[課題]二項式定理（一）教材：人教A版選修2-3第一章第三節授課教師：浙江省義烏中學金惠萍［教學內容解析］在多項式的運算中，二項式定理有著非常重要的地位，它是帶領我們進入微積分學領域大門的一把金鑰匙，只是在中學階段還沒有顯示機會.本小節內容安排在計數原理之后，一方面是因為二項式定理的推導過程及證明要用到計數原理，另一方面二項式系數是一些特殊的組合數，因此本課的學習對排列組合部分知識的深化認識有好處.另外，二項式定理也為學習隨機變量及其分布做準備.二項式定理還可以解決近似計算、整除、不等式證明等問題，有著綜合性強、聯系不同知識點的特點。［教學目標設置］依據課程標準，結合學生的認知發展水平和心理特征，確定本節課的教學目標如下：（一）教學目標1、知識與技能：(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.2.過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．3.情感、態度與價值觀：培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．（二）重、難點分析重點：用計數原理分析、的展開式，歸納得到二項式定理．難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開式各項的形成規律．［學生學情分析］本節課授課的對象是高二年級的學生，他們已掌握了計數原理和排列組合知識，具備一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維也初步形成，但要把二項式定理與排列組合問題聯系起來，還是比較困難的，因此需要創設一個環境，從語言感知，文字感知及圖形感知等各個方面構建學生的思維認知。［教學策略分析］為了突出重點、突破難點，在教學中采取了以下策略：1．教法分析新的數學課程標準提出：掌握數學知識只是結果，而掌握知識的活動過程才是途徑，通過這個途徑，來挖掘人的發展潛能才是目的，結果應讓位于過程.因此，在教學中，必須貫徹好過程性原則.也就是說，在教學過程中，充分揭示每一個階段的思維活動過程，通過思維活動過程的暴露和數學創新活動過程的演變，使教學活動成為思維活動的教學，由此來啟發、引導學生直接或間接地感受和體驗知識的產生、發展和演變過程.變傳統的“接受性、訓練性學習”為新穎的“探究式、發現式的學習”，變教師是傳授者為組織者、合作者、指導者，在學習過程中，教師想盡辦法激發學生探究式、發現式學習的興趣，并使其作為一種教學方式應用于概念、定理、公式和解題教學中，讓學生在探究、發現中獲取知識，發展能力.從而增強學生的主體意識，提高學生學習的效果.2．學法分析根據學生思維的特點，遵循“教必須以學為主立足點”的教學理念，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在教學的各個環節中引導學生進行歸納、類比遷移，對照學習。學生在教師營造的“可探索”的環境里，積極參與，生動活潑地獲取知識，掌握規律、主動發現、主動發展。［教學過程］（一）近似估算，引出問題引題：如何近似計算高次方根，比如【設計意圖】通過用試探近似估算方法可行性，用驗證方法的可推廣性，用揭示估算方法的源頭問題，引出研究二項式展開項的必要性，也吻合數學史發展的歷程。（二）逐步探究，發現規律1.探究一：展開式中項的系數是多少？問題一：展開式中項是怎么形成的？問題二:系數是多少？【設計意圖】從特殊的二項式中的指定的某項開始探究，大大降低學習的思維難度，引導學生從多項式乘法法則出發，運用組合思想解決項的形成問題，突破本節課思維難點。2.探究二：展開式還有哪些項？問題一：每一項是怎么產生的?問題二;共有多少項？【設計意圖】利用其它項的特征分析，進一步明確組合思路，為后續推廣作準備.3.探究三：展開式又是如何的？【設計意圖】從一個量到兩個量都要考慮，這步探究的重點在于項的結構分析。通過幾個問題的層層遞進，引導學生進行再思考，分析各項的形式、項的個數，這也為推導的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依．4.探究四：推廣到一般情況會是怎么樣的？【設計意圖】通過仿照、展開式的探究方法，引發思考，由學生類比得出的展開式，從而上升形成一般結論。（三）形成定理，說理證明二項式定理：證明：是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數原理可知展開式共有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，對于每一項，它是由k個選了b，n－k個選了a得到的，它出現的次數相當于從n個中取k個b的組合數，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．【設計意圖】二項式定理的證明采用“說理”的方法，從多項式乘法法則角度對展開過程進行分析，用計數原理概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式．（四）熟悉定理，簡單應用1.二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）=1\*GB3①項數：共有項.=2\*GB3②次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．各項的次數都等于n．=3\*GB3③二項式系數:依次為，這里稱為二項式系數.=4\*GB3④二項展開式的通項:式中的叫做二項展開式的通項.用表示.即通項為展開式的第項:=2.例題應用：例1.求的展開式.變式訓練：求的展開式.【設計意圖】熟練公式，考察對）的展開理解，并且進一步明確展開式中各項的規律.例2.求展開式的第4項.變式1：求展開式的第6項的二項式系數.變式2：求展開式的項的系數.【設計意圖】掌握通項，區分二項式系數與系數，培養學生的運算能力.（五）課堂小結，課后延伸1.小結：知識層面：公式：通項：=，方法層面：1.從特殊到一般的探究方式.2.從觀察到歸納，從猜想到證明的思維模式.2.作業鞏固型作業：課本31頁習題1、2、3、4思維拓展型作業：試求(x+2y+z)6的展開式中含xy2z3項的系數.3.拓展知識觀看微視頻《二項式定理的那些事》教案設計說明二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．本節課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發現和創造歷程．本節課的難點是用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．為突破難點，本課采用有特殊到一般的推導思路，先以為對象進行一個量的變化探究，引導學生用計數原理進行再思考，