概率論與數理統計事件的獨立性北京工業大學應用數理學院

顯然，有P(A|B)=P(A).

這就是說：事件B發生，并不影響事件A發生的概率。這時，稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立。1.5.1兩事件的獨立A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，

先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設§1.5事件的獨立性

由乘法公式知，當事件A與B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)

刻畫獨立性，比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好。◎

不受P(B)>0或P(A)>0

的制約；◎反映了事件A與

B的對等性。

定義1：若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立，或稱A,B獨立。兩事件獨立的定義例1：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,這說明事件A,B獨立。問事件A,B是否獨立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，

前面是根據兩事件獨立的定義得出A,B獨立的結論，我們也可以通過計算條件概率的辦法得到

A,B獨立的結論。續前例：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。

在實際應用中,往往根據問題的實際意義判斷兩事件是否獨立。

由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，故，P(A)=P(A|B)。這也說明A,B獨立。如：一批產品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,

則A1與A2獨立。其原因是：第二次抽取的結果受第一次抽取結果的影響。其原因是:第二次抽取的結果不受第一次抽取結果的影響。若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立。請問：如圖的兩個事件是否獨立？

即:

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立。其逆否命題是：若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A與B不獨立。我們來計算：因

P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即請問：能否在樣本空間Ω中找到兩個事件，它們既相互獨立又互斥?所以，Φ與Ω獨立且互斥。不難發現:Φ(或Ω)與任何事件都獨立。答：能。

設A,B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：

前面我們看到獨立與互斥的區別和聯系，請看下列兩個練習。1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。

設A,B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。=P(A)－

P(AB)P(A)=P(A－

A

B)A與B獨立概率的性質=P(A)－

P(A)P(B)證明:

僅證A與獨立。定理1：若事件A,B獨立，則

也相互獨立。=P(A)[1－

P(B)]=P(A)P(),1.5.2多個事件的獨立先將兩事件獨立的定義推廣到三個事件上：

對于三個事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立，則稱事件A,B,C相互獨立。

推廣到n個事件的獨立性定義,可類似地給出:

設A1,A2,…,An是n個事件，如果對任意k(),任意，等式等式總數為：成立，則稱n個事件A1,A2,…，An相互獨立。請注意多個事件兩兩獨立與事件兩兩相互獨立的區別與聯系兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?參見汪仁官《概率論引論》P24或ppt29多個相互獨立事件具有如下性質：◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則其中任意

k個事件也相互獨立；◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則B1,B2,…,

Bn也相互獨立，其中

Bi或為Ai，或為āi，

i=1,2,…,n

。對獨立事件，許多概率的計算可得到簡化。例2:

三人獨立地去破譯一份密碼,已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號為1,2,3，1.5.3獨立性概念在計算概率中的應用故，所求為P(A1∪A2∪A3)。記Ai={第i個人破譯出密碼}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互獨立，

計算

n個獨立事件并的概率公式:

設事件相互獨立,則

P(A1∪…∪An)也就是說:n個獨立事件至少有一個發生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積。例3：若干人獨立地向一移動目標射擊,每人擊中目標的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標?解：設至少需要

n

個人才能以0.99以上的概率擊中目標。

令A={目標被擊中},Ai={第i人擊中目標},i=1,2,…,n。則A1,A2,…,An相互獨立。故，

也相互獨立。因

A=A1∪A2∪…∪An，得

P(A)=

P(A1∪A2∪…∪An)問題化成了求最小的n,使1-0.4n>0.99。解不等式，得例5癌癥復查的作用續第Ch1-4中例6，已知兩次檢查都呈陽性下，該人患癌癥的概率。=0.005*0.95^2/(0.005*0.95^2+0.995*0.04^2)=0.7392088例6：驗收100件產品方案如下，從中任取3件進行獨立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產品。設一件次品經測試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經測試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產品恰有4件次品。求該批產品能被接收的概率。解:

設A={該批產品被接收}，

Bi={取出3件產品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。則因三次測試相互獨立，故

P(A|B0)=0.993，

P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。

由全概率公式,得更進一步，在上題的假定下，我們可以舉出抽樣檢驗比全面檢驗更優的例子。

n重伯努利試驗概型：

n重伯努利試驗中事件

A

出現

k

次的概率記為且

伯努利(Bernoulli)試驗概型

每次試驗的結果與其他次試驗無關——

即這n次試驗是相互獨立的試驗可重復

n

次每次試驗只有兩個可能的結果：

解每取一個球看作是做了一次試驗記取得白球為事件A有放回地取4個球看作做了4重Bernoulli試驗,記第

i次取得白球為事件Ai感興趣的問題為:4次試驗中A

發生2次的概率例4

袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球

4次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.設E為伯努利試驗，且P(A)=p(0<p<1)，對于n重伯努利概型En，事件A恰好發生k(0kn)次的概率為

k=0,1,2,…,n

證明與前面的例3類似——若P(A)0.01則稱A為小概率事件小概率事件——一次試驗中小概率事件一般是不會發生的.若在一次試驗中居然發生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理女士品茶的故事那是20世紀20年代后期，在英國劍橋一個夏日的午后，一群大學的紳士和他們的夫人們，還有來訪者，正圍坐在戶外的桌旁，享用著下午茶。在品茶過程中，一位女士堅稱：把茶加進奶里，或把奶加進茶里，不同的做法，會使茶的味道品起來不同。在場的一幫科學精英們，對這位女士的“胡言亂語”嗤之以鼻。這怎么可能呢？他們不能想象，僅僅因為加茶加奶的先后順序不同，茶就會發生不同的化學反應。然而，在座的一個身材矮小、戴著厚眼鏡、下巴上蓄著的短尖髯開始變灰的先生，卻不這么看，他對這個問題很感興趣。他興奮地說道：“讓我們來檢驗這個命題吧！”并開始策劃一個實驗。在實驗中，堅持茶有不同味道的那位女士被奉上一連串的已經調制好的茶，其中，有的是先加茶后加奶制成的，有的則是先加奶后加茶制成的。(1/2)^10=0.0009765625小結

本講首先給出事件獨立的概念、性質定理及利用獨立性概念計算事件概率的實例；最后介紹了伯努力概型。作業1.23、1.24反例隨機投擲編號為1與2的兩個骰子事件A

表示1號骰子出現奇數

B

表示2號骰子出現奇數

C

表示兩骰子出現的點數之和為奇數則但本例說明

不能由A,B,C