第三章平面力系平衡方程的應用第一節物體系統的平衡問題第二節平面簡單桁架的內力計算第三節摩擦與考慮摩擦時的平衡問題物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯系在一起的系統。如圖1、圖2所示。第一節物體系統的平衡問題CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG圖11、內力和外力外力：系統以外的物體給所研究系統的力。內力：在系統內部，各個物體之間，或一個物體的這一部分與哪一部分之間，相互作用的力。如圖3所示。mqCADBE30。a3aF圖2CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE圖3CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2、物體系平衡問題的靜定或超靜定物體系是由幾個物體組成，可分別分析各個物體的受力情況，畫出受力圖。根據受力圖的力系類型，可知各有幾個獨立的平衡方程，如平面一般力系有三個獨立的平衡方程等。總計獨立平衡方程數，與問題中未知量的總數相比較。若未知量總數超過獨立的平衡方程總數，則問題是超靜定的。若未知量總數小于獨立的平衡方程總數，則系統可能不平衡，而若計算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說明系統處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統的結構是不穩固的。若未知量總數正好等于獨立的平衡方程總數，則問題是靜定的。注意：（1）在總計獨立的平衡方程數時，應分別考慮系統中每一個物體，而系統的整體則不應再加考慮。因為系統中每一個物體既已處于平衡，整個系統當然處于平衡，其平衡方程可由各個物體的平衡方程推出，因而是不獨立的。（2）在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究整體，還要研究局部個體，才能使問題得到解決。應該從未知量較少或未知量數正好等于獨立的平衡方程數的受力圖開始，逐步求解。一、構架構架由若干直桿和曲桿組成，通常其一部分是二力構件。例3-1圖示結構由AB、CD、DE三個桿件鉸結組成。已知

a＝2m，q＝500N/m，F＝2000N。求鉸鏈B的約束反力。CDBEAFa【解】取整體為研究對象，其受力如圖所示。列平衡方程，有解得CDBEAFq解得CDBEAFq再取AEB為研究對象，考慮到DE為二力桿，AEB受力如圖所示，列平衡方程，有解得解得BEA例3-2圖示混合結構受荷載P作用，求支座B的反力及桿件1、2所受的力。21DEBACP3m3m3m3m3m21DEBACP【解】先取整體為研究對象，受力圖如下圖所示。解得對A點取矩，有取結構右半部分為研究對象，受力情況如右圖所示。解得ECBP列平衡方程，有D選取節點D為對象，其受力圖如圖所示。列平衡方程，有解得D例3-3求圖示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG二、多跨靜定梁

多跨靜定梁是由若干跨梁用鉸聯接而成的梁系，它的未知力利用平衡方程可全部求得。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG

從各受力圖來看，未知量共9個，即5個支座反力和C、E處鉸鏈反力各2個。而梁共有三個，則其獨立的平衡方程有9個。也即題中所研究的問題為靜定問題。【分析】先作各梁受力圖如下。CB20kNAxy2kN/mEG10kNCE由對稱關系得：（2）研究CE梁。

【解】

（1）研究EG梁。2kN/mEG10kNCE（3）研究AC梁。CB20kNA10kNCE具有兩個固定鉸支座和一個中間鉸的拱式結構，稱為三鉸拱。三鉸拱是橋梁和廠房中經常采用的一種結構。

三、三鉸拱例3－4圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內的鉛直荷載，其集度為q(kN/m),

拱重及摩擦均不計。求鉸鏈A、B處的反力。qAhl/2l/2CB【解】（1）研究整體其受力如圖所示。ACBq（2）研究AC,并畫其受力圖。系統整體是平衡的，其每個局部也是平衡的。AqCqACB若圖中A、B兩處支座不在同一水平線上，則如何求解支座A、B處的約束反力。討論1、如圖所示，結構由AB、CD、DE三個桿件組成。桿件AB和CD在中點O用鉸鏈連接。桿DE在D點用鉸鏈與CD桿相接，在B點光滑放置在AB桿上。求鉸O的約束反力。【分析與討論】

DBEACOFbbb2、圖示結構由AB、CD、EF、BF四根桿件組成。試按圖示尺寸和載荷求固定端A的約束反力。已知：BDEFACq3、如圖所示機構，已知：q0，F，尺寸如圖，求A、B、C、

D處反力。ABCDFM2llll4、若將下圖中A處改為活動鉸支座，則未知量數目為8個，但在圖示荷載下仍能平衡。當主動力的合力在x軸上的投影不為零時，系統能否平衡？CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第二節平面簡單桁架的內力計算一、桁架的概念1、什么是桁架？桿系結構端部連接受載后幾何形狀不變工程中，屋架、橋架、電視塔、起重機、輸電線塔等結構物常用桁架結構。桁架是由一些桿件彼此在兩端用鉸鏈連接幾何形狀不變的結構。2、工程實例橋梁房屋建筑通訊國防機械海洋石油鉆井平臺桁架梁橋鉆山車網架結構3.節點工程上把幾根直桿連接的地方稱為節點。榫(sun)接木桁架節點鋼桁架節點鉚接焊接鋼筋混凝土桁架節點剛接4、桁架分析目的（1）截面形狀和尺寸設計（2）材料選取（3）強度校核二、模型的建立屋架結構的簡化圖6-61.桁架簡化的幾個假設（1）桁架中各桿為剛性直桿；（2）各桿在節點處系用光滑的鉸鏈連接；（3）所有外力作用在節點上。----理想桁架各桿件軸線都是直線，并通過鉸鏈中心各桿件都用光滑鉸鏈相連接所有外力，包括荷載及支座約束力都作用在節點上2.平面簡單桁架的構成以基本三角形為基礎，每增加一個節點，需要增加不在同一直線兩根桿件，依次類推可得桁架稱為平面簡單桁架。桁架的計算就是二力桿內力的計算。如果桁架是平衡的，則假想地截取桁架的一部分為分離體也是平衡的。三、平面簡單桁架的內力計算1、節點法平面簡單桁架的計算有兩種方法：節點法、截面法。假想將某節點周圍的桿件割斷，取該節點為考察對象，建立其平衡方程，以求解桿件內力的一種方法。取各節點為考察對象【解】節點法。先取整體為研究對象，受力如圖所示。由平衡方程aaaaFCACDBEFFEFAx=－2kNFAy=2kNFB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx如圖平面桁架，求各桿內力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-5聯立求解，得取節點A，受力分析如圖。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF解得取節點F，受力分析如圖。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE取節點C，受力分析如圖。由平衡方程FCFFCAFCCFCDFCEaaaaFCACDBEFFEFDEFDCDFDB解得解得取節點D，受力分析如圖。由平衡方程FBBFBDFBE解得取節點B，受力分析如圖。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE2、截面法用適當的截面將桁架截開，取其中一部分為研究對象，建立平衡方程，求解被切斷桿件內力的一種方法。如圖平面桁架，求FE、CE、CD桿內力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例3-7aaaaFCACDBEFFE【解】先取整體為研究對象,受力如圖所示。由平衡方程聯立求解得

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx由平衡方程作一截面m-m將三桿截斷，取左部分為分離體，受力分析如圖。聯立求解得FFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxm30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFA+2.6FP+2.6FP+2.6FP+2.6FP00-FP-FP+FP-3FP-3FP-2FP-2FP3、零桿FNBDBFNBCFNBAFP30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHECFP一定荷載作用下，桁架中內力為零的桿件零桿30°30°30°30°FPFPFPIGDBAHEC零桿的判斷：xyFN=0FPFN1

=0FN2=0節點上無外力作用？概括：零力桿件判別方法(a)(b)(c)下列桁架中哪些桿為零桿？FPFPABCDEGHI節點法(1)研究整體，求支反力(2)逐個取各節點為研究對象;(3)求桿件內力;(4)所選節點的未知力數目不大于２。4、小結截面法(1)研究整體，求支反力；(2)根據待求內力桿件，恰當選擇截面；(3)分割桁架，取其一進行研究，求桿件內力；(4)所截桿件的未知力數目不大于3。1、試判斷下列各桁架中的零桿。ABP(a)DC(b)FQABCE【分析與討論】

BC、AC桿為零桿BF、FC桿、AB為零桿2、試用截面法計算圖示桁架中指定桿件的內力。F1=FF2=-2FF3=2.828FF4=-3FFFF1234aaaaAB3、試計算圖示桁架1、2桿的內力。a

aa12ABEFGHCDF1F2第三節摩擦與考慮摩擦時的平衡問題在大學物理已經講到什么是摩擦，這里來作更深入的研究。摩擦通常分為兩類，即：滑動摩擦和滾動摩阻。滑動摩擦：相對運動為滑動或具有滑動趨勢時的摩擦。滾動摩阻：相對運動為滾動或具有滾動趨勢時的摩擦。按接觸物體有無相對運動來分，又分為：動摩擦和靜摩擦。有害：給機械帶來多余阻力，使機械發熱，引起零件磨損，消耗能量，降低效率和使用壽命。有利：用于傳動、制動、調速等，沒有摩擦，人不能走路，車不能行駛。1、靜滑動摩擦兩個相互接觸的物體雖有相對運動趨勢，但仍保持相對靜止時，接觸面間產生的切向阻力，稱為靜滑動摩擦力或簡稱靜摩擦力。滿足(最大靜摩擦力)當時,則物體處于臨界平衡狀態。一、滑動摩擦(庫侖靜摩擦定律)Fmax

=

fsFN

2、摩擦角與自鎖現象FN與Fs的合反力為FR

，FR稱為全反力。即摩擦角正切等于靜摩擦系數。（極限情況下，全反力作用形成錐）若面法線間的夾角小于等于

f,即主動力的合力作用線在摩擦錐內，物體處于平衡，這種現象稱為自鎖。FsPFNFRF全反力FR與接觸面的法線成一偏角，在臨界狀態下，有此時偏角達到最大值f，f稱為摩擦角

。由圖知摩擦自鎖是依靠摩擦力使物體能卡住，即不能主動力多大，只要其作用線滿足一定條件，物體將總是不能相對滑動。與此相類似的有如下圖所示的松散物質的靜摩擦角。砂土、糧食能堆起的最大坡度角保證鐵路穩定，路堤和路塹的邊坡角兩物體接觸表面有相對運動時,沿接觸面產生的切向阻力稱為動滑動摩擦力。庫侖動摩擦定理f為動摩擦系數，一般比fs

略小，工程中取ffs。4、靜摩擦系數的測定方法(傾斜法)3、動滑動摩擦由實踐可知，使滾子滾動比使它滑動省力，如果仍用下圖的力學模型來分析就存在問題。即無論水平力F

多么小，此物體均不能平衡，因對點A的矩的平衡方程不滿足，即出現這種現象的原因是，實際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發生一些變形，有一個接觸面，如下圖所示。這是與實際情況不符的，說明此力學模型有缺陷，需要修正。二、滾動摩阻與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf隨主動力F的增大而增大；有一個最大值Mmax,即此力系向A點簡化或且最大滑動摩阻力偶矩上式即是滾動摩阻定律，d稱為滾動摩阻系數，具有長度的量綱

，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關。與滾子的半徑無關。一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數情況下滾阻力偶矩忽略不計。滾阻系數的物理意義如下由力的平移定理與比較得例5-1物塊重為P，與水平面間靜摩擦系數為fS，用同樣大小的力F使物塊向右滑動，圖a的施力方法與圖b相比較，哪一種更有力?【解】圖a圖b故圖b更省力。圖aFFSPFNFNFS圖bPF