第三章多維隨機變量及其分布§5隨機變量函數的分布一、離散型隨機變量函數的分布二、連續型隨機變量函數的分布三、最大最小值的分布一、離散型隨機變量函數的分布方法：分兩步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一個可能值的概率是多大。設二維隨機變量的聯合分布律為求隨機變量的分布律。例1設隨機變量相互獨立且都服從參數為p的分布，已知矩陣為正定矩陣的概率為1/8，求（1）參數p的值；（2）隨機變量的分布律。例2設X與Y相互獨立,且求的分布律。二、連續型隨機變量函數的分布設二維隨機變量的聯合密度為，求隨機變量的概率密度。方法：分布函數法先求分布函數，再求概率密度。隨機變量Z的分布函數為隨機變量Z的密度函數為例1設二維隨機變量的聯合概率密度函數為令求Z的分布函數及密度函數。例2設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為（1）求；（2）求的概率密度。（2007）例3設二維隨機變量的概率密度函數為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x例4設X與Y相互獨立，且均服從標準正態分布，求的概率密度。1、若且X與Y相互獨立，則結論：2、若且X與Y相互獨立，則3、若且相互獨立，則例5在一簡單電路中，兩電阻和串聯連接，設與相互獨立，它們的概率密度均為求總電阻的概率密度。例6設X與Y相互獨立,且服從同一分布,其概率密度為求的概率密度。三、最大最小值的分布設相互獨立的隨機變量的分布函數分別為記隨機變量M的分布函數為若獨立同分布，其分布函數為，此時，隨機變量M的分布函數為三、最大最小值的分布設相互獨立的隨機變量的分布函數分別為記隨機變量N的分布函數為若獨立同分布，其分布函數為，此時，隨機變量N的分布函數為例1某系統L由兩個子系統A與B聯接組成,聯接的方式有三種(1)A與B串聯;(2)A與B并聯;(3)A與B一個工作一個備用.已知子系統A,B的壽命X,Y均服從指數分布,其概率密度分別為其中常數且設系統L的壽命為Z,分別求三種情況下,L的壽命Z的概率密度.例2設X,Y相互獨立，同服從(0,2)上的均勻分布，例5設隨機變量X和Y都服從正態分布，且則例2設隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為Y的密度分布為記（1）求（2）求Z的概率密度。例4設隨機變量X與Y相互獨立,且X服從參數為p的幾何分布,即(1)U=X+Y的分布函數；(2)V=XY的分布函數。第三章小結主要內容一、二維隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，其樣本空間為，設是定義在S上的兩個隨機變量，則由它們構成的一個向量稱為二維隨機向量或二維隨機變量。二、二維隨機變量的分布函數1、聯合分布函數的定義稱為二維隨機變量的分布函數(或稱聯合分布函數).設是二維隨機變量,對于任意實數x,y,二元函數性質1對任意的有且有性質2是變量x和y的單調非降函數;2、聯合分布函數的性質性質4對任意的x(或y)都是右連續的,即對任意的均有性質3對任意的總有且1、二維離散型隨機變量的定義如果二維隨機變量的所有可能取的值是有限對或若及的全部不同的可能取值分別為則的全部可能取值為:2、二維離散型隨機變量的聯合概率分布三、二維離散型隨機變量及其分布可列無限對,則稱是離散型隨機變量.稱概率函數為二維離散型隨機變量的(聯合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯合分布列)稱概率函數為二維離散型隨機變量的(聯合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯合分布列)(1)(2)3、概率分布的性質4、二維離散型隨機變量的分布函數設二維離散型隨機變量的聯合概率分布為則有進行的。這個求和式是對滿足及的一切下標i和j1、聯合概率密度的定義對于二維隨機變量的聯合分布函數，如果存在一個二元非負值函數使得對任意有則稱為二維連續型隨機變量.稱為二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數.（簡稱聯合密度函數或聯合密度）四、二維連續型隨機變量及其分布2、聯合密度函數的性質（1）（2）具有性質(1),(2)的二元函數f(x,y),必是某個注:二維連續型隨機變量的密度函數。（3）設R為xoy平面內任一區域,則有（4）在的連續點處，有五、邊緣分布1、邊緣分布函數若二隨機變量的聯合分布函數為，則隨機變量（X,Y）關于X的邊緣分布函數為同理有2、邊緣分布律設二維離散型隨機變量的聯合分布律為則隨機變量X的邊緣分布律為同理隨機變量Y的邊緣分布律為3、邊緣概率密度設二維連續型隨機變量的聯合分布函數為,聯合概率密度函數為。于是，隨機變量X的分布函數為得X的密度函數為同理可得隨機變量Y的分布函數為密度函數為1、二維離散型隨機變量的條件分布設二維離散型隨機變量的聯合分布律為六、條件分布2、二維連續型隨機變量的條件分布在條件下,連續型隨機變量X的條件密度函數為:條件分布函數為在條件下,連續型隨機變量Y的條件密度函數為:條件分布函數為1、隨機變量相互獨立的定義設是兩個隨機變量,若對任意實數都有則稱隨機變量X與Y是(相互)獨立的.七、隨機變量的獨立性2、二維隨機變量相互獨立的充要條件X與Y相互獨立3、離散型隨機變量相互獨立的充要條件2、二維隨機變量相互獨立的充要條件X與Y相互獨立4、連續型隨機變量相互獨立的充要條件八、隨機變量函數的分布1、離散型隨機變量函數的分布方法：分兩步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一個可能值的概率是多大。設二維隨機變量的聯合分布律為求隨機變量的分布律。2、連續型隨機變量函數的分布設二維隨機變量的聯合密度為，求隨機變量的概率密度。方法：分布函數法先求分布函數，再求概率密度。隨機變量Z的分布函數為隨機變量Z的密度函數為3、最大最小值的分布設相互獨立的隨機變量的分布函數分別為記隨機變量M，N的分布函數為若獨立同分布，其分布函數為，此時，隨機變量M，N的分布函數為4、二維正態分布若二維隨機變量的聯合密度函數為則稱服從參數為的正態分布.記為其中為常數，且。結論:則若九、關于正態分布的一些重要結論則若1、2、二元正態分布的條件分布仍是正態分布。則X與Y相互獨立當且僅當。若3、習題選講2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只數，Y表示取到紅球的只數。求X和Y的聯合分布律。3.設隨機變量（X,Y）的概率密度為（1）確定常數k；（2）求；（3）求；（4）求；4.將一枚硬幣擲3次，以X表示前2次中出現H的次數，以Y表示3次中出現H的次數。求X，Y的聯合分布律及邊緣分布律。6.設隨機變量（X,Y）的概率密度為求邊緣概率密度。7.設隨機變量（X,Y）的概率密度為（2）邊緣概率密度。（1）試確定常數c;9.以X記某醫院一天出生的嬰兒的個數，Y記其中男嬰的個數，設X和Y的聯合分布律為（1）求邊緣分布律；（2）求條件分布律；（3）特別，寫出當時，Y的條件分布律。解隨機變量X的分布律為(利用二項式定理)9.以X記某醫院一天出生的嬰兒的個數，Y記其中男嬰的個數，設X和Y的聯合分布律為（1）求邊緣分布律；（2）求條件分布律；（3）特別，寫出當時，Y的條件分布律。解隨機變量Y的分布律為(利用)12.設隨機變量（X,Y）的概率密度為求條件概率密度。14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為（1）求X和Y的聯合概率密度；（2）試求二次方程為有實根的概率。進行打靶，設彈著點A(X,Y)的坐標X和Y相互獨立，且都服從分布，規定點A落在區域得2分；點A落在得1分；點A落在得0分。以Z記打靶的得分。寫出X,Y的聯合概率密度，并求Z的分布律。19.設隨機變量（X,Y）的概率密度為（1）問X與Y是否相互獨立；（2）求的概率密度。21.設隨機