法是增加采樣點數，即加大N值，由于過渡帶就等于采樣間隔(參看圖7-28)，即7-76所以加大N，可使過渡帶變窄，但增加要適當，否則會增加濾波器體積與成本。但是，增加N并不會改善濾波器的阻帶衰減特性，因為Hd(ejω)是理想矩形,無論怎樣增多頻率采樣的點數，在通、阻帶交界處，幅值總是從1突變到0，會引起較大的起伏振蕩。為使逼近誤差更小，和窗口法的平滑截斷一樣，通過在理想頻率響應的不連續點的邊緣上加一些過渡的抽樣點，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。2023/2/576一般過渡帶取一、二、三點抽樣值即可得到滿意結果。如在低通設計中，不加過渡點時，阻帶最小衰減為-20dB，加三個過渡點(最優設計)則可達-80dB到-95dB左右。加過渡點的示意如圖7-29所示。

(a)(b)(c)增加過度點，可使阻帶衰減明顯提高，但付出的代價是過渡帶加寬，可通過下式加大N來調整。圖7-29理想低通濾波器增加過渡點m=0，1，2，3…

7-772023/2/577頻率采樣法設計線性相位FIR低通濾波器低通濾波器的設計步驟可參閱7.4.1的基本原理，此外，設計關鍵是(1)根據阻帶衰減要求，確定過渡點數，并優化過渡點值;(2)根據過渡帶要求，確定采樣點數N，由式(7-77)7-78頻率采樣法的特點

頻率采樣法設計濾波器最大的優點是直接從頻率域進行設計，比較直觀，也適合于設計具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制。如果增加采樣點數N，對確定邊界頻率有好處，但會增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設計。2023/2/578例7-6利用頻率采樣法設計線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點數N=33，選用h(n)=h(N–1–n)情況。解用理想低通作為逼近濾波器。因N為奇數，按照(7-73)式Hg(k)=Hg(33-k)=1，k=0，1，2，…，8

Hg(k)=0，k=9，10，…，23，24

θ(k)=-

32πk/33，k=0，1，2，…，32

其中，取kc=8。理想低通幅度特性采樣情況如圖7-31所示2023/2/579圖7-31例7-6對理想低通進行采樣將采樣得到的H(k)=Hg(k)ejθ(k)進行IDFT，得到h(n)，計算其頻響，其幅度特性如圖7-32(a)所示。為加大阻帶衰減，可增加一個過渡點，在k=9處，令Hg(9)=0.5，結果得到的濾波器幅度特性如圖7-32(b)所示如果改變Hg(9)=0.3904,其幅度特性如圖7-32(c)所示，阻帶最小衰減可達40dB。因此，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。2023/2/580圖7-32例7-6的幅度特性

(c)

(b)(a)2023/2/5817.5用等波紋逼近法設計FIR濾波器設計

加權切比雪夫等波紋逼近

1.切比雪夫最佳一致逼近準則設所要求的濾波器的幅度函數為Hd(ω)，用線性相位四種FIR濾波器之一的幅度函數Hg(ω)做逼近函數，設逼近誤差的加權函數為W(ω)，則加權逼近誤差函數定義為E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-Hg(ω)]7-79由于不同頻帶中誤差函數[Hd(ω)-Hg(ω)]的最大值不一樣，故不同頻帶中W(ω)值可以不同，使得在各頻帶上的加權誤差E(ω)要求一致(即最大值一樣)。設計過程中W(ω)為已知函數。2023/2/582為設計具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設設計的是h(n)=h(N–1–n)，N=奇數情況，由表7-2情況1可知將Hg(ω)代入(7-79)式，則7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個系數a(n)，使加權誤差E(ω)的最大值為最小，即式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。2023/2/583式(7-80)，是一個由M次多項式，根據上面提出的準則逼近一連續函數的問題。切比雪夫理論指出這個多項式存在且唯一，并指出構造該多項式的方法是“交錯點組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現M+2個“交錯”，使得按照該準則設計的濾波器通帶或組帶具有等波動性質2.利用最佳一致逼近準則設計線性相位FIR濾波器

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