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文檔簡介

分布函數及其密度無疑是描述隨機變量概率規律的最有力工具，尤其是它具有明確的概率含義，故運用分布函數可方便地解決許多與隨機變量有關的概率問題.

但是，在今后的某些問題中，分布函數又表現出某些不足.例如：

（1）分布函數本身的分析性質不太好，它只是一個單邊連續的有界非降函數.

（2）獨立隨機變量和的分布函數等于各分布函數的卷積，這在計算上帶來不少麻煩.

數字特征也只反映了概率分布的某些側面.下面介紹的特征函數，既能完全決定分布函數，又具有良好的分析性質.第四章特征函數與母函數§4.1一維特征函數的定義及其性質特征函數是處理許多概率論問題的有力工具.它能把尋求獨立隨機變量和的分布的卷積運算轉換成乘法運算.它能把求分布的各階原點矩(積分運算)轉換成微分運算.它能把尋求隨機變量序列的極限分布轉換成一般的函數極限問題.它能完全決定分布函數.它具有良好的分析性質．

為了定義特征函數，我們需要拓廣一下隨機變量的概念，引進復隨機變量.定義如果與都是概率空間上的實值隨機變量，則稱為復隨機變量.

對復隨機變量的研究本質上是對實二維隨機變量的研究.

如果二維隨機變量與相互獨立，則稱復隨機變量與相互獨立.

定義復隨機變量的數學期望為

對于復隨機變量，可平行地定義或得到一系列結果.例如:(2)若是相互獨立的，則又如，若是一個博雷爾可測函數，而則這里常用歐拉公式

以后，隨時引用這類結果而不再加以說明.定義若實隨機變量的分布函數為，則稱

為的特征函數

顯然特征函數只與分布函數有關，因此又稱某一分布函數的特征函數.(characteristicfunction).離散情形與連續情形下的特征函數設連續型r.v.的密度函數為

(x),則其特征函數為同時我們注意到，連續型隨機變量的特征函數

(t)是密度函數(x)的傅立葉變換.

一般情況下的特征函數可以看作是這種傅立葉變換的推廣.傅立葉變換是數學中一種非常有用的工具，它在許多數學分支中都起了重大作用.常見分布的特征函數【退化分布】【二項分布】【0-1分布】【泊松分布】【均勻分布】【標準正態分布】即【指數分布】特征函數的性質性質1證明性質2證明【正態分布】證明性質3

特征函數在(-,)上一致連續.性質4證明此性質為特征函數的非負定性.波赫納-辛欽定理若函數連續,非負定且,則必為特征函數.

性質5令t=0即可證明此性質.關于廣義積分的求導，這是因為證明應用可以利用特征函數得到隨機變量的各階矩由上述性質可知，特征函數(t)的泰勒展開式為：例反演

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