山西省忻州市深溝聯校2023年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義域是一切實數的函數，其圖象是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數都成立，則稱是一個“—半隨函數”.有下列關于“—半隨函數”的結論：①是常數函數中唯一一個“—半隨函數”；②“—半隨函數”至少有一個零點；③是一個“—半隨函數”；其中正確結論的個數是（

）A．1個

B．2個

C．3個

D．0個參考答案：A2.若函數f（x）=的定義域為實數集R，則實數a的取值范圍為（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]參考答案：D【考點】函數的定義域及其求法．【分析】根據函數的定義域為R，將條件轉化為x2+ax+1≥0恒成立，利用判別式之間的關系即可得到結論．【解答】解：函數f（x）=的定義域為實數集R，則x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即實數a的取值范圍是[﹣2，2]，故選：D．3.“”是“”的

（

）

A．充分必要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B4.不等式<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－1,1)參考答案：A∵<1，∴－1<0，即<0，該不等式可化為(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.5.設函數，其中表示不超過的最大整數，如，，.若直線與函數的圖象恰有三個不同的交點，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：如圖，作出函數的圖象和直線，直線過定點，由題意，解得．故選D．考點：函數與方程．【名師點睛】本題考查函數與方程思想，考查方程解的個數問題，解決這類問題大多數是把它轉化為函數圖象交點個數問題，利用數形結合思想求解，本題中，作出函數與直線，特別是直線過定點，由此易知它們要有三個交點，直線的位置變化規律，易得出結論．6.如圖，在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中點，則AC與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】異面直線及其所成的角．【分析】取AB中點O，以O為原點，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AC與BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中點O，連結OD，∵在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O為原點，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，設DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中點，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），設AC與BE所成角為θ，則cosθ===．∴AC與BE所成角的余弦值為．故選：B．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．7.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列結論成立的是()A．N?M

B．M∪N＝MC．M∩N＝N

D．M∩N＝{2}參考答案：D8.若在的展開式中含有常數項，則正整數取得最小值時常數項為A.

B.

C.

D.參考答案：C9.函數f（x）=4lnx﹣x2的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數的圖象．【專題】函數的性質及應用．【分析】先求導，從而可求得函數f（x）=4lnx﹣x2的單調區間與極值，問題即可解決．【解答】解：∵f（x）=4lnx﹣x2，其定義域為（0，+∞）∴f′（x）=﹣2x=由f′（x）＞0得，0＜x＜；f′（x）＜0得，x＞；∴f（x）=4lnx﹣x2，在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減；∴x=時，f（x）取到極大值．又f（）=2（ln2﹣1）＜0，∴函數f（x）=4lnx﹣x2的圖象在x軸下方，可排除A，C，D．故選：B．【點評】本題考查函數的圖象，是以考查函數的圖象為載體考查導數及其應用，注重考查學生分析轉化解決問題的能力，屬于基礎題．10.老師給出問題：“設函數f（x）的定義域是（0，1），且滿足：①對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②對于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．請同學們對函數f（x）進行研究”．經觀察，同學們提出以下幾個猜想：甲同學說：f（x）在上遞減，在上遞增；乙同學說：f（x）在上遞增，在上遞減；丙同學說：f（x）的圖象關于直線x=對稱；丁同學說：f（x）肯定是常函數．你認為他們的猜想中正確的猜想個數有(

)A．3個 B．2個 C．1個 D．0個參考答案：C【考點】抽象函數及其應用．【專題】函數思想；函數的性質及應用．【分析】利用賦值法，結合基本不等式的性質進行判斷即可．【解答】解：令x1=1﹣x2，則不等式≤2等價為+≤2，由①知對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；則+≥2=2，故+=2當且僅當==1即f（x2）=f（1﹣x2）時成立．此時函數f（x）關于x=對稱，故丙猜想正確．其他不一定正確，故選：C．【點評】本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法結合基本不等式的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某學生要從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這六門學科中選三門參加等級考，要求是物理、化學、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數是

參考答案：1812.若的展開式中含有常數項，則n的最小值等于．參考答案：5【考點】二項式系數的性質．【專題】計算題．【分析】二項式項的公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，對其進行整理，令x的指數為0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由題意的展開式的項為Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令=0，得n=，當r=4時，n取到最小值5故答案為：5．【點評】本題考查二項式的性質，解題的關鍵是熟練掌握二項式的項，且能根據指數的形式及題設中有常數的條件轉化成指數為0，得到n的表達式，推測出它的值．13.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，則（?UA）∩B=．參考答案：{1，3，7}【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】直接利用補集和交集的運算進行求解即可得到答案【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，又B={1，3，5，7}，∴（?UA）∩B={1，3，5，7}．故答案為：{1，3，7}14.如圖，在邊長為（為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.參考答案：15.函數f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

參考答案：【解析】由.答案：16.（幾何證明選做題）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=，BE=1，BF=2，若CE與圓相切，則線段CE的長為

。參考答案：略17.設的內角所對的邊為；則下列命題正確的是

①若；則

②若；則

③若；則

④若；則

⑤若；則參考答案：①②③①

②

③當時，與矛盾

④取滿足得：

⑤取滿足得：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖直三棱柱的側棱長為，，且，點分別是棱上的動點，且．(1)求證：無論在何處，總有；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，異面直線與所成角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）∵BB′C′C是正方形，∴B′C⊥BC′。又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C。∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′，又∵C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E。（Ⅱ）設三棱錐B′—EBF的體積為。當時取等號。故當即點E，F分別是棱AB，BC上的中點時，體積最大，則|cos∠A′FE|為所求；。略19.已知兩定點F1（﹣2，0），F2（2，0），曲線C上的動點M滿足|MF1|+|MF2|=8，直線MF2與曲線C的另一個交點為P．（Ⅰ）求曲線C的標準方程；（Ⅱ）設點N（﹣4，0），若=3：2，求直線MN的方程．參考答案：見解析【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）由題意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，所以曲線C是以F1，F2為焦點，長軸長為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；（Ⅱ）設M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0，由此利用韋達定理、橢圓性質，結合已知條件能fiybm直線MN的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣2，0），F2（2，0），∴|F1F2|=4，∵|MF1|+|MF2|=8＞4，∴曲線C是以F1，F2為焦點，長軸長為8的橢圓．曲線C的方程為+=1．（Ⅱ）由題意知直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．設M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0．解得y=0或y=．依題意，xM=yM﹣4=．因為S△MNF2：S△PNF2=3：2，所以=，則=．于是，所以，因為點P在橢圓上，所以3（）2+4（）=48．整理得48k4+8k2﹣21=0，解得或k2=﹣（舍去），從而k=．（）所以直線MN的方程為y=（x+4）．20.設二次函數滿足條件：①；②函數的圖像與直線相切．（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由①可知，二次函數圖像對稱軸方程是，；又因為函數的圖像與直線相切，所以方程組有且只有一解，即方程有兩個相等的實根，所以，函數的解析式是．（Ⅱ），等價于，即不等式在時恒成立，…………6分問題等價于一次函數在時恒成立，即解得：或，故所求實數的取值范圍是略21.已知是奇函數.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若關于的方程有實解,求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由得：…………2分為奇函數，經驗證可知：時，是奇函數，為所求…………5分（Ⅱ）…………8分法一：由得：

當且僅當時，所以的取值范圍是…………12分法二：原方程即設，則原方程有實解，等價于方程有正實解…………6分令則或或

…………10分或或所以的取值范圍是…………12分22.如圖，某生態園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．（1）若圍墻AP、AQ總長度為200米，如何可使得三角形地塊APQ面積最大？（2）已知竹籬笆長為50米，AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高2米，造價均為每平方米100元，若AP≥AQ，求圍墻總造價的取值范圍．參考答案：【考點】HU：解三角形的實際應用．【分析】（1）設AP=x米，則AQ=200﹣x，△APQ的面積S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得結論；（2）圍墻總造價y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出結論．【解答】解：（1）設AP=x（米），則AQ=200﹣x，所以三角形地塊AP