學業分層測評(二)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.下列各點中與(2，eq\f(π,6))不表示極坐標系中同一個點的是()A.(2，－eq\f(11,6)π) B.(2，eq\f(13,6)π)C.(2，eq\f(11,6)π) D.(2，eq\f(－23,6)π)【解析】與極坐標(2，eq\f(π,6))相同的點可以表示為(2，eq\f(π,6)＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，eq\f(11,6)π)不適合.【答案】C2.在極坐標系中與點A(3，－eq\f(π,3))關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是()A.(3，eq\f(2,3)π) B.(3，eq\f(π,3))C.(3，eq\f(4,3)π) D.(3，eq\f(5,6)π)【解析】與點A(3，－eq\f(π,3))關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標可以表示為(3,2kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z).【答案】B3.將點P的直角坐標(－1，eq\r(3))化為極坐標是()A.(2，－eq\f(π,3)) B.(2，eq\f(2π,3))C.(－2，－eq\f(π,3)) D.(－2，eq\f(4π,3))【解析】在直角坐標系中(－1，eq\r(3))對應的極徑ρ＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，極角θ滿足tanθ＝eq\f(\r(3),－1)＝－eq\r(3)，∴由于點(－1，eq\r(3))在第二象限，所以θ＝eq\f(2π,3).【答案】B4.在極坐標系中，點A(2，eq\f(π,6))與B(2，－eq\f(π,6))之間的距離為() 【解析】點A(2，eq\f(π,6))與B(2，－eq\f(π,6))的直角坐標分別為(eq\r(3)，1)與(eq\r(3)，－1).于是|AB|＝eq\r(\r(3)－\r(3)2＋1＋12)＝2.【答案】B二、填空題(每小題5分，共10分)5.關于極坐標系的下列敘述正確的是________.①極軸是一條射線；②極點的極坐標是(0,0)；③點(0,0)表示極點；④點M(4，eq\f(π,4))與點N(4，eq\f(5π,4))表示同一個點.【解析】①③正確；②④錯誤.【答案】①③6.將點的直角坐標(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))化為極坐標(ρ>0，θ∈[0,2π))為________.【解析】ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(－\f(π,2)2＋\f(π,2)2)＝eq\f(\r(2),2)π.又tanθ＝eq\f(y,x)＝－1，θ∈[0,2π)，且點(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))在第二象限.∴θ＝eq\f(3,4)π.因此所求的極坐標為(eq\f(\r(2),2)π，eq\f(3,4)π).【答案】(eq\f(\r(2),2)π，eq\f(3,4)π)三、解答題(每小題10分，共30分)7.已知點P的直角坐標按伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\r(3)y))變換為點P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π時，求點P的極坐標.【解】設點P的直角坐標為(x，y)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝2x,－3＝\r(3)y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－\r(3)))，∴點P的直角坐標為(3，－eq\r(3)).ρ＝eq\r(32＋－\r(3)2)＝2eq\r(3)，tanθ＝eq\f(－\r(3),3).∵0≤θ<2π.點P在第四象限.∴θ＝eq\f(11π,6).∴點P的極坐標為(2eq\r(3)，eq\f(11π,6)).8.將下列各點由極坐標化為直角坐標，由直角坐標化為極坐標.(1)P(2，eq\f(5,4)π)；(2)Q(2，－eq\f(π,6))；(3)C(0，－2)；(4)D(3,0).【解】(1)x＝2coseq\f(5,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2)，y＝2sineq\f(5,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2).所以P點的直角坐標為(－eq\r(2)，－eq\r(2)).(2)x＝2cos(－eq\f(π,6))＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，y＝2sin(－eq\f(π,6))＝2×(－eq\f(1,2))＝－1.所以Q點的直角坐標為(eq\r(3)，－1).(3)ρ＝eq\r(02＋－22)＝2，θ為eq\f(3,2)π，θ在y軸負半軸上，所以C點的極坐標為(2，eq\f(3,2)π).(4)ρ＝eq\r(32＋02)＝3，tanθ＝eq\f(0,3)＝0，故θ＝0.所以D點的極坐標為(3,0).9.在極坐標系中，點A和點B的極坐標分別為(2，eq\f(π,3))和(3,0)，O為極點，【導學號：62790004】求(1)A，B兩點間的距離；(2)△AOB的面積.【解】將A，B兩點代入到兩點間的距離公式有|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ1－θ2)＝eq\r(22＋32－2×2×3cos\f(π