章末分層突破[自我校對]①球②斜二測畫法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空間幾何體的體積及表面積幾何體的表面積及體積的計算是現實生活中經常能夠遇到的問題，在計算中應注意各數量之間的關系及各元素之間的位置關系，特別是特殊的柱、錐、臺體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應用，注意分割與組合的合理應用；關注展開與折疊問題．如圖1－1，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．圖1－1(1)證明MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM的體積．【精彩點撥】(1)利用線面平行的判定定理進行證明，即通過線線平行證明線面平行；(2)先求出點N到平面BCM的距離及△BCM的面積，然后代入錐體的體積公式求解．【規范解答】(1)證明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).[再練一題]1．如圖1－2，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.圖1－2(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A－MBC的體積．【解】(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵M是AD的中點，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱錐C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如圖，過點M作MN⊥BD交BD于點N，則MN⊥平面BCD，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝eq\f(1,2)，∴三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD＝eq\f(1,3)AB·S△BCD－eq\f(1,3)MN·S△BCD＝eq\f(1,12).直線、平面平行的判定和性質1.判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?α∥β)．2．證明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定義；(2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．如圖1－3，E，F，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1圖1－3求證：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【精彩點撥】(1)取B1D1的中點O，證明四邊形BEGO是平行四邊形．(2)證B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.【規范解答】(1)取B1D1的中點O，連結GO，OB，易證OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE.∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方體性質得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.[再練一題]2.如圖1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝圖1－4求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【證明】(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直線、平面垂直的判定和性質空間垂直關系的判定方法：(1)判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直的定義(一般不易驗證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根據定義(作兩平面構成二面角的平面角，計算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．如圖1－5所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．圖1－5求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩點撥】取EC中點F，CA中點N，連結DF，MN，BN.(1)證△DFE≌△ABD，(2)證BN⊥ECA，(3)證DM⊥平面ECA.【規范解答】(1)如圖所示，取EC的中點F，連結DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中點N，連結MN，BN，則MN綊eq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，即N點在平面BDM內．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD內，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再練一題]3．如圖1－6，四棱錐P－ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC的中點．(1)求證：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD.【導學號：41292056】圖1－6【解】(1)如圖，連結AC交BD于點O，連結OM.因為底面ABCD是平行四邊形，所以點O為AC的中點．又M為PC的中點，所以OM∥PA.因為OM?平面MBD，AP?平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.因為AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD?平面PBD，PB?平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因為BD?平面PBD，所以AD⊥BD.因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD.又因為BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面圖形的翻折問題空間幾何中的翻折問題是幾何證明，求值問題中的重點和難點，在高考中經常考查．(1)解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側的線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．(2)在解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形．如圖1－7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D是AP的中點，E，F分別為PC，PD的中點，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P－ABCD.圖1－7(1)G為線段BC上任一點，求證：平面EFG⊥平面PAD；(2)當G為BC的中點時，求證：AP∥平面EFG.【精彩點撥】(1)轉化為證EF⊥平面PAD；(2)轉化為證平面PAB∥平面EFG.【規范解答】(1)在直角梯形ABCP中．∵BC∥AP，BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點，∴BC綊AD，又AB⊥AP，AB＝BC.∴四邊形ABCD為正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱錐P－ABCD中，∵E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一∵G，F分別為BC和PC的中點，∴GF∥BP，∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA?平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二取AD中點H(略)，連結GH，HE.由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形．又G，H分別為BC，AD的中點，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四點E，F，G，H共面．∵E，H分別為PD，AD的中點，∴EH∥PA.∵PA?平面EFGH，EH?平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.[再練一題]4．如圖1－8(1)所示，在直角梯形ABEF中(圖中數字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，連結部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖1－8(2)所示．(1)(2)圖1－8(1)求證：BE∥平面ADF；(2)求三棱錐F－BCE的體積．【解】(1)證明：法一取DF的中點G，連結AG，EG，∵CE＝eq\f(1,2)DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB，∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴BE∥AG.∵BE?平面ADF，AG?平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由圖(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關系不變．∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE?平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE?平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由圖(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由圖(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f(1,2)CE×DC＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝VB－CEF＝eq\f(1,3)×BC×S△CEF＝eq\f(1,6).法二由圖(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，點F到平面BCE的距離等于點D到平面BCE的距離為1，由圖(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1,2)BC×CE＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×CD×S△BCE＝eq\f(1,6).法三過E作EH⊥FC，垂足為H，如圖所示，由圖(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH?平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝eq\r(DC2＋DF2)＝eq\r(5)，S△BCF＝eq\f(1,2)BC×CF＝eq\f(\r(5),2)，在△CEF中，由等面積法可得EH＝eq\f(1,\r(5))，∴VF－BCE＝VE－BCF＝eq\f(1,3)×EH×S△BCF＝eq\f(1,6).1．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________.【導學號：41292057】【解析】如圖，設球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面積為定值，∴當點C到平面AOB的距離最大時，VO－ABC最大，∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VO－ABC最大為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.【答案】144π2．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是________．①若α，β垂直于同一平面，則α與β平行；②若m，n平行于同一平面，則m與n平行；③若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線；④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．【解析】①α，β可能相交，故錯誤；②直線m，n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；③若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；④假設m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故④正確．【答案】④3．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖1－9所示．(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論；(3)證明：直線DF⊥平面BEG.圖1－9【解】(1)點F，G，H的位置如圖所示．(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下：因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形．所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)證明：連接FH，與EG交于點O，連接BD.因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH.因為EG?平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如圖1－10，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E－ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側面積．圖1－10【解】(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E－ACD的體積V三棱錐E－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E－ACD的側面積為3＋2eq\r(5).5.如圖1－11，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．圖1－11(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V－ABC的體積．【解】(1)因為O，M分別為AB，VA的中點，所以OM∥VB.又因為VB?/平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因為AC＝BC，O為AB的中點，所以OC⊥AB.又因為平面VAB⊥