§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系第四章應力應變關系（本構方程）

§4-2線彈性體的本構關系

§4-3各向同性材料彈性常數

2/5/20231本章討論彈性力學的第三個基本規律。應力、應變之關系，這是變形體力學研究問題基礎之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規律和幾何規律（包括協調條件）。

ji,j+fi=

0ij=(ui,j+uj,i)/2第四章應力應變關系（本構方程）2/5/20232共9個方程，但需確定的未知函數共15個：ui，ij=ji，ij=ji，ij=ji=fij(kl)

第四章應力應變關系（本構方程）

還需要根據材料的物理性質來建立應力與應變間的關系：

2/5/20233§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系1.1應變能U和應變能密度W（比能）

如果彈性體的外力的施加是緩慢進行的，物體無動能，物體發生變形，產生變形能，也無熱能耗散，則根據能量守恒，外力實功轉化成應變能貯存在彈性體中。

2/5/20234§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系

外力做實功

A：

A=U

物體的應變能U

W：應變能密度——單位體積的應變能。

2/5/20235§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系1.2應變能密度W與材料的本構關系

當外載

，緩慢施加過程中，考察外力施加過程中，瞬時外力功增量變化。

x2x1x3oFf2/5/20236§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系在某一時刻t：

產生

應變能密度W的表達式？2/5/20237§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系時刻達到t+t：位移有增量

應變增量

外力功增量

：

2/5/20238§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系：函數增量

應變能增量A中有體積分和面積分，利用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。

2/5/20239§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系代入外力功增量

2/5/202310——W為ij的函數。

§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系2/5/202311

因為W只取決于彈性體的初始應變狀態和最終應變狀態，與變形過程（加載路線）無關，所以W為它的全微分

§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系2/5/202312比較上面二式，得：

——本構關系（方程）

適用于各種彈性情況（線性、非線性）

§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系2/5/202313由

積分得

——應變能密度定義式。

§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系2/5/202314§4-1應變能、應變能密度與彈性材料的本構關系應變能密度定義式一些書上寫為ijijijdijdWWij2/5/202315§4-2線彈性體的本構關系

2.1各向異性材料

在線彈性體應力與應變為線性關系，材料均勻和小變形情況,以及當ij=0

時

ij=0。用指標符號表示：ij=Eijkl

kl

Eijkl共有81個元素（四階張量常數）。

由于

ij

=ji

，kl

=

lk

2/5/202316§4-2線彈性體的本構關系{}=[c]{}

Eijkl減少為66=36個獨立系數，用矩陣表示本構關系

2.1各向異性材料

2/5/202317§4-2線彈性體的本構關系{}=[c]{}

2.1各向異性材料

2/5/202318§4-2線彈性體的本構關系

根據

，

得

則

[C]為對稱矩陣

[C]=[C]T。

2.1各向異性材料2/5/202319§4-2線彈性體的本構關系2.1各向異性材料

*對各向異性材料的本構關系可見，剪應變引起正應力，正應變也產生剪應力。

彈性材料性質一般都具有某些對稱性，利用對稱可進一步簡化

[C]中系數。

Eijkl

的獨立系數為21個——材料為各向異性線彈性材料。

2/5/202320§4-2線彈性體的本構關系2.2具有一個彈性對稱面的材料

x2x1x3彈性主軸若物體內各點都有這樣一個平面，對此平面對稱方向其彈性性質相同，則稱此平面為彈性對稱面，垂直彈性對稱面的方向稱為彈性主軸。

2/5/202321§4-2線彈性體的本構關系如取彈性對稱面為x1—x2面，

x3為彈性主軸或材料主軸，并取另一坐標系x’i

，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在兩個坐標下，彈性關系保持不變，則[C]中元素減少為13個獨立系數。

x2x1x3彈性主軸x3’2/5/202322§4-2線彈性體的本構關系Qi’j

x1

x2 x3

x’1=x1

100

x’2=x2

010

x’3=-x3

00-1

代入

得

2/5/202323§4-2線彈性體的本構關系應變張量具有相同關系。2/5/202324§4-2線彈性體的本構關系代入兩組坐標系下的彈性方程

{}=[c]{},比較得

2/5/202325§4-2線彈性體的本構關系2.3具有三個正交彈性對稱面的材料——正交各向異性材料

木材、增強纖維復合材料屬此種材料。取x1，x2，

x3為彈性主軸。

[C]中獨立系數減少為9個：

2/5/202326§4-2線彈性體的本構關系2.3具有三個正交彈性對稱面的材料——正交各向異性材料

特點：正應變僅引起正應力，剪應變僅產生剪應力。

2/5/202327§4-2線彈性體的本構關系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對一個軸對稱

若通過物體每一點可作這樣的軸（如x3軸），在此軸成垂直的平面內，所有射線方向的彈性性質都是相同的，稱這個平面為各向同性面，如地層屬于此類。[C]中獨立系數為5個：

x1x2x3x1’x2’各向同性面2/5/202328§4-2線彈性體的本構關系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對一個軸對稱2/5/202329§4-2線彈性體的本構關系2.5各向同性材料

各個方向彈性性質一樣，[C]中僅有2個獨立系數：

2/5/202330§4-2線彈性體的本構關系2.5各向同性材料

2/5/202331§4-3各向同性材料彈性常數3.1本構關系用、G表示

采用指標符號表示：

其中——應變第一不變量（體積應變）

2/5/202332§4-3各向同性材料彈性常數3.1本構關系用、G表示

或

——應力第一不變量；

2/5/202333§4-3各向同性材料彈性常數3.1本構關系用、G表示

兩個第一不變量關系

2/5/202334§4-3各向同性材料彈性常數3.2本構關系用彈性模量E和泊松系數

表示

令

或

2/5/202335§4-3各向同性材料彈性常數3.2本構關系用彈性模量E和泊松系數

表示

則本構關系變為材料力學中最初見到的廣義虎克定理的形式：

2/5/202336§4-3各向同性材料彈性常數

采用指標符號表示：

2/5/202337§4-3各向同性材料彈性常數——體積壓縮模量。

兩個第一不變量關系

或

2/5/202338§4-3各向同性材料彈性常數E——拉壓實驗測定，G——扭轉測定，——壓縮實驗測定，

K——靜水壓力實驗測定

2/5/202339作業：

1.

證明，對各向同性彈性體，若主應力123，則相應的主應變123。2．將一小物體放在高壓容器內，在靜水壓力為q=0.5N/mm2作用下，測得體積應變為-0.41