山西省忻州市原平知源高級中學2021年高三數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某小區住戶共200戶，為調查小區居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查，得到本月的用水量（單位：m3）的頻率分布直方圖如圖所示，則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為（）A．10B．50C．60D．140參考答案：C考點：莖葉圖．專題：計算題．分析：由題意及所給樣本的頻率分布直方圖，可知：用水量在[15，20）的頻率，用水量在[20，25）的頻率，再利用分層抽樣的定義即可求解．解答：解：由圖可知，用水量在[15，20）的頻率是0.05×5=0.25，故應在用水量在[15，20）中抽取200×0.25=50人；用水量在[20，25）的頻率是0.01×5=0.05，故應在用水量在[20，25）中抽取200×0.05=10人；則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為60．故選C；點評：此題考查了學生識圖及計算能力，還考查了分層抽樣及頻率分布直方圖，是一道基礎題；2.已知函數若關于的方程有且只有兩個不同的實根，則實數的取值范圍為 （A） （B）（C） （D）參考答案：A略3.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的函數為（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.已知函數的定義域為,則函數的定義域為(

)A

B

C

D參考答案：D5.已知向量，其中，且，則向量與的夾角是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：【知識點】向量的定義F1B，，即，，，所以，故選B.【思路點撥】，，即，即可求.6.已知△中，以為直徑的圓交于，則的長為（）A．B．C．D．

參考答案：D略7.函數，當時，恒成立，則實數的取值范圍是（

）A

B

C

D參考答案：D略8.若直角坐標平面內A、B兩點滿足條件：①點A、B都在f(x)的圖象上；②點A、B關于原點對稱，則對稱點對(A，B)是函數的一個“姊妹點對”(點對(A，B)與（B，A）可看作一個“姊妹點對”).已知函數f(x)=，則f(x)的“姊妹點對”有（

）個A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B9.已知偶函數在區間上遞增，則滿足的取值范圍是()

參考答案：A略10.已知橢圓，點A，B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P，使得，則該橢圓的離心率的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個投擲過程中擲出反面的次數總是小于正面次數的概率是

．參考答案：略12.參考答案：1或略13.甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有種．參考答案：60【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】間接法：①先求所有兩人各選修2門的種數，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數，作差可得答案．【解答】解：根據題意，采用間接法：①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數C52C52=100，②兩人所選兩門都相同的有為C52=10種，都不同的種數為C52C32=30，故只恰好有1門相同的選法有100﹣10﹣30=60種．故答案為60．14.已知向量且

則的最小值為

參考答案：6;15.若正三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖所示（單位cm），則它的側視圖的面積為

;參考答案：略16.已知，，則_____________.參考答案：略17.已知定義域為R的函數滿足，且，

則=

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點到直線l1：3x+4y=0的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l2：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，且線段AB中點恰好在直線l1上，求△OAB的面積S的最大值．（其中O為坐標原點）．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由點到直線的距離公式可得，得c值，由離心率可得a值，再由b2=a2﹣c2可得b值；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），把直線l2：y=kx+m代入橢圓方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用韋達定理及中點坐標公式可得AB中點橫坐標，代入l2得縱坐標，由中點在直線l1上可求得k值，用點到直線的距離公式求得原點O到AB的距離為d，弦長公式求得|AB|，由三角形面積公式可表示出S△OAB，變形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦點到直線l1：3x+4y=0的距離為，得，解得c=1，又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3，所以橢圓C的方程為；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），把直線l2：y=kx+m代入橢圓方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，因此，，所以AB中點M（，），又M在直線l1上，得3×+=0，因為m≠0，所以k=1，故，，所以|AB|==?=，原點O到AB的距離為d=，得到S=≤，當且僅當m2=取到等號，檢驗△＞0成立．所以△OAB的面積S的最大值為．19.已知函數，數列滿足

（I）求證：數列是等差數列；

（II）令，若對一切成立，求最小正整數.

參考答案：（1）證明：由題意可得

又數列是以為首項，以為公差的等差數列.（2）由（1）可得

當時，

當時，上式同樣成立。

即對一切成立，

又隨遞增，且

20.在△ABC中，，，△ABC的面積等于，且．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．參考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【分析】（I）利用三角形的面積公式和余弦定理列方程組，解方程組求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【詳解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因為，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【點睛】本小題主要考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，屬于中檔題.21.選修4—4：坐標系與參數方程已知直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸正方向建立直角坐標系.在直角坐標系下，曲線的參數方程為（為參數），把曲線上所有點的橫坐標壓縮到原來的（縱坐標不變）得到曲線．(1)寫出直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；(2)若點是 曲線上任意一點，求點到直線的最大值．參考答案：.解（1）將直線的極坐標方程為化為直角坐標方程為；將曲線的參數方程為（為參數）化為普通方程為，把曲線上所有點的橫坐標壓縮到原來的（縱坐標不變）得到曲線：（2）將：參數方程為（為參數）因為點是曲線上任意一點，故設所以到直線的距離（其中）故當=1時，取得最大值，最大值為

略22.(本小題