第一章三角形的證明

八年級（下冊）

學習幾何基本規律點→線（兩點定線）→角（兩線）→（面）圖→體一個圖（三角形、四邊形---）形的定義，性質，判定兩個圖形之間的關系：全等、相似、對稱、位似----圖形變換全等變換相似變換（形狀不變大小變）如：位似變換。對稱旋轉平移翻折形狀大小都不變兩次翻折=一次平移截長補段證明線段的和倍分問題第一單元：等腰三角形全等三角形●等腰三角形性質全等三角形判定：SSS；SAS；AAS；ASA。直角三角形全等：SS（含HL）或者AS。全等三角形性質：對應邊、角等元素均相等。全等三角形的類型：平移型-對稱型-旋轉型。全等的兩不能：AAA；SSA不能判斷全等。等腰三角形的性質性質定理：兩底角相等（等邊對等角）。其他性質：三個角知一求二；三個角一六皆六；底角只能是銳角，頂角可銳、可直、可鈍；等腰直角三角形的兩個底角都是45度。等腰三角形性質定理的證明。做輔助線：對稱軸。

⑴平移全等型

⑵對稱全等型

⑶旋轉全等型

全等三角形的三類九種基本類型（4）翻折全等型【例1】證明：等腰三角形的兩底角相等。（略）已知：D，E是等腰三角形ABC底邊BC上的兩點，且DE=CE，求證：∠ADE=∠AEDABCDE性質定理的推論及等邊三角形的性質推論：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的高，底邊上的中線相互重合（“三線合一”）。三線都是“一線”——對稱軸。應用：證明角相等，線段相等或者垂直。定理：等邊三角形三個角都相等，都等于。圖形語言——符號語言——文字語言。定理的證明。【例2】證明等邊三角形的性質定理（略）如圖1，ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上，求證：BE=CE如圖2，若BE的延長線交AC于F點，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題其它條件不變，求證：△AEF≌△BCFABCDEABCEF圖1圖2等腰三角形的判斷定理判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱：等角對等邊）——會證明。定理應用：證明一個三角形中兩邊相等。證明兩條線段的長相等放到同一三角形中證明角相等。放到可能全等的兩個三角形中證明全等。其它途徑。【例3】證明判定定理。已知：銳角三角形ABC兩條高BD、CE相交于O點，且OB=OC求證：△ABC是等腰三角形。O點是否在∠BAC的角平分線上，說明理由。ABCDEOF等邊三角形的判定定理及“3-6-9”三角形定理1：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（等腰+60°）定理2：三個角都相等的三角形是等邊三角形。定理3：直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。定理三的應用：證明線段的倍、分、比關系。【例4】三個定理的證明。△ABC是等邊三角形，AE=CD，AD與BE相交與P點，BQ⊥AD于Q點，求證：BP=2PQABCDEQ學會倒著想——逆向思維【提升訓練】10、如圖，點C為線段AB上的一點，⊿ACM，⊿CBN是等邊三角形，AN，CM交于點E，CN，BM交于點F。（1）求證：AN=BM（2）求證：⊿CEF是等邊三角形MFABNEC反證法定義：先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明方法稱為反證法。反證法——常用的間接證明法。步驟：假設命題的結論不成立。從假設出發，推導出矛盾。否定假設，從而肯定命題的結論。【例5】用反證法證明等腰三角形的底角是銳角。求證：一個三角形中，如果兩個角不相等，那么它們所對的邊也不相等。證明：三角形中至少有一個角不小于60°。等腰三角形中的多解問題——分類討論【例6】等腰三角形的兩邊長分別是4和5，這個三角形的周長是（）等腰三角形的兩邊長分別是4和8，這個三角形的周長是（）等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分為12和15兩部分，求該三角形各邊的長。（8、8、11；10、10、7）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°則等腰三角形的頂角為（）°【提升訓練】在Rt△ABC中，∠ACB=90°點D、E在AB上，AD=AC，BE=BC，當∠A分別為30°、40°時，求∠DCE的度數。從①中你發現了什么？證明你的發現。發現∠DCE=45°，且與∠A的度數無關！CBADE第二單元：直角三角形勾股定理及其證明勾股定理：直角三角形兩條直角邊平方的和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2（c為斜邊）應用：知二邊求一邊；知一邊求另兩邊關系；用來證明有關平方的問題；數軸上做出帶二次根號如√3的實數對應的點。勾股定理的其它形式：直角三角形性質：兩銳角互余；三邊勾股定理；3、6、9三角形；45-9三角形；以后學習其它性質。方程思想和數形結合思想與勾股定理的綜合應用。【例1】勾股定理的證明。如圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°∠ADC=60°，BD=10，求AC的長。三垂直全等形用面積法證明ABCD答案：5√3【提升訓練】△ABC中，∠A=60°，AB=9AC=14.4，求BC的長。CBA提示：過C點作AB的垂線。勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的判定：從角出發：兩銳角和為90°三角形為直角三角形；從邊出發：勾股定理的逆定理。勾股數的概念及常見的勾股數。3、4、5；6、8、10；12、13、5等。【例2】證明勾股定理的逆定理。在△DEF中，DE=17，EF=30，EF邊上的中線DG=8，求證：△DEF是等腰三角形。DEFG直角三角形全等的判定HL：斜邊和一條直角對應相等的兩個直角三角形全等。SS；兩邊（直直或直斜）對應相等的三角形全等。AS：一個銳角和任意一條對應邊相等的三角形全等。【例3】直角三角形全等判定定理HL的證明。△ABC中，AB=AC，DE是過A點的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，若B、C在D、E的同側，且AD=CE，求證；AB⊥AC。若B、C在D、E的兩側，其它條件不變，求證；AB和AC垂直嗎？證明你的判斷。AABCBCDEDE互逆命題與互逆定理逆命題：兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題結論和條件，那么，這兩個命題稱為互逆命題。其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。每個命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理。即：原命題真，逆命題不一定真。【例4】命題“全等三角形的對應角相等”的逆命題是（），這個逆命題是（）命題。（填“真”或“假”）◎會判斷（證明）命的真假！◎已知一個命題或定理，能寫出其逆命題，并判斷其真假·【典例1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，判斷△ACD的形狀并說明理由。ABCD提示：連AC【典例2】△ABC中，∠ACB=90°，AB=50BC=30，CD⊥AB于點D，求CD長ABCD【典例3】把長方形ABCD沿對角線BD對折，點C落在點F處，BF與BD相交于E點，若AB=12，BC=16，求AE的長；求重合部分△BED的面積；ABCDFE提示：先求AE=3.5---求DE---所求面積=DE乘AB的一半(75)。【典例3】△ABC中，∠ACB=90°AC=BCP是△ABC內一點，且PA=3，PB=1，CD=CP=2，CD⊥CP于C，求∠BPC度數ABCDP證三角形APC與三角BCD全等---所以PA=DB=3---直角三角形DPB---135第三單元：線段的垂直平分線ABCD線段垂直平分線的性質定理：定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等。線段的垂直平分線又叫線段的中垂線。線段的中垂線：可以看作到線段兩段距離相等的點的集合。中垂線是直線不是線段。線段是軸對稱圖形，中垂線其實就是線段的對稱軸。應用：證明兩條線段相等。【例1】性質定理的證明。△ABC中，AB+AC=6，BC的垂直平分線l與AC相交與D點，求△ABD的周長。ClAB線段垂直平分線的性質定理的逆定理逆定理：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。證明一線是一線段的中垂線垂直+平分=垂直平分（中垂線）證明兩點在中垂線上→過這兩點的直線是中垂線。中垂線不僅可以證明線段相等，還可以間接證明角相等【例2】性質定理的逆定理的證明。△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于D點，交BC與E點，已知∠BAE=30°，求證：EC=2BEABCDE三角形三邊垂直平分線的性質定理定理：三角形三條垂直平分線相交于一點，這點到三個頂點的距離相等。（三角形外心）交點的位置：銳角三角形內；直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外部。注意三邊垂直平分線與三條高等的區別。【例3】性質定理的證明。已知；A、B、C三個居民區的位置圍成一個三角形，現要在三個居民區之間建一個超市，使超市到三個小區的距離相等，超市的位置怎么選。ABC作已知線段的垂直平分線尺規做圖：是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖。線段垂直平分線的作法：分別一線段的兩個端點為圓心，一大于線段長度二分之一長為半徑畫弧，兩弧在線段兩側相交于兩點。過兩點作直線，此直線即為所求的垂直平分線。作法的證明。

【例4】證明線段垂直平分線的作法。已知線段AB，作出線段AB的垂直平分線。（保留痕跡不寫作法）在作出的垂直平分線上取一點任意取兩點M、N，（在AB的上方），連接AM、AN、BM、MN，求證：∠MAN=∠MBNAB【典例1】——識記72-36三角形的特征：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，垂直為D，連接EC，求∠ECD的度數。若CE=5，求BC的長。72°5ABCDE【典例2】△ABC中BA=BC∠ABC=120°AB的垂直平分線交AC于D，求證：DC=2ADBACD【典例3】△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成的銳角為50°，則∠A的大小為（）°分類討論：答案：20或70【典例4】△ABC中，∠C=90°∠CAB的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB

求∠B的度數。BACDE30BB【典例5】要在直路MN旁修建一個貨物中轉站，分別向A、B兩個開發區運貨。若要中轉站距離兩個開發區距離相等，貨物中轉站應修建在何處？若要求貨物中轉站與兩個開發區距離的和最小，則貨物中轉站應修建在何處？MNA.B.【典例5】直角梯形ABCD中，∠ABC=90°AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，AC與ED相交于M點，求證：BE=AD求證：AC是線段ED的垂直平分線△DBC是等腰三角形嗎？說明理由。ABCDEM第四單元：角平分線角平分線的性質定理性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（距離：垂線段的長）應用：證明線段相等的依據之一。定理的條件簡記為”一分二垂“。這也是符號語言中必須滿足的條件。符號語言：∵∠POA=∠POBPA⊥OAPB⊥OB∴PA=PBABOP【例1】證明性質定理△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，

DE⊥AB于E，AC=6，BC=8，CD=3，求DE的長。△ADB的面積。ACBED角平分線性質定理的逆定理在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。應用：通過線段相等證明角相等而省略了證明全等的步驟。垂線段相等證明角相等。符號語言∵PA⊥OA于A，

PB⊥OB于B，

PA=PB∴∠POA=∠POBABOP【例2】證明逆定理如圖，∠C=∠D=90°，BE平分∠ABC，且

E為DC的中點，求證：AE平分∠BADABCDE用尺規作角的平分線尺規做圖滿分解答的兩要素：作圖痕跡；結論。（初中不要求寫作法和證明）作法示例：作∠AOB的平分線在OA、OB上截取OD=OE分別以D、E為圓心，以大于

1/2DE長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C。作射線OC，OC即為所求。

ABODEC已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.用尺規作角的平分線.作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內交于點C.3.作射線OC.

則射線OC就是∠AOB的平分線.ABOCDE

你能說明射線OC為什么是∠AOB的平分線嗎？【例3】國道OA和國道OB在某市相交于O處，在∠AOB的，內部有工廠C和D，現要在∠AOB內部修建一個貨站P，使P到兩國道OA、OB的距離相等，且P到C和

D的距離也相等，請作出P的位置。OBADC三角形角平分線的性質定理三角形三條角平分線相交于一點，并且這點到三角形三邊的距離相等。（也叫內心）三角形角平分線的交點一定在三角形的內部。了解內心與外心的區別。【例4】性質定理的證明。已知點P為△ABC三個內角平分線的交點，若∠A=50°，求∠BAC的度數。總結為一個公式或定理PABC全章總結截長補段證明線段的和倍分問題【典例1】——數形結合的思想平面直角坐標系中，O為坐標有原點，點A的坐標為（1，√3），M為坐標軸上一點，且使得△OAM為等腰三角形，滿足條件的點M的個數為（）個。

6橫軸上2個；縱軸上4個！【典例2】——分類討論的思想等腰三角形兩角之差為30°,求該三角形各內角的度數.答：50、50、80；70、70、40【典例3】——轉化的思想△ABC是等邊三角形，延長BC至E，延長BA至F，使AF=BE，連接CF、EF，過點F作FD⊥CE于D，試判斷∠FCE與∠FEC的數量關系，并說明理由。ABCFED輔助突破——延長BE到G，使EG=BC，得到等邊三角形BFG。證△BCF≌△GEF【典例4】——方程的思想（方程+折疊）一張矩形紙片ABCD