第二章習題課求通項公式一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－2(a為常數，且a≠0，a≠1)，則數列{an}()A．是等比數列 B．從第二項起的等比數列C．是等差數列 D．從第二項起的等差數列解析：當n≥2時，an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1－an∴an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，則eq\f(an＋1,an)＝a.又∵a2＝S2－S1＝a2－2－(a－2)＝a2－a＝a(a－1)a1＝S1＝a－2.當a＝2時，a1＝0，當a≠2時，eq\f(a2,a1)＝eq\f(aa－1,a－2)≠a.答案：B2．如果數列{an}滿足a1，eq\f(a2,a1)，eq\f(a3,a2)，…，eq\f(an,an－1)，…是首項為1，公比為2的等比數列，則a6＝()A．21008 B．29968C．25050 D．32768解析：a6＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(a6,a5)＝1×2×22×…×25＝215＝32768.答案：D3．若數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，則aA．eq\f(9,5) B．eq\f(11,6)C．eq\f(13,7) D．2解析：a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5①－②得6a6＝11，所以a6＝eq\f(11,6).答案：B4．在數列{an}中，已知an＋1＝an＋eq\f(n,2)，且a1＝2，則a99的值是()A．2477 B．2427C．2 D．2解析：∵an＋1－an＝eq\f(n,2)，∴an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝eq\f(1,2)[1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(1,4)(n－1)n，∴a99＝2＋eq\f(1,4)×98×99＝2.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知數列{an}中，a1＝2，且eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，則an＝______.解析：an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,4)×eq\f(3,5)×…×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(4,nn＋1).答案：eq\f(4,nn＋1)6．數列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝________.解析：an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＋1＝2.∴數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列．∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.答案：2×3n－1－1三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知數列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．解析：(1)由S2＝eq\f(4,3)a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1由S3＝eq\f(5,3)a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝eq\f(3,2)(a1＋a2)＝6.(2)由題設知a1＝1.當n＞1時，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理得an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1.于是a2＝eq\f(3,1)a1，a3＝eq\f(4,2)a2，…，an－1＝eq\f(n,n－2)an－2，an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1.將以上n－1個等式中等號兩端分別相乘，整理得an＝eq\f(nn＋1,2).綜上可知，{an}的通項公式an＝eq\f(nn＋1,2).8．設數列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)(n∈N*)．求數列{an}的通項公式．解析：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)， ①∴當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq\f(n－1,3). ②①－②，得3n－1an＝eq\f(1,3)，∴an＝eq\f(1,3n).在①中，令n＝1，得a1＝eq\f(1,3).∴an＝eq\f(1,3n)(n∈N*)．eq\x(尖子生題庫) ☆☆☆9.(10分)設數列{an}的前n項和為Sn，數列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求數列{an}的通項公式．解析：(1)當n＝1時，T1＝2S1－12.因為T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1(2)當n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1， ①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1， ②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即eq\f(an＋1＋2,an＋2)