山西省太原市第三十八中學高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為（

）參考答案：D略2.設等差數列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n=(

)A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A3.若關于的不等式內有解，則實數的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，則a的值為（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．參考答案：C【考點】一元二次不等式的解法．【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應用．【分析】根據一元二次不等式與一元二次方程之間的關系可得，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根然后根據韋達定理求出a的值．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集為{x|＜x＜2}，∴，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根，∴根據韋達定理可得∴×2=﹣∴a=﹣2故選：C．【點評】本題主要考察一元二次不等式與一元二次方程之間的關系．解題的關鍵是一元二次不等式與一元二次方程之間的關系的轉化與應用．5.如果函數y=(a2-4)x在定義域內是減函數,則a的取值范圍是()a.|a|＞2

b.|a|＞c.|a|＜

d.2＜|a|＜參考答案：D∵0＜a2-4＜1,∴4＜a2＜.∴2＜|a|＜.6.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=λ?+μ?，則用n、m、k表示μ=（）A．B． C．D．參考答案：C【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】首先判斷出點P1，P，P2共線，根據向量共線定理，設則===，所以μ=t，轉化為求t．【解答】解：設等差數列{an}的首項a1，公差為d，則=a1+d=+（a1﹣），數列{}是等差數列，所以點P1，P，P2共線，設則===，所以μ=t又=（n﹣m，（n﹣m）），=（k﹣m，（k﹣m）），所以t=，即μ=故選C．【點評】本題考查平面向量的運算，向量共線的判定和性質．7.過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則△OAB的外接圓方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A由題意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四邊形AOBP有一組對角都等于90°，∴四邊形AOBP的四個頂點在同一個圓上，此圓的直徑是OP，OP的中點為（2，1），OP="2"5，∴四邊形AOBP的外接圓的方程為，∴△AOB外接圓的方程為.

8.設M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），則有（）A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N參考答案：A略9.甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學．若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A．150種 B．180種 C．300種 D．345種參考答案：D【考點】D1：分類加法計數原理；D2：分步乘法計數原理．【分析】選出的4人中恰有1名女同學的不同選法，1名女同學來自甲組和乙組兩類型．【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51?C31?C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52?C61?C21=120種選法．故共有345種選法．故選D10.設x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，則a=（）A．2n B．2n C．n2 D．nn參考答案：D【考點】F1：歸納推理．【分析】結合已知的三個不等式發現第二個加數的分子是分母x的指數的指數次方，由此得到一般規律．【解答】解：設x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，所以a=nn；故選D．【點評】本題考查了合情推理的歸納推理；關鍵是發現已知幾個不等式中第二個加數的分子與分母中x的指數的變化規律，找出共同規律．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程在上有解，則實數的取值范圍是

.參考答案：12.參考答案：7略13.函數f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4)上為減函數，則a的取值范圍為

參考答案：

14.甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙相鄰的概率是_________.參考答案：試題分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有種排法，其中甲、乙相鄰共有種排法，因此所求概率為考點：古典概型概率【方法點睛】古典概型中基本事件數的計算方法(1)列舉法：此法適合于較簡單的試驗．(2)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合較復雜問題中基本事件數的探求．(3)列表法：對于表達形式有明顯二維特征的事件采用此法較為方便．(4)排列、組合數公式法．15.

數列{an}為等比數列,且滿足a2007+a2010+a2016=2,a2010+a2013+a2019=6,則a2007+a2010+a2013+a2016+a2019等于（

）A.

B.C.

D.參考答案：C易得a2007(1+q3+q9)=2,a2010(1+q3+q9)=6,兩式相除,得到==,得q3=3,將其代入a2010(1+q3+q9)=6,得a2010=,故所求為(a2007+a2010+a2016)+(a2010+a2013+a2019)-a2010=2+6-a2010=.16..如圖，ABC是圓的內接三角形，PA切圓于點A，PB交圓于點D．若ABC=60°，PD=1，BD=8，則PAC=______，PA=_________參考答案：略17.設p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是．參考答案：【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解絕對值不等式|4x﹣3|≤1，我們可以求出滿足命題p的x的取值范圍，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我們可求出滿足命題q的x的取值范圍，根據p是q的充分不必要條件，結合充要條件的定義，我們可以構造關于a的不等式組，解不等式組即可得到實數a的取值范圍．【解答】解：命題p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1命題q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1∵p是q的充分不必要條件，∴解得0≤a≤故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t（1）若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a與t關系；（2）在（1）的條件下求a的取值范圍；（3）（理科做，文科不做）當邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法．【專題】空間角．【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的關系；（2）利用（1）的結論結合基本不等式求a的范圍；（3）由（Ⅰ）知，當t=2，a=4時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角，結合直角三角形的余弦求之．【解答】解：（1）如圖，連接AQ，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．設，則CQ=a﹣t，在直角三角形MBQ中中，有AQ=．在Rt△CDQ中，有DQ=．

…（4分）在Rt△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a﹣t）2+4=a2，即t2﹣at+4=0．（2）由（1）得a=t+≥4．故a的取值范圍為[4，+∞）．（3）由（Ⅰ）知，當t=2，a=4時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角．在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，進而NQ=．∴cos∠MNQ=．故二面角A﹣PD﹣Q的余弦值為．【點評】本題考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，關鍵在正確找出平面角，屬于中檔題．19.已知數列，設，數列。（Ⅰ）求證：是等差數列；（Ⅱ）求數列的前n項和Sn；（Ⅲ）若一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍。參考答案：證明：（1）由題意知，……1分……………2分……………3分∴數列的等差數列……4分（2）解：由（1）知，…………5分…6分……………7分兩式相減得………8分……9分（3）…………10分∴當n=1時，…11分∴當n=1時，取最大值是………………12分又……13分即……14分

略20.已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E．求證：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．參考答案：證明：(1)∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC。。。。。。。。。。。。。8分∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB∴△ADE∽△CBD

∴DE:BD＝AE:CD，

∴DE·DC＝AE·BD.。。。。。。。10分21.（本小題滿分16分）某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據要求,至少長米，C為的中點，到的距離比的長小米，.（1）若將支架的總長度表示為的函數，并寫出函數的定義域.（注：支架的總長度為圖中線段和長度之和）（2）如何設計的長，可使支架總長度最短．參考答案：（1）由則，且，則支架的總長度為，在中，由余弦定理,

化簡得

即

①

………4分記

,由，則.故架的總長度表示為的函數為定義域為………………8分（2）由題中條件得，即,

設

則原式=

………………12分由基本不等式,有且僅當，即時“=”成立，又由滿足.

，.當時，金屬支架總長