第二章流體靜力學

靜力學研究平衡流體的力學規律及其應用。

一種是流體相對地球靜止，為重力

平衡場中的絕對平衡；

一種是流體相對運動容器靜止，為

相對平衡。

由于平衡狀態下流體不表示粘性，故靜力學原理適用于理想和實際流體。

§2-1平衡流體上作用力分析從平衡流體中取任意微團作為分離體，其所受作用力分為：一、質量力與微團質量大小有關且集中作用在微團質心上的力。主要有重力、直線運動慣性力、離心慣性力等。設質量力的矢量和用表示，則等于單位質量的質量力；為單位質量力在x、y、z軸上的投影，即單位質量分力。

二、表面力流體微團不是孤立的，它與相鄰微團在接觸面上還有與表面面積有關且分布在流體表面上的表面力。按作用方向分解為沿表面內法線方向的壓力（無拉力）和沿表面切向的摩擦力。

對于平衡流體，無切向摩擦力，只有沿表面內法線方向的靜壓力。靜壓強靜壓力是矢量

說明靜壓力方向沿內法線方向。0dFnZYXdAbaAcBPn

平衡流體中靜壓強性質：1.靜壓強指向作用面內法線方向證明：平衡流體，無切向摩擦力，只有沿表面內法線方向的靜壓力，產生該方向的壓強。

0dFnZYXdAYXCZPzPxPyPnBAo在X方向上質量力表面力流體平衡，則質量力為三階小量可忽略，故在x方向上。2.靜壓強是位置的函數，與作用方向無關，各向同性，標量。證明：

同理可證y、z方向：。說明一點周圍任意方向上的流體靜壓強都相等，即靜壓強各向同性，與方向無關，是標量。一、歐拉平衡方程設微元中心點處的流體靜壓強為，則X方向上表面力為質量力為由平衡故

(a)§2-2流體平衡微分方程YZXOPbPabdydzdxpa同理(b)(c)即為流體平衡微分方程，又稱歐拉平衡方程，對平衡流體普遍適用。方程物理意義：在平衡流體中，單位質量流體所受的表面力與質量力相平衡。

二、質量力的勢函數

將歐拉平衡方程分別乘以后相加，得到全微分式又稱壓強微分方程。

設能找到函數，滿足稱為質量力的勢函數，符合上式的質量力為有勢的質量力。結論：只有在有勢的質量力作用下，流體才能平衡。常見的重力、慣性力等均為有勢的質量力。三、等壓面等壓面是指流體中壓強相等的各點所組成的面。等壓面方程：等壓面性質：1.等壓面也是等勢面在重力場中，W=gz，故等壓面是z=C的水平面族。與大氣接觸的自由表面也是等壓面（大氣壓）。2.等壓面與單位質量力矢量垂直說明等壓面與單位質量力垂直。3.液體與氣體的分界面、兩種互不摻混液體的分界面也是等壓面（證明見書）。§2-3重力場中的平衡流體一、靜壓強基本公式對重力場中平衡流體，即質量力只有重力時

流體不可壓縮，積分得

即為重力場中連續、均質、不可壓縮流體的靜壓強基本公式。

取流體中任意兩點1和2，上式可寫成或代入自由液面，得積分常數c即為流體靜壓強分布規律。

物理意義：平衡流體中各點的總勢能（包括位置勢能和壓強勢能）一定。稱為位置勢能(位置水頭)，稱為壓強勢能(壓強水頭)。po2z2P1/gz1p2/g1一、壓強的表示絕對壓強：以絕對真空為起點計算壓強大小。計示壓強或表壓強：以當地大氣壓為起點計算，比當地大氣壓大多少的壓強。如工程用測試儀表。真空度：比當地大氣壓小多少的壓強，取正值。§2-4靜壓強的計算與測量ppaoPv

aPabspgbPabs

絕對壓強Pabs大氣壓強Pa計示壓強或表壓強Pg=Pabs－Pa真空度Pv=Pa－Pabs度量方法單位名稱單位符號單位換算關系應力單位法帕

pa1pa=1N/m2液柱高度法米水柱mH2O1mH2O=9.8103pa毫米汞柱mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3pa標準大氣壓法標準大氣壓1atm≈1bar1atm=10.33mH2O=760mmHg=1.01105pa二、壓強的計量單位三、靜壓強的測量

金屬式儀表使壓強與金屬彈性元件變形成比例，量程較大，多用于高壓的液壓傳動中。

電測式儀表將彈性元件變形轉化為電阻電容等電量，便于遠程測量及動態測量。

液柱式測壓計利用液柱高測量壓強差，測量精度高，但量程較小，一般用于低壓場所，如下：

1.測壓管采用內徑不小于5mm的直玻璃管，下端與被測液體連接，上端開口與大氣相通M點絕對壓強M點相對壓強測壓管測壓一般不超過1mH2O，如果測壓較高，使用不便。

2.U形測壓計>，在液體交界面作等壓面1-2測量范圍比測壓管大

3.差壓計用來測量兩個容器或同一容器不同位置兩點的壓強差。如圖，作等壓面1-2，有

4.微壓計測量微小壓強時采用。無壓差時，液面在同一水平虛線處；有壓差時，玻璃管中液面上升大容器液面下降

則實際液面高度差由等壓面方程

§2-5平衡流體對壁面的作用力

工程上，經常遇到計算平衡流體對壁面靜壓力的問題。當受壓面上各點靜壓強相同時：當受壓面上各點靜壓強不同時：一、任意空間壁面上的流體靜壓力任取微元面積，則微元面積上的流體靜壓力為，整個壁面的流體靜壓力為

投影到x、y、z軸上，得

為投影面積對水平軸的面積矩，為投影面積形心處的計示壓強，水平分力為其與投影面積乘積。是純幾何體積，稱為壓力體，為壓力體液重，鉛直分力等于曲面上方壓力體的液重。

將三個分力合成，得

靜壓力的方向計算壓力時，壓強可用計示壓強，因為壁面各方向大氣壓力相互抵消。二、壓力體

壓力體是純幾何體積，與該體積中有無液體無關。

壓力體組成：（1）受壓曲面；（2）通過曲面邊緣所作的鉛垂面；（3）自由液面或延長線。

壓力體種類：實壓力體和虛壓力體。

實壓力體Fz方向向下，虛壓力體Fz方向向上。

注意：壓力體液重并非壓力體內的實有液體重力，只是為計算鉛直分力而引入的虛構概念。

三、平面、柱面、封閉曲面上流體靜壓力計算[特例一]平面

任意形狀的平面A與水面成α角，假定平面對稱軸為LL，則形心C及壓力中心D都在LL上微元面積dA受力

整個平面壓力大小

結論：1.液體中平面壓力，等于形心處壓強與面積A的乘積。2.當形心深度不變時，壓力大小與傾角無關。

壓力中心位置平面A對om軸的面積慣性矩為，對通過形心C的CC軸的面積慣性矩為，則由材料力學慣性矩平行換軸公式

代入得可知壓力中心D恒在形心C的下方，偏心距結論：傾斜時壓心位置與傾角α無關；壓心總在形心之下，只有受壓面水平時二者才重合，此時常用平面圖形的形心位置、慣性矩[特例二]柱面柱面在YOZ面上投影為ab曲線，故沿x方向無作用力，由任意空間壁面上流體靜壓力公式，得則合力大小合力方向

例如工程上計算高壓油管或筒形容器的強度。如圖，z向無作用力，x、y向流體靜壓力為在油管斷面上的應力只要其小于管材許用應力，管子不會破裂。[特例三]封閉曲面體積為V的固體完全沉沒在靜止液體中，稱為潛體。橫向：經過物面接觸點水平母線將物面分割成左、右兩面cad和cbd，水平受力Fy1與Fy2大小相等方向相反，合力為零。

縱向：經過物面接觸點的鉛直母線將物面分割成上、下兩面acb和adb。acb受力向下，等于壓力體acbef液重，adb受力向上，等于壓力體adbef液重。則鉛直合力Fz=Fz2-Fz1=ρg(Vadbef-Vacbef)=ρgV