學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．焦點在x軸上，短軸長為8，離心率為eq\f(3,5)的橢圓的標準方程是()\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】由題意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，解得c＝3，a＝5，又焦點在x軸上，故橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，故選C.【答案】C2．橢圓的短軸的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形，則它的離心率為()\f(1,2) B．eq\f(1,3)\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)【解析】由題意知a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,2c)＝eq\f(1,2).【答案】A3．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的關系是()A．有相等的焦距，相同的焦點B．有相等的焦距，不同的焦點C．有不等的焦距，不同的焦點D．以上都不對【解析】曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦距為2c＝8，而曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)表示的橢圓的焦距也是8，但由于焦點所在的坐標軸不同，故選B.【答案】B4．已知O是坐標原點，F是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點，過F且與x軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點，則cos∠MON的值為()【導學號：15460032】\f(5,13) B．－eq\f(5,13)\f(2\r(13),13) D．－eq\f(2\r(13),13)【解析】由題意，a2＝4，b2＝3，故c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1.不妨設M(1，y0)，N(1，－y0)，所以eq\f(12,4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，解得y0＝±eq\f(3,2)，所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).由余弦定理知cos∠MON＝eq\f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2－32,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝－eq\f(5,13).【答案】B5．如圖2-2-4，直線l：x－2y＋2＝0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，該橢圓的離心率為()圖2-2-4\f(1,5) B．eq\f(2,5)\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)【答案】D二、填空題6．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點，且過C、D的橢圓的離心率為________．【解析】如圖，AB＝2c＝4，∵點C在橢圓上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)7．設AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標原點，則kAB·kOM＝________.【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則中點坐標Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，得kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kOM＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，kAB·kOM＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))，b2xeq\o\al(2,1)＋a2yeq\o\al(2,1)＝a2b2，b2xeq\o\al(2,2)＋a2yeq\o\al(2,2)＝a2b2，得b2(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋a2(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1))＝0，即eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2).【答案】－eq\f(b2,a2)8．已知P(m，n)是橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一個動點，則m2＋n2的取值范圍是________．【解析】因為P(m，n)是橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一個動點，所以m2＋eq\f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.【答案】[1,2]三、解答題9．(1)求與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點，且離心率為eq\f(\r(5),5)的橢圓的標準方程；(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8，兩個頂點坐標分別是(－6,0)，(6,0)，求焦點在x軸上的橢圓的標準方程．【解】(1)∵c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴所求橢圓的焦點為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)．設所求橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，c＝eq\r(5)，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴橢圓的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.10．設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與x軸交于點A，以OA為邊作等腰三角形OAP，其頂點P在橢圓上，且∠OPA＝120°，求橢圓的離心率．【解】不妨設A(a,0)，點P在第一象限內，由題意知，點P的橫坐標是eq\f(a,2)，設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y))，由點P在橢圓上，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，y2＝eq\f(3,4)b2，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝eq\f(\f(\r(3),2)b,\f(a,2))＝eq\f(\r(3),3)，所以a＝3b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3b2－b2),3b)＝eq\f(2\r(2),3).[能力提升]1．(2023·福州高二期末)設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()\f(\r(2),2) B．eq\r(2)－1C．2－eq\r(2) D．eq\f(\r(2)－1,2)【解析】設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得|PF2|＝eq\f(b2,a)＝2c，即eq\f(a2－c2,a)＝2c，得離心率e＝eq\r(2)－1，故選B.【答案】B2．“m＝3”是“橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)”的()【導學號：15460033】A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，當0<m<4時，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，得m＝3，當m>4時，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，得m＝eq\f(16,3)，即“m＝3”是“橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)”的充分不必要條件．【答案】A3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則橢圓的離心率是________．【解析】由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得|AO|＝2|FO|(O為坐標原點)，即a＝2c，則離心率e＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知點A，B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.(1)求點P的坐標；(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．【解】(1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，設點P的坐標是(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))則2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，所以只能取x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5,2)eq\r(3).所以點P的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)\r(3))).(2)直線AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.設點M的坐標