平穩時序模型性質第一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自回歸過程的性質第二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型平穩性判別

判別原因AR模型是常用的平穩序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩的

第三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1:考察如下四個模型的平穩性第四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1平穩序列時序圖第五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1非平穩序列時序圖第六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日一階自回歸過程AR(1)的性質一階自回歸模型的形式為：或第七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日1、平穩性和可逆性A.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外，于是有：第八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型平穩性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內根據特征根和自回歸系數多項式的根成倒數的性質，等價判別條件是該模型的自回歸系數多項式的根都在單位圓外平穩域判別

平穩域第九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)模型平穩條件特征根平穩域第十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日二階自回歸AR(2)過程的性質二階自回歸模型的形式為：或第十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。第十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日注：我們下面對AR(2)性質的討論中都假定平穩性條件滿足第十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-202-101實根復根AR(2)過程的平穩性區域如下圖三角域所示第十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)模型平穩條件特征根平穩域第十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.1平穩性判別模型特征根判別平穩域判別結論(1)平穩(2)非平穩(3)平穩(4)非平穩第十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日p階自回歸過程AR(p)p階自回歸模型的形式為：或第十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.平穩性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對值|βi|>1第十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日其實也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p個特征根，那么為滿足平穩性條件，必須有|λi|<1注：下面對AR(p)性質的討論，都假定平穩性條件滿足。第二十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對于高階的自回歸過程，其平穩性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩的必要條件之一。第二十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩AR模型的統計性質均值方差協方差自相關系數偏自相關系數第二十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日均值如果AR(p)模型滿足平穩性條件，則有根據平穩序列均值為常數，且為白噪聲序列，有推導出第二十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日Green函數定義AR模型的傳遞形式其中系數稱為Green函數第二十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日Green函數遞推公式原理方法待定系數法遞推公式第二十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日方差平穩AR模型的傳遞形式兩邊求方差得第二十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.2:求平穩AR(1)模型的方差平穩AR(1)模型的傳遞形式為Green函數為平穩AR(1)模型的方差第二十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日協方差函數在平穩AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據得協方差函數的遞推公式第二十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程第二十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.3:求平穩AR(1)模型的協方差遞推公式平穩AR(1)模型的方差為協方差函數的遞推公式為第三十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.4:求平穩AR(2)模型的協方差平穩AR(2)模型的協方差函數遞推公式為第三十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自相關系數自相關系數的定義平穩AR(P)模型的自相關系數遞推公式第三十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日常用AR模型自相關系數遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第三十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR模型自相關系數的性質拖尾性呈復指數衰減第三十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程的自相關函數第三十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導可看出，當過程平穩即時，AR(1)過程的自相關函數（ACF）呈指數衰減。如果，那么所有的自相關系數都為正，并逐漸衰減。如果，自相關系數的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。第三十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5—自相關系數按復指數單調收斂到零第四十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第四十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—第四十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800Y模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第四十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)過程的自相關函數第四十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第四十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導可以如下結論，在AR(2)過程的平穩性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即時，AR(2)的自相關函數呈指數衰減。如果特征方程的根為復根，即時，AR(2)的自相關函數呈阻尼正弦波衰減。第四十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—自相關系數呈現出“偽周期”性第四十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—自相關系數不規則衰減第五十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(p)的自相關函數ACF第五十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述推導有如下結論：對于平穩過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數衰減或出現復根時的阻尼正弦波衰減。第五十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關系數定義對于平穩AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關系數就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關度量。用數學語言描述就是第五十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關函數的一般公式第五十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關系數的計算滯后k偏自相關系數實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數的值。第五十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第五十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第六十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(1)過程的偏自相關函數第六十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日上述結論說明：AR(1)過程的偏自相關函數(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于。滯后一階以后PACF截尾。第六十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日偏自相關系數的截尾性AR(p)模型偏自相關系數P階截尾第六十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(2)過程的偏自相關函數第六十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上述證明可以得出如下結論：第六十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5續:考察如下AR模型的偏自相關圖第六十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5—理論偏自相關系數樣本偏自相關圖第六十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關系數樣本偏自相關圖第六十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關系數樣本偏自相關圖第七十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第七十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.5:—理論偏自相關系數樣本偏自相關系數圖第七十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第七十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日AR(p)過程的偏自相關函數PACF第七十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可以很容易地看出，當k>p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當k>p時,有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關函數(PACF)滯后p階截尾。第七十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日移動平均過程的性質第七十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的定義具有如下結構的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第七十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日移動平均系數多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動平均系數多項式第七十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的可逆性MA模型自相關系數的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關系數和偏自相關系數第七十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可逆的定義可逆MA模型定義若一個MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個自相關系數列唯一對應一個可逆MA模型。第八十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日可逆MA(1)模型

第八十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內等價條件是移動平滑系數多項式的根都在單位圓外第八十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的平穩性和可逆性A.平穩性：AR(1)過程總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0

的根必須在單位圓外。第八十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日注：以后對MA(1)過程性質的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。第八十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的平穩性和可逆性A.平穩性：AR(2)過程總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。第八十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第八十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩性和可逆性A.平穩性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。第八十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是移動平均過程可逆的必要條件之一。第八十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日逆函數的遞推公式原理方法待定系數法遞推公式第八十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.6續:考察如下MA模型的可逆性第九十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日(1)—(2)

逆函數逆轉形式第九十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日(3)—(4)

逆函數逆轉形式第九十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統計性質常數均值常數方差第九十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統計性質自協方差函數P階截尾自相關系數P階截尾第九十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日常用MA模型的自相關系數MA(1)模型MA(2)模型第九十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的自相關函數ACF第九十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第九十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第九十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日模擬產生的250個數據的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關圖：第九十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日模擬產生的250個數據的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關圖：第一百零一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的自相關函數ACF第一百零三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百零五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(q)過程的自相關函數(ACF)第一百零六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日因而：MA(q)過程的自相關函數是滯后q階截尾的。第一百零七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日例3.6:考察如下MA模型的相關性質第一百零八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的自相關系數截尾

第一百零九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的自相關系數截尾

第一百一十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的統計性質偏自相關系數拖尾第一百一十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日樣本偏自相關函數（SPACF）樣本偏自相關函數有如下遞推公式：第一百一十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(1)過程的偏自相關函數PACF我們介紹了求偏自相關的遞推公式如下：第一百一十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百一十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日由上推導可得出如下結論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負，且呈指數衰減；如果θ1<0,那么PACF正負交替呈指數衰減。第一百一十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(2)過程的偏自相關函數(PACF)第一百一十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日對于MA(2)過程，我們有如下結論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實數，則φkk是兩個衰減指數的和；如果其根是復數，則φkk

是一衰減的正弦波。第一百一十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA(q)過程的偏自相關函數（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關函數是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關函數是由的根確定的，呈混合指數衰或阻尼正弦波衰減。第一百一十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的偏自相關系數拖尾

第一百一十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日MA模型的偏自相關系數拖尾

第一百二十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日自回歸移動平均過程的性質第一百二十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA模型的定義具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第一百二十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日系數多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數多項式階移動平均系數多項式第一百二十三頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)的性質第一百二十四頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)過程的平穩性和可逆性第一百二十五頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日2.ARMA(1,1)過程的ACF第一百二十六頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百二十七頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日第一百二十八頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關函數具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當k=1時，自相關系數由φ1和θ1共同決定。當k≥2時，自相關系數僅取決于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指數衰減。第一百二十九頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是呈指數衰減，不過指數衰減的形態由φ1和θ1共同決定，因此指數衰減的形態比MA(1)過程PACF指數衰減形式更多。第一百三十頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日平穩條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩條件P階自回歸系數多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩性完全由其自回歸部分的平穩性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動平均系數多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可逆性決定第一百三十一頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日傳遞形式與逆轉形式傳遞形式逆轉形式第一百三十二頁，共一百四十二頁，2022年，8月28日ARMA(p,q)