山西省大同市白洞礦中學2021-2022學年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的各個面中是直角三角形的個數為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】畫出幾何體的直觀圖，判斷出各面的形狀，可得答案．【詳解】三視圖還原為如圖所示三棱錐A-BCD：由正方體的性質得為直角三角形，為正三角形故選：C【點睛】本題考查的知識點是簡單幾何體的直觀圖，數形結合思想，難度中檔．2.實數x，y滿足如果目標函數z=x—y的最小值為-2，則實數m的值為 A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：D略3.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（）． ． ． ．參考答案：D因為圓的標準方程為，圓心為,因為點弦的中點，所以,AP的斜率為，所以直線的斜率為2，所以弦所在直線方程為，即，選D.4.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（） A．[﹣1，2] B． [﹣2，﹣1] C． [﹣1，1] D． [1，2]參考答案：分析： 求出A中不等式的解集確定出A，再由B，求出A與B的交集即可．解答： 解：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故選：B．點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．5.已知函數[-1，0]上有解的概率為

A．

B．

C．

D．0參考答案：A6.滿足條件的所有集合的個數是A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D7.已知向量a、b，其中a=（-2，-6），b=

，a?b=-10，則a與b的夾角為A.1500

B.-300

C.-600

D.1200參考答案：D，所以向量與的夾角為．8.已知是虛數單位，若復數是純虛數，則實數等于

A．

B．

C．

D．

參考答案：A，要使復數為純虛數，所以有，解得，選A.9.對于任意,函數表示中的較大者，則的最小值是（

）A2

B3

C8

D參考答案：A略10.設，則滿足的最小正整數是

A、7

B、8

C、9

D、10參考答案：C要使

成立，只要比較函數上的整點與原點連線的斜率即可，函數上的橫坐標為正數的整點分別為可得，所以最小正整數二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復數z滿足，其中i是虛數單位，則z的實部為

▲

．參考答案：2分析：先根據復數的除法運算進行化簡，再根據復數實部概念求結果.詳解：因為，則，則z的實部為2.

12.若表示圓，則的取值范圍是

參考答案：或13.給出下列個命題：①若函數R）為偶函數，則；②已知,函數在上單調遞減，則的取值范圍是；③函數（其中）的圖象如圖所示，則的解析式為；④設的內角所對的邊為若，則；⑤設，函數的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則的最小值是.其中正確的命題為____________.參考答案：略14.設變量x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：略15.已知f(x)定義域為(a，b)，如果都有,則稱f(x)為“周函數”。下列函數中，“周函數”有

（填序號）①，

②，③，④參考答案：

②③16.已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是．參考答案：2【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±，再由題意設出A，B，C，D的坐標，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，運用離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b=±，由題意可設A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2?=3?2c，即為2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（負的舍去）．故答案為：2．17.設集合A=，B=，則實數的值為______.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數滿足如下條件：當時，，且對任意，都有．（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求當，時，函數的解析式；（3）是否存在，，使得等式成立？若存在就求出（），若不存在，說明理由．參考答案：（1）時，，，

…………2分所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即．…3分（2）因為，所以，當，時，，

…………4分…6分（3）考慮函數，，，則，當時，，單調遞減；當時，；當時，，單調遞增；所以，當，時，，當且僅當時，．

……………10分所以，而，令，則，兩式相減得，．所以，，故．

……………12分所以，．當且僅當時，．所以，存在唯一一組實數，，使得等式成立．

………………14分

略19.（12分）設函數f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)當m=e(e為自然對數的底數)時,求f(x)的極小值;(Ⅱ)討論函數g(x)=f'(x)-零點的個數;(Ⅲ)若對任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范圍.參考答案：【知識點】利用導數研究函數的極值；函數恒成立問題；函數的零點．B12

【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）當m>時,函數g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數g(x)有兩個零點.(Ⅲ)[，+∞）解析：(Ⅰ)由題設,當m=e時,f(x)=lnx+,則f'(x)=,∴當x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上單調遞減,當x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上單調遞增,∴x=e時,f(x)取得極小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的極小值為2.(Ⅱ)由題設g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).設φ(x)=-x3+x(x≥0),則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),當x∈(0,1)時,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上單調遞增;當x∈(1,+∞)時,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上單調遞減.∴x=1是φ(x)的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1也是φ(x)的最大值點,∴φ(x)的最大值為φ(1)=.又φ(0)=0,結合y=φ(x)的圖象(如圖),可知①當m>時,函數g(x)無零點;②當m=時,函數g(x)有且只有一個零點;③當0<m<時,函數g(x)有兩個零點;④當m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點.綜上所述,當m>時,函數g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數g(x)有兩個零點.(Ⅲ)對任意b＞a＞0，＜1恒成立，等價于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；設h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；對于m=，h′（x）=0僅在x=時成立；∴m的取值范圍是[，+∞）．【思路點撥】（Ⅰ）m=e時，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增減性并求出f（x）的極小值；（Ⅱ）由函數g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；設φ（x）=m，求出φ（x）的值域，討論m的取值，對應g（x）的零點情況；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等價于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上單調遞減；h′（x）≤0，求出m的取值范圍．請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一部分，做答時請寫清題號。20.（本小題滿分13分）已知函數，其中，的最小正周期為.（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；（Ⅱ）在中，角的對邊分別是、、，且滿足，求函數的取值范圍.參考答案：

………………3分（Ⅰ），

.由

得：.的單調遞增區間是

……………7分（Ⅱ）由正弦定理：

，，

……………11分，

，.

……………13分21.在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ＝4sinθ，(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點．已知直線PQ的參數方程為(t∈R為參數)，求a，b的值．參考答案：略22.如圖，五面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，AB=6，AD=4．頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，EF=2，二面角F﹣BC﹣A的余弦值為，（1）在線段BC上是否存在一點N，使BC⊥平面EFN；（2）求平面EFB和平面CFB所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（1）存在，點N為線段BC的中點，使BC⊥平面EFN．由已知得EF∥AB，MN∥AB，從而EF∥MN，E，F，M，N四點共面，由此能證明BC⊥平面EFNM．（2）在平面EFNM內，過點F作MN的垂線，垂足為H，則二面角F﹣BC﹣A的平面角為∠FNH，過H作邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接FN，FS，FQ，以H為坐標原點，以HS，HN，HF方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，由此能求出二面角B﹣EF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）存在，點N為線段BC的中點，使BC⊥平面EFN．證明如下：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB（線面平行的性質定理）．又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四點共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∴BC⊥MN，且，∴BC⊥平面EFNM．…（6分）（2）在平面EFNM內，過點F作MN的垂線，垂足為H，則由（1）知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD，又因為FN⊥BC，HN⊥BC，則二面角F﹣BC﹣A的平面角為∠FNH，在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN==，HN=FN?cos∠FNH==2．FH=8，過H作邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接FN，FS，FQ，以H為坐標原點，以HS，HN，HF方向為x