第3章空間向量與立體幾何§空間向量及其運算3.1.1課時目標1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示.2.掌握空間向量的加減運算及其運算律，能借助圖形理解空間向量及其運算的意義．1．空間向量中的基本概念(1)空間向量：在空間，我們把既有________又有________的量，叫做空間向量．(2)相等向量：________相同且________相等的有向線段都表示同一向量或者相等向量．(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線______________或________，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．2．空間向量的線性運算及運算律類似于平面向量，我們可以定義空間向量的加法和減法運算及數乘運算：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝________，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝________，eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R)．空間向量加法的運算律(1)交換律：______________.(2)結合律：(a＋b)＋c＝____________.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．3．共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數λ，使__________．規定：零向量與任意向量共線．一、填空題1．判斷下列各命題的真假：①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為________．2.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則下列敘述正確的是________．(寫出所有正確的序號)①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向；④eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向．3.在正方體ABCD-A1B1C1D中，向量表達式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化簡后的結果是________．4.在平行六面體ABCD-A1B1C1D中，用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))來表示向量AC1的表達式為________________________________________________________________________．5.四面體ABCD中，設M是CD的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))化簡的結果是________．6．平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，下列結論中正確的有________．①＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0；②－eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0；③＋eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0；④－eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0.7.如圖所示，a,b是兩個空間向量，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．8.在正方體ABCD-A1B1C1D中，化簡向量表達式eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))的結果為________．二、解答題9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連結AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并標出化簡結果的向量．10．設A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．能力提升11.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝______________________.12．證明：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分．1．在掌握向量加減法的同時，應掌握有特殊位置關系的兩個向量的和或差，如共線、共起點、共終點等．2．共線向量定理包含兩個命題，特別是對于兩個向量a、b，若存在惟一實數λ，使b＝λa(a≠0)?a∥b，可作為以后證明線線平行的依據，但必須保證兩線不重合．再者向量共線不具有傳遞性，如a∥b，b∥c，不一定有a∥c，因為當b＝0時，雖然a∥b，b∥c，但a不一定與c平行．3．運用空間向量的運算法則化簡向量表達式時，要結合空間圖形，觀察分析各向量在圖形中的表示，然后運用運算法則把空間向量轉化為平面向量解決，并要化簡到最簡為止．第3章空間向量與立體幾何§空間向量及其運算3．空間向量及其線性運算知識梳理1．(1)大小方向(2)方向長度(3)互相平行重合2．a＋ba－b(1)a＋b＝b＋a(2)a＋(b＋c)3．b＝λa作業設計1．3解析①真命題；②假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；③真命題；④假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；⑤假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．2．④解析由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向．\o(BD1,\s\up6(→))解析如圖所示，∵eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))，∴eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).\o(AM,\s\up6(→))解析如圖所示，因為eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BM,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).6．①解析觀察平行六面體ABCD—A1B1C1D1可知，向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))平移后可以首尾相連，于是eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0.7．相等相反8．0解析在任何圖形中，首尾相接的若干個向量和為零向量．9．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)∵E，F，G分別為BC，CD，DB的中點．∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).故所求向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，如圖所示．10．證明連結BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).∵E為CD的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→)).eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.12．證明如圖所示，平行六面體ABCD—A′B′C′D′，設點O是AC′的中點，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))．設P、M、N分別