學業分層測評(十三)平均變化率(建議用時：45分鐘)學業達標]一、填空題1.在函數變化率的定義中，關于自變量的增量Δx的說法：①Δx＜0；②Δx＞0；③Δx＝0；④Δx≠0.其中正確的是________(填序號).【導學號：24830064】【解析】由平均變化定義知Δx≠0.【答案】④2.函數f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1到x＝2之間的平均變化率為________.【解析】eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(\f(1,2)－1,1)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)3.(2023·徐州高二檢測)函數y＝－3x2＋6在區間1,1＋Δx]內的平均變化率是________.【解析】函數在1,1＋Δx]內的平均變化率是eq\f([－31＋Δx2＋6]－－3×12＋6,Δx)＝eq\f(－6Δx－3Δx2,Δx)＝－6－3Δx.【答案】－6－3Δx4.某人服藥后，人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位：mg/mL)來表示，它是時間t(單位：min)的函數，表示為c＝c(t)，下表給出了c(t)的一些函數值.t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)服藥后30～70min這段時間內，藥物濃度的平均變化率為________.【解析】eq\f(c70－c30,70－30)＝eq\f－,40)＝－.【答案】－5.質點運動規律s＝t2＋3，則在時間(3,3＋Δt)中，相應的平均速度等于________.【解析】由平均速度表示式，函數平均變化率：eq\x\to(v)＝eq\f(3＋Δt2－32,Δt)＝6＋Δt.【答案】6＋Δt6.函數f(x)＝x3在區間(－1,3)上的平均變化率為______.【解析】函數f(x)在(－1,3)上的平均變化率為eq\f(f3－f－1,3－－1)＝eq\f(27－－1,4)＝7.【答案】77.一棵樹2015年1月1日高度為4.5m,2016年1月1日高度為4.98m，則這棵樹2023年高度的月平均變化率為________.【解析】eq\f－,12)＝.【答案】8.設自變量x的增量為Δx，則函數y＝log2x的增量為________.【解析】函數y＝log2x的增量為log2(x＋Δx)－log2x＝log2eq\f(x＋Δx,x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(Δx,x))).【答案】log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(Δx,x)))二、解答題9.過曲線y＝f(x)＝x3上兩點P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線，求出當Δx＝時割線的斜率.【解】∴割線PQ的斜率k＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(Δx3＋3Δx2＋3Δx,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.設當Δx＝的割線的斜率為k1，則k1＝2＋3×＋3＝.10.求函數y＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx的值為eq\f(1,3)，哪一點附近平均變化率最大？【解】在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2時附近的平均變化率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3時附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx；若Δx＝eq\f(1,3)，則k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1＜k2＜k3；∴在x＝3附近的平均變化率最大.能力提升]1.已知A，B兩車在十字路口相遇后，又沿不同方向繼續前進，已知A車向北行駛，速度為30km/h,B車向東行駛，速度為40km/h，那么A，B兩車間直線距離增加的速度為________.【導學號：24830065】【解析】設經過th兩車間的距離為skm，則s＝eq\r(30t2＋40t2)＝50t(km)，增加的速度為eq\f(50t＋Δt－50t,Δt)＝50(km/h).【答案】50km/h 2.函數y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關系是________.【解析】∵k1＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝eq\f(2x0Δx－Δx2,Δx)＝2x0－Δx，又∵Δx＞0，∴k1＞k2.【答案】k1＞k23.在高臺跳水運動中，運動員相對于水面高度與起跳時間t的函數關系為h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)，下列說法：①eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))－h0,\f(b,2a)－0)＜eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)－\f(b,2a))；②eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))－h0,\f(b,2a)－0)＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)－\f(b,2a))；③eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h0,\f(b,a)－0)＝0；④運動員在0≤t≤eq\f(b,a)這段時間內處于靜止狀態.其中正確的是________.【解析】利用變化率的幾何意義解決h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)的對稱軸為t＝eq\f(b,2a)，故heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＝h(0)，則eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h0,\f(b,a)－0)＝0.【答案】③4.試比較正弦函數y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均變化率哪一個大？【解】當自變量從0到Δx時，函數的平均變化率為k1＝eq\f(sinΔx－sin0,Δx)＝eq\f(sinΔx,Δx)；當自變量從eq\f(π,2)變到Δx＋eq\f(π,2)時，函數的平均變化率為k2＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\f(cosΔx－1,Δx).由于是在x＝0和x＝eq\f(π,2)的附近的平均變化率，可知Δx較小，但Δx既可以為正，又可以為負.當Δx＞0時，k1＞0，k2＜0，此時有k1＞k2；當Δx＜0時，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx)－eq\f(cosΔx－1,Δx)＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1,Δx)＝eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π,4)))＋1,Δx)，∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π,4)＜－eq\f(π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π,4)))＜－eq\f(\r(2),2)，從而有eq\r(