利息與利率累積函數（本息）,終值實際利率單利復利名義利率利息力利息：貼現：實際貼現率名義貼現率貼現力1、利息：利息（interest)是在一定時期內借款為了一筆資金而付給出借者的報酬。（1）資金擁有者角度：希望從自己的出借中得到補償；（2）資金使用者角度：必須付給出借者一定的報酬以獲得使用資金的權利。因此，利息可被視為借款者所繳納的租金，用以補償出借者因為不能使用這筆資金而蒙受的損失。1.1累積函數（accumulationfunction):指期初的一元本金在t時刻的本金累積值，通常記為a(t)，具有以下性質：a(0)=1;a(t)為時間t的遞增函數，即利息是非負的。若期初本金不為1，為A(0)，則在t時刻的累積函數為：A(t)=A(0)a(t)，a(t)=A(t)/A(0).用I(t)表示0～t時刻的利息額，則I(t)=A(t)-A(0).1.1.2實際利率(effectiverateofinterest)實際利率指的是一元本金在期末時賺取的利息，通常用百分數表示，例如i=5％。

用累積函數表示：1.1.3單利（simpleinterest)定義：指只對本金計算利息，而對前期已經產生的利息在后期不再產生利息。在單利條件下，每期的利息都是常數。若a(0)=1，則a(t)=1+it，t=0,1,2,…。a(t)1+i101t1+it圖1單利的累積函數單利與實際利率的關系：在單利條件下，從t時刻起的實際利率為：由右式可以看到，隨著時間t的增大，實際利率越來越低。1.1.4復利（compoundinterest)定義復利指前期賺取的利息在后期會繼續產生利息。這意味著前期的利息將自動進行投資。設年利率為i，那么1元本金在第一年末的利息為i，本息累積值a(1)=1+i，作為第二年的本金進行投資;第二年末賺取的利息為i(1+i)，累積值為(1+i)*(1+i)，做為第二年的本金進行投資;……第n年末賺取的利息為i(1+i)n-1，累積值為(1+i)*(1+i)n-1=(1+i)n

，做為第n+1年的本金進行投資.實際上，對非整數的t年末，累積值a(t)＝(1＋i)t

也成立。（將月，日轉化為年做單位）。例2若復利的年利率為5%，初始本金為2000元，試計算（1）9個月后的累積值；（2）在2年零三個月后的累積值。解：9個月等于0。75年，故9個月的累積值為2年3個月等于2.25年，故2年3個月后的累積值為復利與實際利率的關系：在復利條件下，從t時刻起的實際利率為：由右式可以看到，在復利條件下，實際利率等于實際利率。例3小張從銀行借款20000元，4年后需償還25249.54元，請計算該筆借款的年實際利率。解令（年）實際利率為i，則根據題意得1.1.5名義利率（nominalrateofinterest)名義利率指給定一年的年利率，但是該利率是分多次結轉。給出名義利率是為了給出不足一年的區間的實際利率。例如，銀行的貸款利率為12％（一般指年利率），如果借款人從銀行借得期限為1年，金額為100元的貸款，則一年的利息為12元。如果銀行要求年末支付利息，則12％為實際利率。如果銀行要求每個月末支付一次利息1元，那么12％就為名義利率，一個月的實際利率為1％。反之，如果一個月的實際利率為1％，則年名義利率為12％。如果一個季度的實際利率為2％，則年名義利率為8％。年名義利率必須與一年所包含的小區間（月，季度等）相聯系例年名義利率為12％，每年結轉4次（或每個季度復利一次），則月實際利率為12％/4=3％，年實際利率為(1+3%)4-1=12.55%如果年名義利率為i，復利m次，則年實際利率為令則年實際利率年累積值（本息）為t年累積值（本息）為例42000元的本金按每年復利4次的年名義利率6％投資，試計算2年零6個月后的累積值。解名義利率為6％，每年復利4次，即每季度復利一次，季度利率為6％/4=1.5%.(法一)2年零6個月等于10季度，故10個季度后累積值為2000*(1+1.5%)10=2321.08(元)(法二)年實際利率為(1+1.5%)4－1=6.137%.故2年零6個月后的累積值為2000*(1+6.137%)2.5=2321.08(元)表1年實際利率隨復利次數的變化情況

（年名義利率為10％）復利次數年實際利率年初1000元本金年末的本息(累積值）1(每年復利1次)0.100001100.002(每半年復利1次)0.102501102.504(每季度復利1次)0.103811103.8112(每月復利1次)0.104711104.7152(每周復利1次)0.105071105.07365(每天復利1次)0.105161105.161.1.6利息力（forceofinterest)定義利息力指的是資本在任意一個時間點上獲取利息的能力。

t時刻的利息力可用累積值來表示：上式中，表示的是在區間內產生的利息。每個區間的實際利率與一年所包含的區間個數相乘就是年名義利率一年內包含的區間個數為意味著連續結轉利息(即連續復利).因此，利息力是連續結轉利息時的名義利率。由利息力得到累積函數：由利息力的定義式關于s在[0，t]上進行積分得用s代替t，若初始資本不為1，為A(0)，t時刻累積值為A(t)，有

表示金額A(s)在ds時段內因利息力的作用而賺取的利息。將其在[0,t]上積分，得到在t個度量期內賺取的利息總額。1.2終值、現值與貼現由于貸出貨幣具有收益（獲得利息），持有貨幣具有成本（需要支付或損失利息），因此，在不同時間獲得的貨幣其價值是不同的。現在獲得的一定量的貨幣比未來獲得的等量貨幣具有更高的價值。這就是貨幣的時間價值（TimeValueofMoney）。這種貨幣的時間價值可以通過計算現金流的現值或終值來反映。1.2.1終值與終值系數終值(FutureValue)是用復利計息方法計算的一筆投資在未來某個時間獲得的本息和，計算公式為:式中，A(t)為t年后的本息和，即以復利計算的t年終值。A（0）為初始本金。與初始本金A（0）相乘的系數(1+i)t稱為終值系數，本質是1元本金在t年后的累積值,故為

a(t)。利率相同，期限相同的投資的終值系數是相同的，因此，不同金額的投資的終值是其投資額與同一終值系數的乘積。如果現在的X在1年后的終值為Y，意味著如果想在1年后想得到的價值為Y的資金，必須在當前投資X。即：Y的現在價值為X,簡稱現值。例如：年實際利率為5%，則當前的1000元在一年后的終值為1050元，而一年末的1050元，在當前的現值為1000元。如果在t期末獲得1元的累積值，期初的本金應該是多少？這是一個求現值的問題。求現值的過程也被稱作貼現過程。顯然貼現過程與累積過程是互逆的。1.2.2現值與貼現系數復利的貼現系數為：

a-1(t)=1/(1+i)t=v

t

v=1/(1+i)稱為貼現因子。v的意義：第一期末的一元錢的期初本金。期初的x元在t期末的累積值為x(1+i)t,t期末的y元在期初的現值為yv

t=y(1+i)-t。如果在t期末希望獲得1元終值,期初的本金就應該是a-1(t)。稱a-1(t)為貼現系數（discountfactor)。例

假設復利的年利率為5%。（1）如果希望在9個月末獲得2000元；（2）如果希望在2年零3個月后獲得2000元，試分別計算期初的本金應為多少？解：貼現的本質是預付利息：0時刻1時刻1元1+i