溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評估(三)(第三講)(90分鐘120分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,則|mt+ns|的最大值為() B.4 【解析】選B.由柯西不等式,(mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|≤4,當(dāng)且僅當(dāng)ms=nt時等號成立.2.(2023·深圳高二檢測)函數(shù)y=x-5+26A.3 B.5 【解析】選B.根據(jù)柯西不等式,有(x-5+26-x)2≤(1+4)[(x-5)+(6-x)]=5,所以y=x3.設(shè)a,b,c>0,且a+b+c=1,則a+b+c的最大值是() B.3 【解析】選B.由柯西不等式得[(a)2+(b)2+(c)2]·(12+12+12)≥(a+b+c)2,所以(a+b+c)2≤1×3=3.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時等號成立.故a+b+c的最大值為3個正數(shù)的和與這n個正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是() D.1【解析】選C.設(shè)n個正數(shù)為x1,x2,…,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+…+xn)(1x1+1x2+…+1xn)≥x1×1x15.(2023·石家莊高二檢測)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則3a+1+3b+1+ B.3 【解析】選B.根據(jù)柯西不等式,3a+1+3b+1+3c+1≤(1+1+1)(3a+3b+3c+3)=36.(2023·西寧高二檢測)已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,則M=(ax1+bx2)·(bx1+ax2)與4的大小關(guān)系是()>4 <4 ≥4 ≤4【解析】選C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=[(ax1)2+(bx2)2]·[(bx1)≥[ab(x1+x2)]2=(x1+x2)27.設(shè)a1,a2,a3為正數(shù),E=a1a2a3+a2a3a<F ≥F=F ≤F【解析】選B.不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0,于是1a1≤1a2≤1a3,a2a3由排序不等式:順序和≥亂序和,得a1a2a31a2·a2a3+1a3·a3a1+1a1·a1即a1a2a3+a2a3a所以E≥F.8.(2023·武漢高二檢測)已知2x+3y+4z=10,則x2+y2+z2取得最小值時的x,y,z的值分別為()A.53,109,56 B.2029,12,13 ,1【解析】選B.(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=100,當(dāng)且僅當(dāng)x2=y3=此時x=2029,y=3029,z=二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)9.有4人各拿一只水桶去接水,設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s,4s,3s,7s,每個人接完水后就離開,則他們等候的總時間最短為s.【解析】由題意知,等候的時間最短為3×4+4×3+5×2+7=41.答案:4110.(2023·鹽城高二檢測)正數(shù)a,b,c滿足a+b+4c=1,則a+b+2c的最大值為【解析】(a+b+2c)2所以a+b+2c≤10答案:1011.(2023·昆明高二檢測)已知0<x<1,0<y<1,則函數(shù)f(x)=x2+y2+【解析】由三角不等式,得x2+≥[x-(x-1)]2當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,y=1-y,即x=12,y=1故f(x)的最小值為2.答案:212.銳角三角形中,設(shè)P=a+b+c2,Q=acosC+bcosB+ccosA,則P,Q的關(guān)系為【解析】不妨設(shè)A≥B≥C,則a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,則由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sinC+sinA+sinB)=P=a+b+c答案:P≤Q三、解答題(本大題共6小題,共60分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)13.(10分)(2023·臨沂高二檢測)已知2x+3y+5z=29,求函數(shù)u=2x+1+3y+4+【解析】根據(jù)柯西不等式,120=(1+1+1)[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]≥(2x+1+3y+4+5z+6于是2x+1+3y+4+5z+6當(dāng)且僅當(dāng)x=376,y=289,z=22故函數(shù)u=2x+1+3y+4+5z+614.(10分)(2023·長春高二檢測)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求證:1x+4y+【證明】(x+y+z)1xx·1x+y·4y+z·9z即x=16,y=13,z=【一題多解】(利用基本不等式)1x+4y+9z=1x(x+y+z)+=14+yx+4xy+當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x,且x+y+z=1,所以x=16,y=13,z=15.(10分)已知a,b,c為正數(shù),a≥b≥c,求證:(1)1bc≥1ca≥(2)a5b3c3+b5c3a【解析】(1)因?yàn)閍≥b>0,于是1a≤1所以1c>0,從而1bc≥同理,因?yàn)閎≥c>0,于是1b≤1因?yàn)閍>0,所以1a于是得1ca≥1從而1bc≥1ca≥(2)由(1)1bc≥1ca≥a5b3c3+b5c3=b2c3+≥c2c3+b2b3+a=1a+1b+16.(10分)設(shè)c1,c2,…,cn為正數(shù)組a1,a2,…,an的某一排列,求證:a1c1+a【證明】不妨設(shè)0<a1≤a2≤…≤an,則1a1≥1a2因?yàn)?c1,1c2,…,1cn是故由排序原理,反序和≤亂序和得a1·1a1+a2·1a2≤a1·1c1+a2·1c2+…+a即a1c1+a17.(10分)(2023·徐州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].(1)求m的值.(2)若a,b,c∈R+,且1a+12b+13c【解析】(1)因?yàn)閒(x+2)=m-|x|≥0,等價于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1.(2)由(1)知1a+12b+又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)1≥a·18.(10分)(2023·廣州高二檢測)設(shè)a1,a2,…,an為1,2,3,…,n的一個排列.求證:12+23+…+n-1n≤a1【證明】設(shè)b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列且b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1是a1,a2,…,an