學業分層測評(九)等差數列的性質(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．(2023·漢口高二檢測)下列說法中正確的是()A．若a，b，c成等差數列，則a2，b2，c2成等差數列B．若a，b，c成等差數列，則log2a，log2b，log2C．若a，b，c成等差數列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數列D．若a，b，c成等差數列，則2a,2b,2【解析】不妨設a＝1，b＝2，c＝3.A選項中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，顯然a2，b2，c2不成等差數列．B選項中，log21＝0，log22＝1，log23>1，顯然log2a，log2b，log2C選項中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，顯然a＋2，b＋2，c＋2成等差數列．D選項中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，顯然2a,2【答案】C2．等差數列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．無實根 B．有兩個相等實根C．有兩個不等實根 D.不能確定有無實根【解析】由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程為x2＋6x＋10＝0，無解．【答案】A3．設{an}，{bn}都是等差數列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝()【導學號：33300052】A．0 B．37C．100 D.－37【解析】設cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數列，則{cn}也是等差數列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.【答案】C4．若{an}是等差數列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，則a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C． 【解析】由等差數列的性質，得a1＋a4＋a7＝3a4a2＋a5＋a8＝3a5a3＋a6＋a9＝3a6又3a5×2＝3a4＋3a6，解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.【答案】D5．目前農村電子商務發展取得了良好的進展，若某家農村網店從第一個月起利潤就成遞增等差數列，且第2個月利潤為2500元，第5個月利潤為4000元，第m個月后該網店的利潤超過5000元，則m＝()A．6 B．7C．8 【解析】設該網店從第一月起每月的利潤構成等差數列{an}，則a2＝2500，a5＝4000.由a5＝a2＋3d，即4000＝2500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5000，得m＝7.【答案】B二、填空題6．(2023·廣東高考)在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________.【解析】因為等差數列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.【答案】107．若m≠n，兩個等差數列m，a1，a2，n與m，b1，b2，b3，n的公差分別為d1和d2，則eq\f(d1,d2)的值為________．【解析】n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)8．已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則△ABC的面積為________．【解析】不妨設角A＝120°，c<b，則a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝eq\f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq\f(1,2)，解得b＝10，所以S＝eq\f(1,2)bcsin120°＝15eq\r(3).【答案】15eq\r(3)三、解答題9．已知等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4【解】∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.10．四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數.【導學號：33300053】【解】設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個數成遞增等差數列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四個數為－2,0,2,4.[能力提升]1．已知等差數列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0 ＝51【解析】根據性質得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因為a3＋a99＝2a51＝0，故選C.【答案】C2．(2023·鄭州模擬)在等差數列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14 B．15C．16 【解析】設公差為d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.【答案】C3．數列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，則an＝________.【解析】因為eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))為等差數列，又eq\f(1,a1)＝1，公差d＝eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2)，所以通項公式eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝1＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋1,2)，所以an＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,n＋1)4．兩個等差數列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？【解】設已知的兩數列的所有相同的項構成的新數列為{cn}，c1＝11，又等差數列5,8,11，…的通項