蘭州城市學院大學物理學蘭州城市學院培黎工程技術學院

蘭州城市學院力動量能量第二章蘭州城市學院第2章力動量能量

2.1

牛頓運動定律

2.2功和能

2.3動量與沖量

2.4狹義相對論質點動力學初步

蘭州城市學院2.1

牛頓運動定律

杰出的英國物理學家，經典物理學的奠基人．他的不朽巨著《自然哲學的數學原理》總結了前人和自己關于力學以及微積分學方面的研究成果，其中含有三條牛頓運動定律和萬有引力定律，以及質量、動量、力和加速度等概念。在光學方面，他說明了色散的起因，發現了色差及牛頓環，他還提出了光的微粒說。

蘭州城市學院古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle，公元前384一公元前322)認為：力是維持物體運動的原因。古代物理學的形式是屬于經驗總結性的，對事物的認識主要是憑直覺的觀察、憑猜測和臆想。

蘭州城市學院伽利略（Galileo，1564一1642）近代科學的先驅伽利略的斜面實驗：如果把水平面制作得越是光滑，則小球會滾得更遠。實驗一

蘭州城市學院實驗二力不是維持運動的原因。

如果斜面的傾角無限小（平面），那么小球將沿平面幾乎可以一直滾動過去。

伽利略對力學的貢獻在于把有目的的實驗和邏輯推理和諧地結合在一起，構成了一套完整的科學研究方法。

蘭州城市學院1.牛頓第一定律（慣性定律）數學形式：

任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態，直到其他物體對它作用的力迫使它改變這種狀態為止。三個重要概念：

慣性——質點不受力時保持靜止或勻速直線運動狀態的的性質，其大小用質量量度。

力——使質點改變運動狀態的原因，力是改變速度的原因而不是維持速度的原因。

慣性系——質點處于靜止或勻速直線運動狀態(質點處于平衡狀態)運動相對某一參考系而言，牛頓運動定律適用的參考系。蘭州城市學院2牛頓第二定律定義：動量的變化率與外力成正比當V<<C時，m為常量幾點說明：（1）牛頓運動方程只適用于質點的運動。（2）牛頓第二定律中和的關系為瞬時關系。（3）力的疊加原理:當幾個外力同時作用于物體時，其合外力所產生的加速度與每一個外力所產生的加速度的矢量和是一樣的。

蘭州城市學院（4）矢量性：具體運算時應寫成分量式在直角坐標系中，分量式和在自然坐標系中，分量式

蘭州城市學院3牛頓第三定律（作用力和反作用力定律）兩個物體之間作用力和反作用力，沿同一直線，大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上．（物體間相互作用規律）

蘭州城市學院對牛頓第三定律的幾點說明：(1)

作用力和反作用力總是成對出現的，同時產生，同時

消失。(2)

作用力和反作用力是分別作用在兩個相互作用的物體

上的，不能相互抵消。(3)

作用力和反作用力總是屬于同種性質的力。

蘭州城市學院2.1.2力學中幾種常見的力1

力的基本類型

四種基本自然力的特征1、引力（或稱為萬有引力）2、電磁力3、強力4、弱力力的種類相互作用的物體力的強度力程萬有引力一切質點

無限遠弱力大多數粒子

小于電磁力電荷

無限遠強力核子、介子等

蘭州城市學院溫伯格薩拉姆格拉肖弱相互作用電磁相互作用電弱相互作用理論三人于1979年榮獲諾貝爾物理學獎

。

魯比亞,范德米爾實驗證明電弱相互作用，1984年獲諾貝爾獎

。電弱相互作用強相互作用萬有引力作用“大統一”（尚待實現）

蘭州城市學院1

萬有引力：如果拋射速度足夠大，則物體將繞地球轉動，而永不落地。行星繞太陽的運動

蘭州城市學院行星1：軌道半徑為R1，加速度為a1，運行周期為T1行星2：軌道半徑為R2，加速度為a2，運行周期為T2根據開普勒第三定律：引力與距離的平方成反比蘭州城市學院萬有引力定律：引力常量:

任何兩個質點之間都存在互相作用的引力，引力的方向沿著兩個質點的連線方向；其大小與兩個質點質量ml和m2乘積成正比，與兩質點之間距離r

的平方成反比。

第一宇宙速度：

第二宇宙速度：

蘭州城市學院2.重力：重力是物體所受地球引力的一個分量。引力重力注：重力是地球對物體萬有引力的一個分力，方向為豎直向

下，并非指向地心

蘭州城市學院3.彈性力：物體在外力作用下因發生形變而產生欲使其恢復原來形狀的力（k

稱為勁度系數）0x胡克定律

蘭州城市學院(1)靜摩擦力當物體與接觸面存在相對滑動趨勢時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與相對滑動趨勢方向相反。靜摩擦力的大小隨外力的變化而變化4.摩擦力：

蘭州城市學院（2）滑動摩擦:當物體相對于接觸面滑動時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與滑動方向相反。為滑動摩擦系數最大靜摩擦力：為靜摩擦系數

蘭州城市學院(3)

黏滯阻力當物體穿過液體或氣體運動時，會受到流體阻力。(1)當物體速度不太大時，流體為層流，阻力主要由流體的

粘滯性產生。(2)當物體速率超過某限度時（低于聲速），流體出現旋渦，這時流體阻力與物體速率的平方成正比。(3)

當物體與流體的相對速度提高到接近空氣中的聲速時，這時流體阻力將迅速增大。

蘭州城市學院2.1.3

牛頓運動定律的應用應用牛頓運動定律解題時一般分以下幾個步驟：(1)

隔離物體，分析受力．首先根據題意確定研究對象，并分別把每個研究對象與其它物體隔離開來，然后分析它們的受力情況，單獨畫出每個研究對象的受力示意圖。(2)

建立坐標系，列方程．選擇合適的坐標系，將給計算帶來很大方便．坐標軸的方向盡可能地與多數矢量平行或垂直．根據牛頓第二和第三定律列出方程式．所列的方程式個數應與未知量的數量相等．若方程式的數目少于未知量的個數，則應由運動學和幾何學的知識列出補充的方程式。

蘭州城市學院(3)

求解方程．在解方程代人數據時，一定要注意統一單位，解得結果后通常還應進行必要的驗算、分析和討論。應用牛頓運動定律解題時一般分以下幾個步驟：(4)

當物體受的力為變力時，就應該用牛頓第二定律的微分方程形式求解。

蘭州城市學院質點動力學基本運動方程解題步驟：（1）確定研究對象。對于物體系，畫出隔離圖。（2）進行受力分析，畫出示力圖。（3）建立坐標系（4）對各隔離體建立牛頓運動方程（分量式）（5）解方程,求出相應物理量蘭州城市學院解:分別取m1和m2為研究對象，受力分析如圖(b)所示。利用牛頓第二定律列方程得例1：如圖所示，在傾角30o的光滑斜面(固定于水平地面)上有

兩物體通過滑輪相連，已知m1=3kg，m2=2kg，且滑輪和繩子質量可略。求:每一物體的加速度以及繩子的張力。繩子中的張力解以上方程組，得

蘭州城市學院解:求整個系統的加速度時，可先將三物體看成是一個整體，并設FN為三物體共同對桌面的總壓力，利用牛頓第二、三定律可得例2：如圖所示，將質量分別為m1，m2，m3和m的四個物體連接，桌面與這些物體之間的摩擦系數都是μ。設繩子不變，桌子與滑輪位置不變，繩子質量、滑輪質量及繩與滑輪間的摩擦可忽略不計。求:該系統的加速度以及各物體之間的張力

蘭州城市學院解方程組得隔離物體，分別取m1，m2，m3為研究對象，求對m1利用牛頓第二定律可得同理可得：

蘭州城市學院例3質量為m的質點在空中由靜止開始下落，在速度不太大的

情況下，質點所收阻力F=-kv

，式中k

為常數。

(1)質點的速度和加速度隨時間變化的函數關系；

(2)質點的運動方程分離變量得兩邊積分得由此得求:

以質點開始下落時刻為計時起點，開始下落的位置作為坐標

原點O，豎直向下的方向為y

軸的正方向，則質點所受重力為

mg，阻力為

f=-kv

，故按牛頓第二定律，有解:

蘭州城市學院由定義可知，質點加速度為當

時，(解釋了人為啥不會被冰雹砸傷)由速度的定義可知分離變量得注意到運動的初始條件，則積分可得

蘭州城市學院xy例4質量為m

的小球最初位于A

點，然后沿半徑為R

的光滑圓弧面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用。mgFN解：A

蘭州城市學院xyA

蘭州城市學院解:例5：試證明圓柱形容器內以角速度繞中心軸作勻速旋轉的流體表面為旋轉拋物面。流體表面任取一質量為?m

的質元為研究對象。?m受重力和流體其它部分對它作用力的合力N。由于?m并未沿切面流動，所以N的方向應垂直于該處切面，如圖所示。流體繞軸旋轉時，?m將以O'為圓心，以x為半徑作勻速圓周運動。根據牛頓第二定律，有分量式為：

蘭州城市學院2.1.4非慣性系中的力學問題慣性力

應用牛頓運動定律求解力學問題時，只能選擇慣性系，因為在非慣性系中牛頓運動定律不再成立。然而，在實際問題中常常遇到非慣性系，即相對慣性系作變速運動的參考系．如相對地面作變速運動的火車、升降機以及旋轉的圓盤等都是非慣性系1

平動加速系參考系的坐標原點相對慣性系作變速運動，但坐標軸沒有轉動

平移慣性力

相對某一慣性系作加速直線運動的參考系，叫做平動加速參考系，它是一種非慣性系。

蘭州城市學院S是慣性系，牛頓定律成立。小球水平方向不受力，靜止。a0mma0a0S系小球靜止小球加速–a0mS

系S’是非慣性系，牛頓定律不成立！若形式上應用牛頓定律，必須認為小球受慣性力小球放在光滑的加速運動的小車內注：慣性力是由于非慣性系相對慣性系運動的加速度引起的！

蘭州城市學院S

a0

·mFaa

a0

S：故由得定義慣性力（inertialforce）—則有

慣性系S′：修改牛頓第二定律，使之于適用平動非慣性系：—非慣性系中的牛頓第二定律S平動蘭州城市學院2

轉動參考系:相對慣性系轉動的系統稱為轉動參考系

物體受到彈簧的拉力F，這個力就是使小球做勻速圓周運動的向心力

轉臺(非慣性系)上的觀察者雖然也看到彈簧被拉長，小球卻相對轉臺靜止．為了使物體保持平衡的事實仍然遵從牛頓第二定律，必須想像還有一個與向心力等值而反向的慣性力Fi作用在物體上蘭州城市學院3

慣性力的應用舉例

m為物體A的慣性質量，B為指針，O為指針上的支點，C為表盤，K為平衡彈簧。當飛機加速上升時，m受到向下的慣性力，指針會向上偏轉；飛機加速下降時，m受到向上的慣性力，指針會向下偏轉

炮彈上安裝的慣性引信同樣是利用慣性力的作用來引爆炮彈的蘭州城市學院解:例6：設電梯相對地面以加速度a上升，電梯中有一質量可忽略不計的滑輪，在滑輪的兩側用輕繩掛著質量為m1和m2的重物，已知m1>m2，如圖所示。求:(1)m1和m2相對電梯的加速度；(2)繩中的張力設m1和m2相對電梯的加速度大小為a'，繩中張力大小為T。以電梯為參考系，這是一個非慣性系．在此參考系中，m1和m2受重力、繩的拉力和慣性力，慣性力的方向與電梯相對地面加速度a的方向相反，如圖(b)所示。為了方便，圖中字母僅表示各矢量的大小，方向為箭頭指向。ab

蘭州城市學院對m1和m2分別以各自相對電梯的加速度方向為正方向，于是有因繩子和滑輪的質量均忽略不計，所以有三式聯立求解，可得

蘭州城市學院例7：在水平軌道上有一節車廂以加速度ao行駛，在車廂中有一質量為m的小球靜止地懸掛在天花板上，如圖所示。求:試以車廂為參照系求。線與豎直方向的夾角?解:在車廂參照系內觀察小球是靜止的，即ao=0。它受的力除重力和懸線的拉力外還有一個慣性力由于，

在上兩式中消去時間t，即得

蘭州城市學院2.2

功和能2.2.1

功功率1

恒力的功

2

變力的功Oab在直角坐標系中在ab段所做的功：元功在自然坐標系中L位移元

蘭州城市學院注意（1）功是代數量，且有正負（2）合力的功等于各分力的功的代數和

蘭州城市學院3

功率（力在單位時間內所做的功）平均功率瞬時功率在

?t

時間內所做的功為

A注：功率等于功對時間的一階導數，也等于力和速度的標積功率的單位名稱為瓦特，簡稱瓦，符號為W

蘭州城市學院2.2.2功的計算在直角坐標系中，力和元位移表示為可得：在自然坐標系中，力和元位移表示為：可得：注：前者借助于坐標系，都是力的分量，

它們都是代數量；后者與坐標系無關，而是由力和位移的大小及其夾角的余弦共同確定.

蘭州城市學院在工程上常用圖示法計算功

如圖所示，圖中曲線表示切向力

隨路徑變化的函數關系，由下式可知，窄條面積等于元功，曲線下的面積等于從Sa到Sb該力所做的功

蘭州城市學院

對幾種常見力的功的計算

1重力的功重力的功只與始、末位置有關，而與質點路徑無關。

xyzmG結論:重力ab

蘭州城市學院x02、彈性力的功彈簧彈性力由x1

到x2

路程上彈性力的功為彈性力的功只與始、末位置有關，而與質點路徑無關。

結論:

蘭州城市學院3

萬有引力的功

Mabm萬有引力萬有引力的功只也與始、末位置有關，而與質點路徑無關。

結論:

蘭州城市學院4

摩擦力的功摩擦力F

做功摩擦力的功與質點路徑有關摩擦力方向與質點速度方向相反結論:摩擦力蘭州城市學院求:力F對物體所做的功解:物體在a、b之間任一位置c的受力情況如圖所示，其中Fk為彈簧對物體的拉力．因物體極緩慢地移動，故可認為物體所受合外力為零．采用自然坐標系，切向合外力為零，即例8：如圖中的半圓面是一個固定的半圓柱體截面，柱面光滑，半徑為R。一根勁度系數為k的輕彈簧一端固定，另一端與一個質量為m的小物體相連。開始時物體位于a處，彈簧無形變．物體在一個位于豎直平面內并且始終和圓柱面相切的拉力F作用下，極緩慢地從a處移到處b(彈簧形變在彈性限度內)，已知∠

蘭州城市學院根據胡克定律有代入上式，得

質點從a處移動到b處，即角位置從0增大α到，力F對物體所做的功為不難看出，因合力為零，所以合力的功為零。因支持力N不做功，所以

三力做功的代數和必為零。顯然，重力做功為

，而彈簧拉力做功為蘭州城市學院例9：一質點沿如圖所示的路徑運動。求:求力對該質點所做的功。(1)沿ODC；(2)沿OBC。解:

(1)質點沿OC從O運動到C

在O到D的路徑上，y=0，x從0變到2m；在D到C

的路徑上，力F與路徑垂直而不做功。因此，F所做的功為(2)質點沿OBC從O運動到C。同理可得：沿不同路徑從O到C，力對質點所做的功不相等結論:

蘭州城市學院2.2.3

動能定理1

質點動能定理（1）合力做的功等于質點始、末狀態動能的增量（2）Ek

是一個狀態量，

A

是過程量。（3）動能定律適用于慣性系。

注意元功第二定律在質點速度由

v0

變化到

v的過程中，外力做功為蘭州城市學院2

質點系動能定律求和(2)

A包括內力做功和外力做功(3)系統的動能與外力、內力

都有關(1)對系統所做的功A等于系

統動能的增量討論蘭州城市學院求:試求到繩子與豎直線的夾角為15o的b處時小球的速率解:小球質量為m，在b處速率為v,小球受重力mg和繩的拉力T的作用。根據動能定理，有例10：一小球系在長L=1.0m的細繩下端，繩的上端固定在天花板上，如圖所示。在初始位置a，繩子與豎直線的夾角

，由靜止釋放

由于的方向始終和小球的運動方向垂直,重力對小球做的功為依題意，可得代入已知條件

蘭州城市學院求:若子彈接著穿過同樣的第二塊木板，速率降為多少?解:設子彈穿過第二塊木板時速率為v3．由于兩塊板中的阻力對子彈做功相同，根據質點動能定理，有例11：速率為v1=700m·s-1的子彈，水平穿過第一塊木板后速率降為v2=500m·

s-1

解得：

蘭州城市學院2.2.4

保守力勢能1保守力（做功而只取決于物體的始末位置，與路徑無關）質點沿閉合路徑一周保守力所做的功為零保守力：重力、萬有引力、彈性力非保守力：摩擦力abL1L2結論:

蘭州城市學院2

勢能保守力做的功等于勢能增量的負值。重力的功彈性力的功引力的功說明abL1引入勢能函數Ep令Epb=0，

則質點在某處的勢能，等于質點從該處移動至零勢能點保守力所做的功。Epb=0Epa=?蘭州城市學院例萬有引力勢能rMm以無窮遠處為勢能零點(1)勢能零點可以任意選取，某一點的勢能值是相對的。(3)勢能是對保守內力而引入的。對外力沒有勢能的概念。(2)

任意兩點間的勢能差是絕對的。引力勢能“所有者”？說明

蘭州城市學院3

勢能曲線(a)、(b)、(c)

分別給出了重力勢能、彈性勢能和萬有引力勢能的勢能曲線

勢能曲線不僅可以求出質點在保守力場中各點所受保守力的大小和方向，而且還可以定性討論質點在保守力場中的運動情況及平衡的穩定性等問題

蘭州城市學院求:(1)勢能函數；(2)質點位于地面附近上空時，勢能函數的近似式解:(1)地球對質點的引力為例12：已知地球的質量為M，半徑為R，一質量為m的質點與地心的距離為r。選地面為零勢能面

根據勢能定義式，可得勢能函數為(2)設質點距地面高度為h，則r=R+h，地面附近上空的勢能為蘭州城市學院解:如圖所示，質量為m1的質點位于參考點O點，質量為m2的質點沿圖示任意路徑從位置a點運動到b點，路徑上某一點的位矢為r，此點處的位移元ds與位矢r的夾角為?。令位矢:例13：試判斷萬有引力是否為保守力

相對于

的微小增量：在質點m2從位置點a運動到點b的過程中，質點m1對質點m2的引力的功為可見，萬有引力是保守力

蘭州城市學院2.2.5功能原理機械能守恒定律1

質點系的功能原理外力做功系統機械能非保守內力做功注意：守恒條件只有保守內力做功當

，機械能

E

守恒—機械能守恒定律

蘭州城市學院求:試分別列出以下列物體為系統時的功能關系式（1）M，m（2）M，m，k，地球（3）M，m，k（4）M，m，地球解:根據功能原理和題目所要求的四類系統，可分別得出如下關系式例14：如圖所示，在水平桌面上放置一質量為M的木塊，M的一端與勁度系數為k的輕彈簧相連，并固定在墻上，另一端經輕滑輪與下垂的重物m相連，設與桌面間摩擦系數為μ，其余為光滑接觸，開始時M靜止于平衡位置

蘭州城市學院從上例的解答可得下述結論：(2)

系統內某保守力做功的量值與其相應的勢能增量是相同的，

在功能關系中絕不可重復計入(1)

內力和外力的確定與所選取的系統有關(3)

等式兩邊的位移、速度等物理量必須相對(或換算到)同

一慣性參考系進行運算(4)

在機械運動范圍內，我們所討論的只是機械能(動能和勢

能)．蘭州城市學院2

機械能守恒定律

僅當外力和非保守內力都不做功或其元功的代數和為零時，質點系內各質點間動能和勢能可以相互轉換，但它們的總和(即總機械能)保持不變．這就是質點系的機械能守恒定律(2)在實際問題中，機械能守恒的條件是無法嚴格滿足的但是當摩擦力等非保守內力的功同系統的機械能相比可忽略不計時，仍可用機械能守恒定律來處理問題（1）機械能守恒定律只適用于慣性參考系，且物體的位移、速

度必須相對同一慣性參考系說明

蘭州城市學院（2）決不能把功和能看成是等同的，功總是和系統能量的改變

和轉換過程相聯系，而能量則只和系統的狀態有關，是系統狀態的函數．3

能量守恒定律

對一個封閉系統來說，系統內的各種形式的能量可以相互轉換，也可以從系統的一部分轉移到另一部分，但無論發生何種變化，能量既不能憑空地產生也不能憑空地消失，能量總和總是一個常量．這就是能量守恒定律（1）在能量守恒定律中，系統的能量是不變量、守恒量。系統

內的能量在發生轉換時，常用功來量度說明

蘭州城市學院求:求M落到地面時的速率V1(m始終在桌面上)。若物體與桌面的靜摩擦系數與動摩擦系數均為μ，結果又如何?

解:以m和M及地球做為系統，分析知系統的機械能守恒。設物體開始下落時為狀態A，M落到地面前瞬間為狀態B，取地面為重力勢能零點，則例15：如圖所示，一輕繩跨過一個定滑輪，兩端分別拴有質量為m及M的物體，M離地面的高度為h，若滑輪質量及摩擦力不計，m與桌面的摩擦也不計，開始時兩物體均為靜止，即：

和

分別為狀態B時兩物體的運動速率

蘭州城市學院

如果物體m與桌面有摩擦，那么對于上述所取的系統，這個摩擦力做的功可視為系統的外力負功(若將桌面看作地球的一部分，則摩擦力為非保守內力)，根據功能原理得代入

蘭州城市學院求:A點與拋物線最高點C

的高度差

解:例16：如圖所示，質量為m的滑塊從A點由靜止開始沿軌道下滑，在B點拋出．在從A到B的過程中，摩擦力對滑塊做功為A，滑塊在B點拋出時的水平速率為u設A、C

兩點高度差為h，C點為重力勢能零點，如圖所示，根據功能原理有所以，解得

蘭州城市學院2.2.6宇宙速度1

人造地球衛星第一宇宙速度將上式代入可解得：蘭州城市學院當時的發射速度最小，就是第一宇宙速度，即

蘭州城市學院第一宇宙速度

蘭州城市學院聯立方程求解得：說明

在地面上發射物體使其脫離地球引力所需的最小發射速度稱為第二宇宙速度2

人造行星第二宇宙速度只要物體具有不小于

的發射速度，就能脫離地球的引力作用 蘭州城市學院人造行星

蘭州城市學院3飛出太陽系第三宇宙速度使物體脫離太陽引力的束縛而飛出太陽系所需的最小發射速度稱為第三宇宙速度然后以太陽為參考系．物體在太陽引力作用下飛行．設太陽的質量為Ms，物體脫離地球引力時，相對太陽的速度為V's，與太陽之間的距離可近似為地球與太陽之間的距離Rs．要想脫離太陽引力作用，物體的機械能至少應為：先以地球為參考系。設從地球發射一個速度為V3的物體，脫離地球引力時，它相對地球的速度為V'，根據機械能守恒定律，有

蘭州城市學院代入相關數值解之最后考慮地球繞太陽的公轉．設地球公轉速度為，據牛頓第二定律，有蘭州城市學院質心位矢xyzmio對于質量連續分布的系統m1m2坐標2.3動量與沖量2.3.1質心質心運動定律1質心

蘭州城市學院2

質心運動定律2.1

質心的速度質點系動量2.2質心的加速度及其動力學規律質點系動量定理質點系動量質心運動狀態只取決于外力，與內力無關。質點系動量等于總質量與質心速度的積說明說明

蘭州城市學院水平紙面蘭州城市學院解:例17：求半徑為R

的勻質半薄球殼的質心選如圖所示的坐標軸．由于球殼對oy軸對稱，質心顯然位于圖中的oy軸上．在半球殼上取一圓環，圓環的平面與oy軸垂直．圓環的面積為：設勻質薄球殼的質量面密度為σ，圓環的質量則為：可得勻質薄球殼的質心處于質心位于處，其位置矢量為

蘭州城市學院例18:

質量為m

的勻質鏈條，全長為

L，開始時，下端與地面的距離為

h。解dl在落地時的速度根據動量定理地面受力求:當鏈條自由下落在地面上的長度為l

時，地面所受鏈條的作用力？LhmllNN′G

蘭州城市學院例19：人從船頭到船尾，船長l

求：人和船各移動的距離解質心靜止初態末態人相對船的位移

蘭州城市學院2.3.2沖量動量動量定理1沖量(1)恒力的沖量(2)變力的沖量設在t0到t的時間內，恒力持續作用于質點，則力與其作用時間的乘積定義為該恒力的沖量，用表示，即設在t0到t的時間內，作用在質點上的力隨時間變化，可以把力持續作用的時間分成許多微小的時間間隔，在每一間隔內，可以將力視為恒力，于是力在dt間隔內的沖量為

蘭州城市學院表明，合力的沖量等于各個分力在同一時間內沖量的矢量和(1)若有幾個力同時作用在質點上，則合力的沖量為說明（2）在SI中沖量的單位名稱為牛頓每秒，符號為：N.s

蘭州城市學院牛頓定律結論元沖量2質點動量定理對質點的沖量等于質點動量的增量動量定理微分形式動量定理積分形式.蘭州城市學院3質點系動量定理質點系動量求和內力之和為0

蘭州城市學院(2)直角坐標系在有限時間內(1)系統動量的變化等于外力的沖量，和內力無關。說明積分——微分形式——積分形式質點系動量定理(3)只適用于慣性系。

蘭州城市學院求:此過程中氫分子對器壁的平均沖力

解:根據動量定理，氫分子所受器壁的沖量等于氫分子動量的增量，即選取如圖所示的坐標系，把沖量和動量進行分解例20：已知氫分子的質量m=3.3x10-27kg，與器壁碰撞前后的速度大小不變，均為

=1.6x103m●s-1，且碰撞前后的速度方向與器壁法線方向夾角均為α=60o，如圖所示．設碰撞時間?t=10-13s，

蘭州城市學院代入上式解得解得將數值代入，可解出氫分子對器壁的平均沖力與等值反向，即垂直指向器壁，大小為5.28×10-11N

蘭州城市學院2.3.3

動量守恒定律當

時，質點系動量

不變(1)

動量守恒的分量表述(2)

動量守恒定律適用于慣性系———質點系動量守恒定律討論質點系動量定理蘭州城市學院求:(1)炮車的反沖速度；(2)若炮筒長為，則在發射炮彈的過程中炮車移動的距離為多少?

解:例21：如圖所示，一輛停在水平地面上的炮車以仰角?發射一顆炮彈，炮彈的出膛速度相對于炮車為u，炮車和炮彈的質量分別為m和M。忽略地面的摩擦(1)以炮彈和炮車為系統，選地面為參考系，根據相對運動速度變換關系，可得在水平方向建立ox軸，并以炮彈前進的一方為正方向．由于系統動量在水平方向的分量守恒，因此

蘭州城市學院在x方向的分量式為可得炮車的反沖速度為(2)

以表示炮彈在炮筒內運動過程中任意時刻相對炮車的速率在發射炮彈的過程中，炮車的位移為有

，可得炮車的位移為蘭州城市學院不難看出，應用動量守恒定律解題的一般步驟是：說明1.按問題的要求和計算方便，選定系統，分析要研究的過程2.對系統進行受力分析，并根據動量守恒條件，判斷系統是

否滿足動量守恒，或系統在哪個方向上動量守恒

3.確定系統在研究過程中的初動量和末動量．應注意各動量

中的速度是相對同一慣性系而言的．4.建立坐標系，列出動量守恒方程．求解，必要時進行討論蘭州城市學院解:例22：一輛靜止在水平光滑軌道上且質量為M的平板車上站著兩個人，設人的質量均為m求:試求他們從車上沿同方向，以相對于平板車水平速率u同時跳下和依次跳下時，平板車的速率大小

(1)兩個人同時跳下．取兩個人和平板車為一個系統，該體系在水平方向不受力，故動量守恒．設兩人跳下后平板車的速率為

，于是有(2)兩個人依次跳下。先取兩個人和平板車為一個系統，該體系在水平方向不受力，故動量守恒．設第一個人跳下后平板車的速率為

，于是有

蘭州城市學院解得當第二個人跳下時，取平板車和第二個人為一個系統，顯然，也滿足動量守恒定律，設第二個人跳下后平板車的速率為

，于是有蘭州城市學院2.3.4角動量角動量守恒定律1力對參考點的力矩如圖所示，定義力F對參考點O的力矩M

的大小等于此力和力臂(從參考點到力的作用線的垂直距離)的乘積，即力矩M的定義式又可表示為（1）方向用右手螺旋法則確定（2）在國際單位制中，力矩的單位是牛[頓]·米(N·m)

蘭州城市學院2

質點角動量O大小方向：垂直

，所在平面2

力矩1

質點的角動量大小：方向：垂直，所在平面蘭州城市學院3質點的角動量定理說明1.

和是對于慣性系中的同一個參考O

點而言的。積分形式微分形式沖量矩是質點角動量變化的原因角動量變化的快慢取決于力矩2力矩決定了質點角動量變化的快慢蘭州城市學院4質點角動量守恒定律──質點動量矩守恒守恒條件2.F=01.

r=03.

=0

或

π即“有心力”問題F力對太陽中心O點的力矩為0，行星的角動量守恒例行星運動的開普勒第二定律SO單位時間掃過面積相等守恒

蘭州城市學院(1)有心力問題：過

O點，

MO=0，

角動量守恒(2)

動量矩守恒定律是物理學的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用討論

蘭州城市學院5質點系的角動量定理和角動量守恒定律(1)質點系角動量定理ho質點系角動量根據質點角動量定理，對于第

i個質元求和一對內力矩，大小相等，方向相反，所以質點系角動量變化的快慢取決于外力矩，和內力作用無關說明蘭州城市學院有以下三種情況：(2)質點系的角動量守恒定律──質點系角動量守恒定律2.所有的外力都通過參考點1.體系不受任何外力(即孤立體系)3.

每個外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零蘭州城市學院解:分析知，在A到B的過程中,子彈、木塊和彈簧組成的系統機械能守恒例23：在光滑的水平桌面上，放著質量為M的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在點O，彈簧的勁度系數為k，設有一質量為的子彈以初速度

垂直于OA射向M并嵌入木塊內，如圖所示，彈簧原長為L0，子彈擊中木塊，木塊M運動到B點時刻，彈簧長度變為L，此時OB垂直于OA，求:在B點時，木塊的運動速度

擊中瞬時，在水平面內，子彈和木塊組成的系統沿方向動量守恒，若設為子彈嵌入木塊時的速率，即有

蘭州城市學院聯立求得由A到B的過程中，木塊對O的角動量守恒，設與OB方向成?角，則有求得與OB夾角?：

蘭州城市學院解:求:桿轉動的角速度

這三個質點組成的系統，在碰撞過程中，系統對O點的角動量守恒，由于可解得例24：如圖所示，質量分別為m1，m2的兩個小鋼球固定在一個長為a的輕質硬桿的兩端，桿的中點有一軸使桿可在水平面內自由轉動，桿原來靜止．另一小球質量為m3，以水平速度

沿垂直于桿的方向與m2發生碰撞，碰后二者粘在一起。設

蘭州城市學院2.3.5開普勒定律(1)每個行星各自在一個橢圓軌道上運動，太陽位于橢圓的一個焦點德國天文學家開普勒1609年和1618年發表了描述太陽系行星運行的三條結論，史稱開普勒定律(2)從太陽指向行星的位矢在相等的時間內掃過的面積相等(3)每個行星運動周期的平方與其橢圓軌道長半軸的立方成正比

蘭州城市學院令1開普勒第一定律得：上式表示一個橢圓，即：太陽位于橢圓的一個焦點。這就是開普勒第一定律

蘭州城市學院2.星體的機械能e<1時，行星的機械能E<0，凡是被太陽引力束縛而繞太陽運動的星體的機械能都是負值e=0時，即把行星繞太陽的運動看成圓運動時e=1時，即當星體沿著拋物線運動時，E=0

只受引力作用的星體的機械能雖然守恒，但不一定為負。只有當星體為引力束縛而繞太陽運動時，星體的機械能才是負值

蘭州城市學院3開普勒第二定律行星繞太陽做橢圓運動時，相等時間內位矢掃過的面積相等。=是一個常量，而且是行星繞太陽運動時位矢在單位時間內掃過的面積

蘭州城市學院4開普勒第三定律這表明行星運動周期的平方與橢圓軌道長半軸的立方成正比。行星繞太陽運動一周的時間叫做行星的運動周期T。設某行星的運動周期為，橢圓軌道的長、短半軸分別是a、b，則有

蘭州城市學院2.3.6變質量系統問題如有一人造衛星由三級火箭從地面靜止發射，每級火箭的燃料燃燒完后便自動脫落。設想氣體的噴射速率恒為u=2.5km·s-1，且略去燃料完后脫落燃料容器的質量

蘭州城市學院1碰撞過程分析2.3.7碰撞開始碰撞時，兩球相互擠壓，發生形變，由形變產生的彈性恢復力使兩球的速度發生變化直到兩球速度變得相等為止，這時形變達到最大，這是碰撞的第一階段，稱為壓縮階段由于形變仍然存在，彈性恢復力繼續作用，使兩球速度繼續改變而有相互脫離接觸的趨勢，兩球壓縮的程度逐漸減小，直到兩球脫離接觸時為止，這是碰撞過程的第二階段，稱為恢復階段，整個碰撞過程到此結束。

蘭州城市學院2正碰(1)完全彈性碰撞若兩小球在碰撞前后的速度都在兩球的連心線上，則稱這種碰撞為對心碰撞，也稱正碰

蘭州城市學院在彈性正碰中，碰后兩球的分離速度與碰前兩球的接近速度量值相等聯立兩式解得

蘭州城市學院(2)完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞的特點是，碰撞后兩物體不再分開，而以相同的速度運動系統損失的動能為

蘭州城市學院(3)非完全彈性碰撞若e=0，為完全非彈性碰撞若e=1，為完全彈性碰撞若0<

e<1，為一般碰撞撞碰撞后兩物體彼此分開，但由于壓縮后的物體不能完全恢復原狀而有部分形變被保留下來，因此，系統也只是動量守恒，而動能有損失；碰撞后兩球的分離速度與碰撞前兩球的接近速度之比為一定值，比值由兩球材料的性質決定．該比值稱為恢復系數

蘭州城市學院等大球相碰大球碰小球小球碰大球蘭州城市學院3斜碰