西北工業大學支希哲朱西平侯美麗動力學轉動慣量§5

質量對稱分布剛體的慣性主軸方向的判定

§4剛體對任意軸的轉動慣量§3轉動慣量的平行軸定理

§2簡單形狀勻質剛體的轉動慣量§1轉動慣量的概念動力學目錄轉動慣量§1轉動慣量的概念轉動慣量的概念回轉半徑轉動慣量的一般表達式極轉動慣量轉動慣量1.轉動慣量的概念剛體對軸z的轉動慣量，是剛體內所有各點的質量與其對該軸的轉動半徑的平方的乘積的總和（如圖1）。可見，轉動慣量永遠是正值。可以表示為圖1xyzAOrzxyzrz

影響轉動慣量大小的因素。●

整個剛體質量的大小。●

剛體各部分的質量分布。●

轉軸的位置。對于質量連續分布剛體：§1轉動慣量的概念所以，當談到剛體的轉動慣量時，應指出它是對哪個軸來說的。在國際單位制中，轉動慣量的常用單位是kg·m2。●整個剛體質量的大小。●剛體各部分的質量的分布。●轉軸的位置。

影響轉動慣量大小的因素。剛體的轉動慣量是剛體在轉動時慣性的度量。圖1xyzAOrzxyzrz§1轉動慣量的概念2.回轉半徑剛體對于某軸z的轉動慣量與其質量m之比值的平方根為一個當量長度，稱為剛體對于該軸的回轉半徑。因此，有關系式

可見，如果假想地把剛體的全部質量集中于一點，而不改變這剛體對于該軸的轉動慣量，則這個點到該軸的距離應等于回轉半徑。§1轉動慣量的概念3.轉動慣量的一般表達式同理，可得剛體對軸x和軸y的轉動慣量計算式，合并寫成

取固連于剛體的坐標Oxyz，設剛體內任一質點A的坐標是（x，y，z），用rz表示點A到軸z的距離，則（如圖2）。故得剛體對軸z的轉動慣量的計算式圖2xyzAOrzxyzrz§1轉動慣量的概念4.極轉動慣量對于平面薄板，使平板表面重合于坐標平面Oxy（如圖3），此時有

薄板對與板面垂直的軸的轉動慣量，稱為薄板的極轉動慣量。上式指出，薄平板的極轉動慣量，等于薄板對板面內與極軸z共點并相互正交的任意兩軸的轉動慣量之和。

如果薄板內各點的坐標z可以忽略，則式簡寫成

圖3xzyOyAxr§1轉動慣量的概念§2

簡單形狀勻質剛體的轉動慣量

轉動慣量在桿沿軸線x上任一小段dx，其質量，對軸z的轉動慣量元素是

例題1下面舉例說明一些簡單形狀勻質剛體的轉動慣量的積分計算方法。

例題1已知勻質細長直桿的質量是m，長度是l（如圖4），求它對于過質心C且與桿相垂直的軸z的轉動慣量。

解：勻質細長直桿對軸z的轉動慣量是

圖4lxzxdxl/2C§2

簡單形狀勻質剛體的轉動慣量

由圖可見，矩形板在y方向的尺寸a不影響Jy，故可利用上例的結果。例題2

例題2

已知勻質矩形薄平板的質量是m，邊長為a和b（如圖5），求這薄板對垂直板面中心C的軸z轉動慣量。

解：類似地可得

利用bCxyadxzlxxdxl/2C§2

簡單形狀勻質剛體的轉動慣量

圖5薄板的極轉動慣量為例題3例題3

已知勻質薄圓盤的半徑是r，質量是m（如圖6）

，求它對垂直于盤面質心軸Oz的轉動慣量。取任一半徑為ζ，寬為dζ的圓環，其質量是

解：對軸z的轉動慣量元素是

于是，求得圓盤對軸z轉動慣量

考慮到Jx=Jy，即可求得

圖6xyOrζdζ§2

簡單形狀勻質剛體的轉動慣量

§3轉動慣量的平行軸定理

轉動慣量設剛體的質量為m，對軸z′的轉動慣量是。軸z與軸z′相平行且相距d。求此剛體對軸z的轉動慣量。取坐標系如圖所示，令，軸y重合于軸y′。

設剛體內任一質點A的質量是mi，則剛體對軸z的轉動慣量是

上式右端第一項就是Jz′，第三項是(∑mi)d2，至于第二項，根據質心C坐標公式圖7得知xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3轉動慣量的平行軸定理

在實際應用中，常令軸z′通過質心C，因而yC′=0。于是得關系式

即，剛體對任一軸的轉動慣量，等于它對該軸相平行且通過質心的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩個軸之間距離平方的乘積。這就是轉動慣量的平行軸定理。

xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3轉動慣量的平行軸定理

圖7例題4例題4解：lzl/2CAz11.已知桿長l，質量是m。求通過桿端A并與軸z平行的軸z1的轉動慣量。2.已知半徑r，質量是m。求通過點A并與質心軸z平行的軸z1的轉動慣量。ACz1z§3轉動慣量的平行軸定理

圖8圖9解：例題5

例題5沖擊擺可近似地看成由勻質細