系統分析與

數字濾波器設計1什么是系統？系統是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。如計算機系統，醫(yī)療系統，雷達導航系統………在信號處理領域，通俗地說，對信號進行處理的各種環(huán)境都可以被稱為系統，在信號處理領域，一般稱為傳送信號或對信號進行加工處理而構成的某種組合。這種組合，既可以有對應的物理設備，如電容、放大器….也可以是純粹的算法，如計算機軟件程序等。關鍵是“特定功能的整體”2為什么要研究系統？我們研究和分析系統，主要關心下面兩個問題如何解決：對于給定信號形式的傳輸和處理要求，如何使系統與其匹配即如何使系統滿足信號處理的要求，系統應具有怎樣的功能和參數？對于給定參數的系統，它具有何種處理信號的特性？即分析信號在通過系統后，信號的性質會發(fā)生什么樣的變化？3系統的激勵與響應我們關心的問題變?yōu)椋喝绾卧O計一個系統，使其輸出特性符合要求？如何分析現有系統，求其在指定輸入時的輸出？4系統響應的分類1零輸入響應系統可能在沒有給任何激勵信號作用時，產生信號輸出。在這種情況下，系統的輸出顯然是與外界無關的(因為外界并沒有給系統輸入信號)，輸出是由系統自身的內部信息引起的。系統自身的內部信息，可能是先前激勵（或撓動）作用的后果，不過，沒有必要追究關于它們歷史演變的詳細過程，只需要知道在當前激勵接入系統時，系統的瞬時狀態(tài)即可。由此看來，系統的零輸入響應是一種純粹由系統的起始狀態(tài)所產生的響應。5系統響應分類2零狀態(tài)響應系統在每一時刻都對應一種狀態(tài)，開始研究系統的時刻系統所處的狀態(tài)稱為起始狀態(tài)。所謂系統的零狀態(tài)響應，就是指系統在起始狀態(tài)時狀態(tài)值為零(相當于系統沒有存儲任何能量和信息)。在這種狀況下，給系統輸入一個激勵信號，則系統所產生輸出響應就被稱為系統的零狀態(tài)響應。6連續(xù)時間系統輸入和輸出的信號都是連續(xù)時間信號，并且在系統內部也沒有對信號進行轉換的系統。離散時間系統輸入和輸出的信號都是離散時間信號，并且在系統內部，信號也是離散時間形式。系統的分類這兩種不同的系統類別，它們的系統原理和分析方法，除少數內容外，基本上一致的。7系統的特性1線性系統同時滿足疊加性與齊次性的系統。系統的疊加性是指：當幾個激勵信號同時作用于系統時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產生的響應之和。系統的齊次性是指：當輸入信號乘以某個常數時，系統的響應也倍乘相同的常數。8系統的特性2時不變系統若系統響應與激勵加于系統的時刻無關，則稱系統為時不變系統。反之，則稱為時變系統。線性時不變系統若系統既是線性的，又是時不變的，則我們稱之為線性時不變系統。簡記為LTI系統。9系統的特性3、4因果系統若系統在某一時刻的響應只與此時間及其以前的系統輸入有關，即激勵是產生響應的原因，則此系統為因果系統。穩(wěn)定系統若系統對任意的有界輸入其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱此系統為穩(wěn)定系統。系統的穩(wěn)定性通常被稱為BIBO原則。10系統的表征1系統的頻率響應：通常，信號通過一個系統后，其頻譜將發(fā)生變化。因此，簡單地說，所謂系統的頻率響應，就是系統對輸入信號的頻譜的影響（改變）特性。系統按幅頻響應特性分類低通帶通高通帶阻全通11系統的表征2積分單元延時單元12系統的表征2信號相加13信號乘常數系統的表征214系統的表征2信號相乘15系統的表征3微分方程差分方程16線性時不變系統可用它的單位沖激響應來表征。設系統的單位沖激響應為h(n)，若輸入序列為x(n)，試求系統的輸出序列為y(n)。已知任一序列x(n)與單位沖激序列有如下關系：系統的表征417證明設對任意的有界輸入有即輸出也是有界的，所以系統穩(wěn)定。LTI系統是一個穩(wěn)定系統的充要條件是：18假設系統的單位沖激響應不是絕對可積的，即即輸入是有界的。于是若系統激勵為顯然即輸出是無界的。這與系統是穩(wěn)定的相矛盾。19傳遞函數離散時間LTI系統輸入輸出滿足下列關系H(z)與系統特性有一一對應關系，也可以說是系統特性的一種反映，所以通常稱H(z)為LTI系統的傳遞函數，也稱系統函數。傳遞函數H(z)實際上是系統單位沖激響應h(n)的Z變換，可以直接由單位沖激函數求出來系統的表征520傳遞函數H(z)與單位沖激響應h(n)是一對ZT對證明：因為所以于是21傳遞函數與差分方程的關系系統框圖差分方程傳遞函數22系統的穩(wěn)定性和因果性判定結論1 離散線性時不變系統是因果系統的充要條件是：傳遞函數的ROC是某個圓外部的區(qū)域，包括無窮遠點。結論2 離散線性時不變系統是穩(wěn)定系統的充要條件是：傳遞函數的ROC包括單位圓。若系統是穩(wěn)定的因果系統，則其傳遞函數ROC如下所示系統表征方法的應用123兩個系統并聯后新系統的單位沖激響應是并聯子系統單位沖激響應的和，傳遞函數是并聯子系統傳遞函數的和系統表征方法的應用2系統的并聯組合24兩個系統串聯后新系統的單位沖激響應是串聯子系統單位沖激響應的卷積，傳遞函數是串聯子系統傳遞函數的乘積系統的串聯組合系統表征方法的應用225如果離散系統的系統函數為H(z)，則稱為離散系統的頻率響應，簡稱頻響，它反映了系統對激勵中各頻率分量的幅度和相位影響。通常是復值函數幅頻響應相頻響應系統表征方法的應用326系統的頻率響應是周期為s(序列的重復頻率，當T=1時，s=2)的周期函數，并且關于=0和=s/2是共軛對稱的。系統的頻率響應是其單位沖激響應的離散時間傅里葉變換系統表征方法的應用327傳遞函數頻響零點向量差極點向量差頻率響應的幾何作圖法系統表征方法的應用328頻率響應的幾何作圖法在z平面原點處加入或去掉零極點,不會影響系統的幅頻特性,只影響系統的相頻特性。如果單位圓上某個點沿逆時針方向不斷轉動，轉動一周就可以根據下式得到系統的頻響。29系統表征方法的總結系統的結構框圖（信號流程圖、邏輯關系圖）數學方程（差分方程、微分方程）單位沖激響應系統傳遞函數系統頻率響應特性30為什么H(z)可以表征系統？系統傳遞函數H(z)h(n)系統對任意輸入的輸出，可以用h(n)求出來31為什么h(n)可以表征系統?系統單位沖激響應h(n)系統對任意輸入的輸出，可以用h(n)求出來濾波器對輸入信號的頻率分量進行處理32為什么差分方程可以表征系統?系統輸出只與當前及過去的輸入有關顯然，輸出也可與系統過去的輸出有關因果系統非遞歸的差分方程遞歸差分方程33為什么結構框圖可以表征系統?圖示方法表示差分方程濾波器系統輸入x(n)輸入y(n)信號在系統內部被運算處理的實際過程34為什么可以用H(z)的ROC的情況來確定系統的因果性？反過來想這個問題：一個因果系統的h(n)有何特點？因果系統的單位沖激響應h(n)是因果序列n=0,1,2,…h(huán)(n)是右邊序列的一種（下標無負值）！一般的右邊序列ZT的ROC是圓外部分，若下標無負值，則ROC還包含無窮遠點所以，根據ROC的情況，就可以知道系統是不是因果的35為什么因果系統的h(n)是因果序列？因果系統的單位沖激響應h(n)是因果序列n=0,1,2,…假設h(n)有下標為負值的點，如h(-1)，則系統輸出與未來的輸入有關！這樣的系統不是因果的！36為什么可以用H(z)的極點位置來判定系統的穩(wěn)定性？其實，一個系統是不是穩(wěn)定的，只取決于它的H(z)的ROC是否包含單位圓。根據ZT的ROC與其極點的關系（ROC不含極點），可以有下面的結論：若系統是因果系統，其ROC是某圓外部分，所以全部極點須在單位圓內，這樣ROC才能包含單位圓，系統才穩(wěn)定。若系統是非因果系統，其ROC是某圓內部分，所以全部極點須在單位圓外，這樣ROC才能包含單位圓，系統才穩(wěn)定。37為什么H(z)的ROC只有包含單位圓，系統才穩(wěn)定？H(z)的ROC須包含單位圓穩(wěn)定系統為什么呢？BIBO原則！38為什么由H(z)的零極點分布可以求系統的頻率響應特性？39相頻響應特性幅頻響應特性40為什么經常用頻率響應特性來表征系統（數字濾波器）？描述了信號通過系統后會發(fā)生哪些變化幅度如何變化，相位如何變化針對實際應用，設計實現特定的濾波器濾除某些成分，保留某些成分數字濾波器的分析41數字濾波器的實現數字濾波器實現程序設計實現、DSP算法實現差分方程卷積實現當單位沖激響應有限長時，卷積式與差分方程是完全一致的。此時，濾波器被稱為有限脈沖響應濾波器（也稱FIR濾波器）。42數字濾波器程序設計實現差分方程---非遞歸的差分方程要求：減少存儲，減少運算（乘法、加法），減少有效字長效應（濾波器系統必須量化，處理器有效比特數有限而產生的影響）a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)高階濾波器多個二階濾波器節(jié)的級聯（濾波器系數大，對量化誤差敏感程序低）FIR濾波器43非遞歸差分方程－－二階非遞歸濾波器節(jié)級聯a01Z-1Z-1a21+x(n)y(n)a11a02Z-1Z-1a22+a12分級后，各濾波器節(jié)系數較大，對量化誤差敏感度降低44寫出如圖所示級聯流圖的差分方程Z-1Z-1+x1(n)y3(n)-0.10.2Z-1Z-1+0.30.1Z-1-0.4+y1(n)=x2(n)y2(n)=x3(n)45ZT的用途之一46數字濾波器程序設計實現2.差分方程---遞歸差分方程a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN直接I型實現IIR濾波器47直接II型實現a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+N(z)1/D(z)48直接II型實現a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+N(z)1/D(z)49直接II型實現a0a1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+與直接I型相比，直接II型減少了過去輸入和輸出狀態(tài)的存儲。由于需要兩個加法，故在用DSP硬件實現時，可能引起算術溢出。盡管如此，因存儲效率高，在濾波器實現廣泛應用。標準型50FIR數字濾波器的設計濾波器的單位沖激響應h(n)可以表征系統理想低通濾波器的h(n)無限長，且有負值下標FIR濾波器的單位沖激響應是有限長的因果序列將滿足要求的理想低通濾波器的h(n)截斷因為時域平移只影響相位，故將截斷后的h(n)平移成因果序列用所得h(n)實現的濾波器即為所需的FIR時域截斷，頻域H(w)與截取窗函數作卷積，濾波器的濾波性能(濾波器形狀)發(fā)生改變。51需求分析濾波器的濾波特性參數（低通濾波器）通帶過渡帶阻帶1濾波器帶寬指增益為0.707(-3dB)間頻率范圍0.500.707濾波器通帶邊緣頻率濾波器截止頻率虛線表示的是理想低通濾波器；實線表示的是實際的低通濾波器。不同的窗函數旁瓣情況不同阻帶衰減52理想低通濾波器的h(n)被不同的窗函數截斷時性能窗類型窗函數窗內項數阻帶衰減dB通帶邊緣增益dB矩形漢寧哈明布萊克曼凱塞21-0.94455758164100-0.06-0.02-0.0014-0.0057-0.00087-0.000013T.W.是過渡帶寬度53設計中所用的通帶邊緣頻率=所要求的通帶邊緣頻率+(過渡帶寬度)/2設計中所用的通帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率過渡帶寬度增益頻率所要求的通帶邊緣頻率濾波器截止頻率，因為單位沖激響應被截成有限項，需要調整。根據經驗，不用通帶邊緣頻率，而應使用過渡帶的中點54低通FIR濾波器的設計步驟在過渡帶寬度中間，選擇通帶邊緣頻率(Hz)計算截止頻率的數字頻率，并代入從表中選擇滿足阻帶衰減及其他要求的窗函數，計算所需窗的非零項數目，選擇奇數項（脈沖響應完全對稱，相位沒有失真），計算窗函數用窗函數與h1(n)相乘，計算有限長脈沖響應將脈沖響應右移(N-1)/2，確保第一個非零值在n=0處55根據下列指標設計低通FIR濾波器通帶邊緣頻率10kHz阻帶邊緣頻率22kHz阻帶衰減75dB采樣頻率50kHz過渡帶寬度=22-10=12kHz設計用的通帶邊緣頻率f1=10k+12K/2=16kHz截止數字頻率w1=2Pi*f1/fs=0.64Pi理想濾波器的脈沖響應為布萊克曼窗和凱塞窗都可以達到阻帶衰減75dB的要求。盡管凱塞窗的長度短，但布萊克曼窗計算簡單。窗長取25：56窗函數為：濾波器脈沖響應為：所設計濾波器的實際性能為：通帶邊緣增益為-0.0014dB，位于10.11kHz處增益為-75dB的點出現在21.685kHz處。所設計的濾波器性能非常接近設計要求。其他類型的濾波器（高通、帶通、帶阻等）如何設計呢？57數字濾波器的實現數字濾波器實現程序設計實現、DSP算法實現double*FIR(doubleh[N],doublex[M]){double*y=newdouble[M+N-1];for(intn=0;n<M+N-1;n++){y[n]=0;for(intk=0;k<N;k++){if(n>=k)y[n]+=h[k]*x[n-k];elsebreak;}}returny;}//由調用者負責刪除y58根據下列指標設計低通FIR濾波器通帶邊緣頻率2kHz阻帶邊緣頻率3kHz阻帶衰減40dB采樣頻率10kHz過渡帶寬度=3-2=1kHz設計用的通帶邊緣頻率fc=2k+1K/2=2.5kHz截止數字頻率wc=2Pi*2.5/10=0.5Pi理想濾波器的脈沖響應為59窗函數為：濾波器脈沖響應為：所設計濾波器的實際性能為：通帶邊緣增益為-0.06dB，位于2013Hz處。40dB阻帶衰減在2976Hz處。非常接近設計要求。阻帶衰減40dB，可以選擇漢寧窗。窗長為：通帶邊緣頻率2kHz阻帶邊緣頻率3kHz下頁60>>fir1(32,0.5,hann(33))ans=0-0.00020.00000.0021-0.0000-0.00640.00000.0142-0.0000-0.02720.00000.0495-0.0000-0.09710.00000.31520.49990.31520.0000-0.0971-0.00000.04950.0000-0.0272-0.00000.01420.0000-0.0064-0.00000.00210.0000-0.00020幅頻響應為其他類型的FIR濾波器，如高通、帶通、帶阻，又該如何設計呢？MATLAB0.5：截止數字頻率61低通帶通高通信號頻率分布范圍頻率響應函數在頻域移動到新位置頻移的辦法:脈沖響應與余弦函數相乘低通濾波器62根據下列指標設計帶通FIR濾波器通帶邊緣頻率3.5kHz,4.5kHZ邊渡帶寬度500Hz阻帶衰減50dB采樣頻率22kHz低通通帶邊緣=4-3.5=0.5kHz低通過渡帶寬=帶通過渡帶寬=500Hz設計用的通帶邊緣頻率f1=500+500/2=750Hz截止數字頻率wc=2Pi*750/22000=0.06818Pi理想濾波器的脈沖響應為0fLfHw0帶通中心頻率4kHZ63窗函數為：濾波器脈沖響應為：阻帶衰減50dB，要求使用哈明窗。窗長為：帶通中心頻率為4kHZ，余弦函數為：64>>fir1(150,0.06818,hamming(151))ans=-0.0001-0.00000.00000.00010.00020.00030.00030.00040.00050.00050.00060.00060.00060.00050.00040.00030.0001-0.0001-0.0004-0.0007-0.0009-0.0012-0.0015-0.0017-0.0018-0.0019-0.0019-0.0017-0.0015-0.0011-0.00060.00000.00070.00140.00220.00300.00370.00430.00470.00500.00500.00480.00430.00350.00240.0010-0.0005-0.0023-0.0041-0.0060-0.0078-0.0095-0.0108-0.0118-0.0123-0.0122-0.0115-0.0101-0.0080-0.0050-0.00140.00300.00800.01350.01940.02570.03200.03830.04440.05010.05520.05960.06320.06590.06750.06800.06750.06590.06320.05960.05520.05010.04440.03830.03200.02570.01940.01350.00800.0030-0.0014-0.0050-0.0080-0.0101-0.0115-0.0122-0.0123-0.0118-0.0108-0.0095-0.0078-0.0060-0.0041-0.0023-0.00050.00100.00240.00350.00430.00480.00500.00500.00470.00430.00370.00300.00220.00140.00070.0000-0.0006-0.0011-0.0015-0.0017-0.0019-0.0019-0.0018-0.0017-0.0015-0.0012-0.0009-0.0007-0.0004-0.00010.00010.00030.00040.00050.00060.00060.00060.00050.00050.00040.00030.00030.00020.00010.0000-0.0000-0.0001MATLAB0.06818：截止數字頻率65根據下列指標設計高通FIR濾波器通帶邊緣頻率8kHz阻帶邊緣頻率6kHz阻帶增益至少比通帶增益低40dB采樣頻率22kHz高通的中心頻率=22k/2=11k低通濾波器通帶邊緣頻率=11k-8k=3k，阻帶邊緣頻率=5k截止數字頻率wc=2Pi*4k/22k=0.3636Pi理想濾波器的脈沖響應為011K高通的過渡帶寬度=8k-6k=2k設計用通帶邊緣頻率=3k+2k/2=4k66窗函數為：濾波器脈沖響應為：查表可知漢寧窗可以提供所要求的阻帶衰減。窗長為：高通中心頻率為11kHZ，余弦函數為：67帶阻FIR濾波器設計011K帶阻＝低通＋高通低通高通＋低通高通帶通FIR濾波器68IIR數字濾波器的設計遞歸差分方程IIR濾波器與FIR濾波器的比較FIR濾波器僅在零處有極點，所以必然穩(wěn)定。而IIR濾波器則不能保證是穩(wěn)定的。FIR濾波器很容易有實現線性相位（脈沖響應關于中心點對稱），而IIR濾波器則很難做到。在實現類似性能時，IIR濾波器比FIR濾波器的系數要少得多。6