3泊松過程內容提要泊松過程的定義和例子泊松過程的基本性質非齊次泊松過程復合泊松過程引言[(0-1)分布]

隨機變量

X只可能有兩個值:0和1，其概率分布為：[二項分布]隨機變量

X為n重貝努利試驗中事件A發生的次數，則X~B

(n,p)[泊松定理]在二項分布中，設

np=

是常數，則有泊松分布[泊松分布]隨機變量X

的所有可能取值為0,1,2,…

，而取各個值的概率為則隨機變量X

服從參數為的泊松分布，簡記為()。泊松簡介

泊松（Poisson)，法國數學家。1781年6月21日生于法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒于法國索鎮。

1798年入巴黎綜合工科學校深造。在畢業時，因優秀的研究論文而被指定為講師。1806年接替J.-B.-J.傅里葉任該校教授。1809年任巴黎理學院力學教授。1812年當選為巴黎科學院院士。1816年應聘為索邦大學教授.1826年被選為彼得堡科學院名譽院士.1837年被封為男爵.

“我建立了描述隨機現象的一種概率分布.”──泊松泊松簡介泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的應用。他工作的特色是應用數學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數學上的發現。他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。泊松是19世紀概率統計領域里的卓越人物.他改進了概率論的運用方法，特別是用于統計方面的方法，建立了描述隨機現象的一種概率分布──泊松分布.他推廣了“大數定律”，并導出了在概率論與數理方程中有重要應用的泊松積分.他是從法庭審判問題出發研究概率論的，1837年出版了他的專著《關于刑事案件和民事案件審判概率的研究》.

泊松過程簡介泊松過程是一類較為簡單的時間連續狀態離散的隨機過程。泊松過程在物理學、地質學、生物學、醫學、天文學、服務系統和可靠性理論等領域都有廣泛的應用，是一類非常重要的隨機過稱。許多偶然的現象都可以用Poisson分布來描述。大量自然界的物理過程可以用Poisson過程來刻畫。它是隨機建模的重要基石，也是學習隨機過程理論的重要直觀背景。泊松過程簡介最著名的例子：蓋格計數器上的粒子流、二次大戰時倫敦空襲的彈著點、電話總機所接到的傳呼次數、交通流中的事故數、地震記錄、細胞中染色體的交換等。上述過程有如下兩個性質：一是在時間或空間上的均勻性二是未來的變化與過去的變化沒有關系3.1泊松過程的定義和例子[定義1]稱{N(t),t0}為計數過程，若N(t)表示到時間t

為止已發生的“事件A”的總數，且N(t)滿足下列條件：

(1)N(t)0，且N(0)=0;

(2)N(t)取非負整數值;

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)當s<t時，N(t)N(s)等于區間(s,t]中“事件A”發生的次數。泊松過程[定義2]稱計數過程{X(t),t0}為具有參數

的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨立增量過程;

(3)（平穩性）在任一長度為t的區間中，事件A發生的次數服從參數

>0的泊松分布，即對任意s,t0，有定義分析要判斷一個計數過程是泊松過程，必須證明它滿足條件(1)(2)(3)。條件(1)說明事件A的計數是從t=0時開始的。條件(2)通常可以從我們對過程的了解中去檢驗。條件(3)的檢驗是非常困難的。為此，我們給出了泊松過程的另一個定義。泊松過程的另一個定義[定義2]稱計數過程{X(t),t0}為具有參數

>0的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨立、平穩增量過程;

(3)X(t)滿足下列兩式：泊松過程的另一個定義注解：定義中的條件(3)說明在充分小的時間間隔內，最多有一個事件發生，而不能有兩個或兩個以上的事件同時發生。這種現象假設對許多物理現象教容易得到滿足。泊松過程的幾個例子考慮某一電話交換臺在某段時間接到的呼叫。令X(t)表示電話交換臺在[0,t]時間內收到的呼叫次數，則{X(t),t0}是一個泊松過程。泊松過程的幾個例子考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客。若記X(t)為時間[0,t]內到達售票窗口的旅客數，則{X(t),t0}是一個泊松過程。泊松過程的幾個例子考慮機器在(t,t+h]內發生故障這一事件。若機器發生故障，立即修理后繼續工作，則在(t,t+h]內機器發生故障而停止工作的事件數構成一個隨機點過程，它可以用泊松過程來描述。定理定理：Poisson過程兩個定義等價。證明略[見課本]。本節注解：泊松過程的樣本函數是一條階梯曲線。若用時刻ti表示第i個事件發生的時刻，那么在時刻ti階梯曲線上跳一個單位；而在任何一個有限區間在[0,t)內這種跳躍的次數是有限的。3.2泊松過程的基本性質泊松分布:(1)泊松過程的數字特征均值函數方差函數相關函數(1)泊松過程的數字特征協方差函數(2)時間間隔與等待時間設

{X(t),t0}是泊松過程，令X(t)表示t時刻事件A發生的次數，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A發生的時刻，或稱等待時間，或者到達時間Tn

——從第n-1次事件A發生到第n次事件A發生的時間間隔，或稱第n個時間間隔時間間隔TnTn的分布函數：[定理]設

{X(t),t0}是具有參數的泊松過程，{Tn,n1}是對應的時間間隔序列，則隨機變量Tn(n=1,2,…)是獨立同分布的均值為1/的指數分布。Tn的概率密度函數：Tn的數字特征：Tn的特征函數：時間間隔Tn證明：首先注意到事件{T1>t}發生當且僅當泊松過程在區間[0,t]內沒有事件發生，因而即所以T1服從均值為1/的指數分布。利用泊松過程的獨立、平穩增量性質，有時間間隔Tn故T2服從均值為1/的指數分布。時間間隔Tn所以對任一Tn（n1），其分布是均值為1/的指數分布。對于任意n1和t,s1,s2,…sn-1≥0,有等待時間（到達時間）Wn[定理]設

{X(t),t0}是具有參數的泊松過程，{Wn,n1}是對應的等待時間序列，則隨機變量Wn服從參數為n與的分布（又稱為愛爾蘭分布），其概率密度為等待時間（到達時間）Wn[證明]：第n個事件在時刻t或者之前發生當且僅當時間t已發生的事件數目至少是n，即對上式求導，得Wn的概率密度[例1]已知儀器在[0,t]內發生振動的次數X(t)是具有參數的泊松過程。若儀器振動k(k1)次就會出現故障，求儀器在時刻t0正常工作的概率。[解]故儀器在時刻t0正常工作的概率為:儀器發生第k振動的時刻Wk就是故障時刻T

，則T的概率分布為分布:(3)到達時間的條件分布假設在[0,t]內事件A已經發生一次，確定這一事件到達時間W1的分布分布函數：分布密度：——均勻分布到達時間的條件分布[定理]設

{X(t),t0}是泊松過程，已知在[0,t]內事件A發生n次，則這n次到達時間W1<W2<…<Wn與相應于n個[0,t]上均勻分布的獨立隨機變量的順序統計量有相同的分布，參數為n和s/t的二項分布[例2]

設在[0,t]內事件A已經發生n次，且0<s<t，對于0<k<n，求在[0,s]內事件A發生k次的概率。[例3]設在[0,t]內事件A已經發生n次，求第k次(k<n)事件A發生的時間Wk的條件概率密度函數。Beta分布[例4]

設{X1(t),t0}和{X2(t),t0}是兩個相互獨立的泊松過程，它們在單位時間內平均出現的事件數分別為1和2。記Wk(1)為過程X1(t)的第k次事件到達時間，W1(2)為過程X2(t)的第1次事件到達時間，求P{Wk(1)<W1(2)}，即第一個泊松過程的第k次事件發生早于第二個泊松過程的第1次事件發生

的概率。3.3非齊次泊松過程[引言]當Poisson過程的強度不再是常數，而與時間t有關時，Poisson過程就被推廣為非齊次泊松過程。一般來說，非齊次泊松過程不具有平穩獨立增量。在實際中，非齊次泊松過程應用非常廣泛。例如：(1)研究設備的故障率時，由于設備使用年限的變化，出故障的可能性會隨之變化;放射性物質的衰變速度，會隨各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產卵的平均數量隨年齡和季節而變化；非齊次泊松過程[定義]稱計數過程{X(t),t0}為具有跳躍強度函數

(t)的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨立增量過程;

(3)非齊次泊松過程的均值和方差函數為:非齊次泊松過程的分布[定理]設{X(t),t0}為具有均值函數

的非齊次泊松過程，則有或例6設{X(t),t0}是具有跳躍強度

的非齊次泊松過程。求E[X(t)]和D[X(t)]。[例7]

設某路公共汽車從早上5時到晚上9時有車發出。乘客流量如下：5時平均乘客為200人/時；5時至8時乘客線性增加，8時達到1400人/時；8時至18時保持平均到達率不變；18時至21時到達率線性下降，到21時為200人/時。假定乘客數在不相重疊的時間間隔內是相互獨立的。求12時至14時有2000人來站乘車的概率，并求出這兩小時內乘客人數的數學期望。3.4復合泊松過程[定義]設{N(t),t0}是強度為的泊松過程，{Yk

,k=1,2,…}是一列獨立同分布隨機變量，且與{N(t),t0}獨立，令

則稱{X(t),t0}為復合泊松過程。3.4復合泊松過程[注解]（1）復合泊松過程不一定是計數過程，但當Yi=C,i=1,2,…C為常數時，可化為泊松過程。（2）泊松過程、非齊次泊松過程、復合泊松過程的關系。泊松過程非齊次泊松過程復合泊松過程復合泊松過程的例子（1）

超市營業額問題復合泊松過程的例子(1)設N(t)是時間段(0,t]內來到的顧客人數。{N(t),t≥0}是泊松過程。若Yk是第k個顧客在商店所花的錢數。則{Yk,k=1,2,…}是獨立同分布隨機變量序列，且與{N(t),t≥0}獨立。記X(t)為該商店(0,t]時間內的營業額，則是一個復合隨機過程。復合泊松過程的例子(2)保險索賠問題復合泊松過程的例子(2)保險公司接到的索賠次數服從一個泊松過程{N(t),t≥0}，每次要求賠付的金額Yi都是相互獨立，且有共同分布

。每次的索賠額與它發生的時刻無關，則(0,t]時間內保險公司需要賠付的總金額{X(t)}就是