山西省忻州市原平立達中學2021年高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.

（

）

A．

B．

C．

D． 參考答案：C略2.若且，則的終邊在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：C3.已知平面向量，，且，則的值是（

）A．1

B．2

C.3

D．4參考答案：B因為平面向量滿足，且，則有，故選B.

4.已知數列滿足，則=（

）

A、

B、0

C、

D、參考答案：A略5.7在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．直角三角形

B．等腰直角三角形C．等邊三角形

D．等腰三角形

參考答案：D略6.設m是直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，則參考答案：B在中，，則與相交或平行，故錯誤；在中，，則由面面垂直的判定定理得，故正確；在中，，則與相交，平行或，故錯誤；在中，，則或，故錯誤，故選B.

7.已知向量=（3，2），=（x，4）且∥，則x的值是(

)A．﹣6B．6C．D．﹣參考答案：B考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．專題：計算題．分析：由向量平行的條件可得2x﹣3×4=0，解之即可．解答： 解：因為=（3，2），=（x，4）且∥，所以2x﹣3×4=0，解之可得x=6故選B點評：本題考查平面向量共線的坐標表示，屬基礎題．8.（5分）f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，則a的取值范圍是（） A． （1，3） B． （0，2） C． （﹣∞，0）∪（2，+∞） D． （﹣∞，1）∪（3，+∞）參考答案：D考點： 二次函數的性質．專題： 函數的性質及應用；不等式的解法及應用．分析： 結合已知中f（x）=，可將不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化為a2﹣4a＞﹣3，解得a的取值范圍．解答： 解：∵f（x）=，∴f（3）=17，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，則f（a2﹣4a）＞﹣13…①，當x≥0時，f（x）=x2+2x+2為增函數，此時f（x）≥2恒成立，當x＜0時，f（x）=﹣x2+2x+2為增函數，令﹣x2+2x+2=﹣13，解得x=﹣3，或x=5（舍去），由①得：a2﹣4a＞﹣3，即a2﹣4a+3＞0，解得：a∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），故選：D點評： 本題考查的知識點是分段函數，二次函數的圖象和性質，解不等式，其中將不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化為a2﹣4a＞﹣3，是解答的關鍵．9.當點P在圓上變動時，它與定點Q(3,0)相連，線段PQ的中點M的軌跡方程是A. B.C. D.參考答案：B【分析】設，，利用中點坐標公式可以求出，代入圓方程中，可以求出中點M的軌跡方程.【詳解】設，，因為M是線段PQ中點，所以有，點P在圓上，所以有，故本題選B.【點睛】本題考查了求線段中點的軌跡方程，考查了中點坐標公式、代入思想.10.滿足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0<x<6}的集合M的個數為(

)

A、2

B、4

C、6

D、8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.8251與6105的最大公約數是

。

參考答案：37略12.設是等差數列的前n項和，已知，則

。參考答案：49

略13.設定義在R上的函數，若關于的方程恰有3個不同的實數解，則_____________.參考答案：200略14.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東30°的方向，兩船相距a海里，乙船正在向東勻速行駛，經計算得知當甲船以北偏東75°方向前進，可追上乙船，則甲船速度是乙船速度的________倍.參考答案：【分析】先設出追上時，乙船走了海里，甲船走了海里，由正弦定理解三角形即可求出結果.【詳解】設追上時，乙船走了海里，甲船走了海里，根據正弦定理，，解得，故甲船速度是乙船速度的倍.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，在解三角形中，正余弦定理是最常用到的知識，屬于基礎題型.15.等腰的頂角，，以為圓心，1為半徑作圓，為該圓的一條直徑，則的最大值為

．參考答案：16.已知角為鈍角,若角的終邊與角的終邊重合,則角=

.參考答案：17.函數f（x）=log2（1﹣x）的定義域為．參考答案：{x|x＜1}【考點】對數函數的定義域．【專題】計算題．【分析】要使函數f（x）=log2（1﹣x）有意義，只需對數的真數大于0，建立不等式解之即可，注意定義域的表示形式．【解答】解：要使函數f（x）=log2（1﹣x）有意義則1﹣x＞0即x＜1∴函數f（x）=log2（1﹣x）的定義域為{x|x＜1}故答案為：{x|x＜1}【點評】本題主要考查了對數函數的定義域，以及一元一次不等式的解法，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將y=f（x）的圖象向右平移個單位，所得函數g（x）為奇函數．（1）求函數f（x）的解析式及單調增區間；（2）設函數，求函數y的最小值φ（m）．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】分類討論；換元法；轉化法；函數的性質及應用；三角函數的圖像與性質．【分析】（1）先求出ω=2，由所得函數g（x）為奇函數，可求得φ的值，從而確定f（x）的解析式；從而求得f（x）的單調增區間．（2）利用換元法，將函數最化為一元二次函數，利用一元二次函數的性質進行討論即可．【解答】解：（1）由題意函數f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，可得函數的周期為π，即=π，ω=2，故函數為f（x）=sin（2x+φ）．將函數f（x）圖象向右平移個單位，得到函數g（x）的解析式為g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），∵函數g（x）為奇函數．∴﹣+φ=kπ，φ=kπ+，k∈Z．不妨令k=0，則φ取值為．故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+）．∵函數y=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ

k∈Z，即kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），即函數的單調增區間為：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g（x）=sin2x，且，設t=g（x），則0≤t≤1，則函數等價為y=3t2+mt+2，0≤t≤1，對稱軸為t=﹣，若0＜﹣＜1，得﹣6＜m＜0，則當t=﹣時，y取最小值φ（m）=2﹣，若﹣≤0，得m≥0，則當t=0時，y取最小值φ（m）=2，若﹣≥1，得m≤﹣6，則當t=1時，y取最小值φ（m）=5+m，即φ（m）=．【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質以及一元二次函數的最值問題，利用換元法轉化為一元二次函數是解決本題的關鍵．19.已知函數.（1）若，求的單調區間；（2）若在區間[2,4]上是增函數，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）當時，，要使函數有意義需：，即，解得：或，所以函數定義域為或，設函數，函數開口向上，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為為單調遞減函數，所以函數的單調遞增區間為，函數的單調遞減區間為.綜上所述，結論是：函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為。（2）由題意可知：且，設，函數對稱軸為：，函數開口向上，當時，因為為關于變量的遞增函數，所以要使函數在上是增函數，需要：且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：，即時在上恒成立，即，當時，因為為關于變量的遞減函數，所以要使函數在上單調遞增，需要且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：即時在上恒成立，不存在綜上所述，結論是：20.某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為：=12，所以這時租出了88輛車（2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當每輛車月租金定為4050元時，租賃公司月收益最大，最大收益為307050元.……12分略21.設a為正實數，記函數f（x）=a﹣﹣的最大值為g（a）． （1）設t=+，試把f（x）表示為t的函數m（t）； （2）求g（a）； （3）問是否存在大于的正實數a滿足g（a）=g（）？若存在，求出所有滿足條件的a值；若不存在，說明理由． 參考答案：【考點】函數與方程的綜合運用；函數最值的應用． 【專題】綜合題；函數的性質及應用． 【分析】（1）由t=+平方得=t2﹣1，從而將函數f（x）換元為m（t），而m（t）的定義域即t=+的值域，平方后求其值域即可； （2）由（1）知，通過討論對稱軸的位置可得最大值關于a的函數g（a）； （3）假設存在大于的正實數a滿足g（a）=g（），分類討論，即可得出結論． 【解答】解：（1）由題意得，∴﹣1≤x≤1，∴函數f（x）的定義域為[﹣1，1]． t=+，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范圍是[，2]． 又=t2﹣1，∴m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]； （2）由題意知g（a）即為函數m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]的最大值． 注意到直線t=是拋物線m（t）=at2﹣t﹣a的對稱軸，分以下幾種情況討論： ①≤，即a≥知m（t）=at2﹣t﹣a在[，2]上單調遞增，∴g（a）=m（2）=a﹣2． ②當＜＜2時，＜a＜，g（a）=m（）=﹣﹣a． ③當≥2，即0＜a≤時，g（a）=m（）=﹣ ∴g（a）=； （3）由（2）可得g（）=． 假設存在大于的正實數a滿足g（a）=g（），則 ＜a＜2時，a﹣2=﹣﹣，方程無解； a≥2時，a﹣2=﹣，a=2﹣＜2，不