山西省忻州市門限石中學2023年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數，若，，，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D，在上為減函數，且時，時，，且，，且，且，，在上單調遞減，，即，故選D.

2.把一副三角板ABC與ABD擺成如圖所示的直二面角D－AB－C，則異面直線DC與AB所成角的正切值為

A．

B．C．

D．不存在

參考答案：B3.已知函數是奇函數，且當時，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D試題分析：因函數是奇函數，故考點：函數的性質4.若函數f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是(A).a＝－1或3

(B).a>3或a<－1

(C).a＝－1

(D).－1<a<3參考答案：C5.設，當時，不等式恒成立，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知直線：x+ay+6=0和:（a-2）x+3y+2a=0，則∥的充要條件是a=（

）

A．3

B．1

C．-1

D．3或-1參考答案：C略7.設變量滿足約束條件，則目標函數的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，則?=（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3參考答案：B【考點】余弦定理；平面向量數量積的運算．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的數量積運算法則變形，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，則?=﹣cacosB=﹣．故選：B．【點評】此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．9.已知數列滿足（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.設，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據對數運算將變形為和，根據真數相同的對數的大小關系可比較出三個數之間的大小.【詳解】；又

本題正確選項：【點睛】本題考查利用對數函數的圖象比較大小的問題，關鍵是能利用對數運算將三個數轉化為統一的形式.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為等差數列的前項和，若，則

．參考答案：【知識點】等差數列的性質及等差數列的前n項和.

D2【答案解析】36

解析：由，得，即，所以.【思路點撥】根據等差數列的通項公式，等差數列的性質以及等差數列的前n項和公式，求得結論.12.已知拋物線y2=4x上一點M與該拋物線的焦點F的距離｜MF｜＝4，則點M的橫坐標x=________.參考答案：313.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}滿足A∩B＝{2}，則實數a＝

.參考答案：【解析】由答案：14.已知參考答案：略15.某所學校計劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件，則該校招聘的教師最多是

名.參考答案：1016.如題15圖所示，過拋物線的焦點F作直線交C于A、B兩點，過A、B分別向C的準線作垂線，垂足為，已知四邊形的面積分別為15和7，則的面積為

。參考答案：提示：首先證，然后有題意有兩式作積得解這個方程得

17.右圖是一個算法的流程圖，最后輸出的k＝

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．參考答案：11略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數f(x)=2cosx(sinx+cosx)+2（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期與單調遞減區間；（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）由三角函數化簡可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得單調遞減區間；（Ⅱ）由x∈結合三角函數的性質逐步計算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化簡可得=?2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函數f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函數的單調遞減區間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函數的最大值和最小值分別為5，2．【點評】本題考查三角函數恒等變換，涉及三角函數的周期性和單調性及最值，屬中檔題．19.在某次水下科研考察活動中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業，根據以往經驗，潛水員下潛的平均速度為v（米/單位時間），每單位時間的用氧量為（升），在水底作業10個單位時間，每單位時間用氧量為0.9（升），返回水面的平均速度為（米/單位時間），每單位時間用氧量為1.5（升），記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為y（升）．（1）求y關于v的函數關系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求當下潛速度v取什么值時，總用氧量最少．參考答案：【考點】函數模型的選擇與應用．【分析】（1）分別計算潛入水底用時、用氧量；水底作業時用氧量；返回水面用時、用氧量，即可得到總用氧量的函數；（2）利用基本不等式可得，時取等號，再結合c≤v≤15（c＞0），即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．【解答】解：（1）由題意，下潛用時（單位時間），用氧量為（升），水底作業時的用氧量為10×0.9=9（升），返回水面用時（單位時間），用氧量為（升），∴總用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在時，y'＜0，函數單調遞減，在時，y'＞0，函數單調遞增，∴當時，函數在上遞減，在上遞增，∴此時時用氧量最少．當時，[c，15]上遞增，此時v=c時，總用氧量最少．20.（本小題滿分14分）已知函數，其中．（Ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；（Ⅱ）求的單調區間；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當時，，．

………………2分由，得曲線在原點處的切線方程是．……3分

（Ⅱ）．

………………4分①當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．

……5分當，．②當時，令，得，，與的情況如下：↘↗↘

故的單調減區間是，；單調增區間是．………7分③當時，與的情況如下：↗↘↗

所以的單調增區間是，；單調減區間是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，時不合題意．

……10分

當時，由（Ⅱ）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．設為的零點，易知，且．從而時，；時，．若在上存在最小值，必有，解得．所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．12分

當時，由（Ⅱ）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是．

………………14分21.已知函數f（x）=是R上的單調遞增函數，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】5B：分段函數的應用．【分析】分段函數f（x）=是R上的單調遞增函數，則每一段均為增函數，且當x=1時，左段函數值不大于右段函數值，進而可得實數a的取值范圍．【解答】解：根據函數f（x）=是R上的單調遞增函數，可得：每一段均為增函數，且當x=1時，左端函數值不大于右端函數值，所以，解得4≤a＜8．故實數a的取值范圍為[4，8）．22.空氣質量問題，全民關注，有需求就有研究，某科研團隊根據工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經過測試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖：若降塵率達到18%以上，則認定霧炮除塵有效．（1）根據以上數據估計霧炮除塵有效的概率；（2）現把A市規劃成三個區域，每個區域投放3臺霧炮進行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個區域內的3臺霧炮降塵率都低于18%，則需對該區域后期追加投入20萬元繼續進行治理，求后期投入費用的分布列和期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）估計霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．（2）由（1）可得：在一個區域內的3臺霧炮降塵率都低于18%，則需對該區域后期追加投入20萬元繼續進行治理，因此在一個區域內需對該區域后期追加投入20萬元繼續進行治理的概率P==．后期投入區域X～B．后期投入費用ξ=20X（萬元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=即可得出．【解答】解：（1