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文檔簡介
山西省呂梁市畢家坡中學2022年高二數學文聯考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.甲乙兩人有三個不同的學習小組A,B,C可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組,則兩人參加同一個小組的概率為()A. B. C. D.參考答案:A【考點】CB:古典概型及其概率計算公式.【分析】由題意可得總的可能性為9種,符合題意的有3種,由概率公式可得.【解答】解:總的可能性為3×3=9種,兩位同學參加同一個小組的情況為3種,∴所求概率P==,故選:A.【點評】本題考查古典概型及其概率公式,屬基礎題.2.若函數在R上單調遞增,且,則實數m的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D3.已知等差數列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數列,則a2等于(
)A.-6
B.-8
C.-10
D.-12參考答案:A4.在數列中,若則該數列的通項=(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B5.在△ABC中,,則A等于(
)A.45° B.120° C.60° D.30°參考答案:C由等式可得:,代入關于角的余弦定理:.所以.故選C.6.方程的解所在的區間為(
).
A.
B.
C.
D.參考答案:D7.設a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},則b-a=(
)A.1
B.-1
C.2
D.-2參考答案:C8.把函數的圖象向右平移個單位,再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,則所得圖象對應的函數解析式是()A.y=sinx B.y=sin4x C. D.參考答案:A【考點】函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【分析】根據三角函數圖象變換的法則進行變換,并化簡,可得兩次變換后所得到的圖象對應函數解析式.【解答】解:函數的圖象向右平移個單位,得到f(x﹣)=sin[2(x﹣)+]=sin2x的圖象,再將所得的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),可得f(x﹣)=sinx的圖象.∴函數y=sinx的圖象是函數的圖象按題中的兩步變換得到的函數的解析式.故選:A.【點評】本題給出三角函數圖象的平移和伸縮變換,求得到的圖象對應的函數解析式.著重考查了三角函數圖象的變換公式等知識,屬于中檔題.9.設函數的定義域為R,是的極大值點,以下結論一定正確的是(
)A.
B.是的極小值點C.是的極小值點
D.是的極小值點
參考答案:D略10.已知圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,則圓C1與圓C2的公共弦長為()A. B. C.
D.5參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將編號1,2,3,4,5的小球放入編號1,2,3,4,5的盒子中,每個盒子放一個小球,則至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有種.參考答案:109【考點】排列、組合及簡單計數問題.【分析】利用間接法,由分步計數原理計算可得答案.【解答】解:5個球全排列為A55=120種情況3個球的編號與盒子的相同,先選出3個小球,放到對應序號的盒子里,有C53=10種情況,另外2個球,有1種不同的放法,故10種情況4個球的編號與盒子的相同,有1種不同的放法,故至多有兩個小球的編號與盒子的編號相同的放法共有120﹣10﹣1=109種不同的放法,故答案為:109.12.在數列中,,且對任意大于1的正整數,點在直線上,則數列的前項和= 。參考答案:13.利用數學歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n﹣1),n∈N*”時,從“n=k”變到“n=k+1”時,左邊應增乘的因式是_________.參考答案:略14.已知函數是定義在R上的奇函數,當時,,則__________.參考答案:12【分析】由函數的奇偶性可知,代入函數解析式即可求出結果.【詳解】函數是定義在上的奇函數,,則,.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性,屬于基礎題型.15.z1,z2∈C,|z1|=|z2|=2,|z1+z2|=,則|z1-z2|=
參考答案:16.一個幾何體由八個面圍成,每個面都是正三角形,有四個頂點在同一平面內且為正方形,若該八面體的棱長為2,所有頂點都在球O上,則球O的表面積為_______.參考答案:8π【分析】根據該八面體的棱長為2,所有頂點都在球上可確定球的半徑,即可求出球的表面積。【詳解】根據題意該八面體的棱長為,所有頂點都在球上所以球的半徑為幾何體高的一半,即半徑所以表面積【點睛】本題考查球體的表面積公式,解題的關鍵是求出半徑,屬于簡單題。17.復數的共軛復數是(),是虛數單位,則的值是
.參考答案:7;
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)=lnx,g(x)=ax2﹣bx(a、b為常數).(1)求函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)當函數g(x)在x=2處取得極值﹣2.求函數g(x)的解析式;(3)當時,設h(x)=f(x)+g(x),若函數h(x)在定義域上存在單調減區間,求實數b的取值范圍.參考答案:【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用.【專題】函數的性質及應用;導數的概念及應用;導數的綜合應用.【分析】(1)求出函數f(x)的導數,求得切線的斜率和切點,運用店攜手方程即可得到切線方程;(2)求得g(x)的導數,由題意可得g(2)=﹣2,g′(2)=0,解方程即可得到所求解析式;(3)若函數h(x)在定義域上存在單調減區間依題存在x>0使h′(x)=(x>0).h′(x)<0(x>0)即存在x>0使x2﹣bx+1<0,運用參數分離,求得右邊的最小值,即可得到所求范圍.【解答】解:(1)由f(x)=lnx(x>0),可得f′(x)=(x>0),∴f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y﹣f(1)=f′(1)(x﹣1),即y=x﹣1,所求切線方程為y=x﹣1;
(2)∵又g(x)=ax2﹣bx可得g′(x)=2ax﹣b,且g(x)在x=2處取得極值﹣2.∴,可得解得,b=2.所求g(x)=(x∈R).
(3)∵,h′(x)=(x>0).依題存在x>0使h′(x)=(x>0).h′(x)<0(x>0)即存在x>0使x2﹣bx+1<0,∵不等式x2﹣bx+1<0等價于(*)令,∵.∴λ(x)在(0,1)上遞減,在[1,+∞)上遞增,故,+∞),∵存在x>0,不等式(*)成立,∴b>2.所求b∈(2,+∞).【點評】本題考查導數的運用:求切線方程和單調區間、極值和最值,同時考查函數的單調性的運用以及存在性問題,屬于中檔題.19.已知在等比數列{an}中,.(1)求數列{an}的通項公式;(2)設,求數列{bn}的前n項和Tn.參考答案:(1)(2)【分析】(1)求出公比后可得的通項公式.(2)利用錯位相減法可求.【詳解】(1)設等比數列的公比為.由,得,得,所以,解得.故數列的通項公式是.(2),則,①,②由①-②,得,,故【點睛】數列求和關鍵看通項的結構形式,如果通項是等差數列與等比數列的和,則用分組求和法;如果通項是等差數列與等比數列的乘積,則用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數列連續兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規律的出現,則用并項求和法.20.已知函數.
(Ⅰ)用定義證明是偶函數;(Ⅱ)用定義證明在上是減函數;
(Ⅲ)作出函數的圖像,并寫出函數當時的最大值與最小值.
參考答案:(Ⅰ)證明:函數的定義域為,對于任意的,都有,∴是偶函數.(Ⅱ)證明:在區間上任取,且,則有,∵,,∴即
∴,即在上是減函數.
(Ⅲ)解:最大值為,最小值為.略21.某旅游景區的觀景臺P位于高(山頂到山腳水平面M的垂直高度PO)為2km的山峰上,山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB,山坡面可近似地看作平面PAB,且△PAB為等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α(0°<α<90°),且sinα=.現從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路,該公路的第一段、第二段、第三段…,第n﹣1段依次為C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn﹣1Cn(如圖所示),且C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn﹣1Cn與AB所成的角均為β,其中0<β<90°,sinβ=.試問:(1)每修建盤山公路多少米,垂直高度就能升高100米.若修建盤山公路至半山腰(高度為山高的一半),在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站,索道PQ依山而建(與山坡面平行,離坡面高度忽略不計),問盤山公路的長度和索道的長度各是多少?(2)若修建xkm盤山公路,其造價為a萬元.修建索道的造價為2a萬元/km.問修建盤山公路至多高時,再修建上山索道至觀景臺,總造價最少.參考答案:【考點】解三角形的實際應用;函數模型的選擇與應用;利用導數求閉區間上函數的最值.【分析】(1)在盤山公路上取一個點,作出該點到平面的垂線,再利用三垂線定理作出二面角棱的垂線,連接兩個垂足,利用三角函數的定義可求出索道長與山高的倍數關系,得出結論;(2)設盤山公路修至山高的距離為x,建立關于x的函數,利用導數確定函數的單調性,極小值即為函數的最小值,從而得出最少總價對應的x.【解答】解:(1)在盤山公路C0C1上任選一點D,作DE⊥平面M交平面M于E,過E作EF⊥AB交AB于F,連接DF,易知DF⊥C0F.sin∠DFE=,sin∠DC0F=.∵DF=C0D,DE=DF,∴DE=C0D,所以盤山公路長度是山高的10倍,索道長是山高的倍,所以每修建盤山公路1000米,垂直高度升高100米.從山腳至半山腰,盤山公路為10km.從半山腰至山頂,索道長2.5km.(2)設盤山公路修至山高x(0<x<2)km,則盤山公路長為10xkm,索道長(2﹣x)km.設總造價為y萬元,則y=a+(2﹣x)?2a=(10﹣5x)a+10a.令y′=﹣5a=0,則x=1.當x∈(0,1)時,y′<0,函數y單調遞減;當x∈(1,2)時,y′>0,函數y單調遞增,∴x=1,y有最小值,即修建盤山公路至山高1km時,總造價最小,最小值為15a萬元.22.以下莖葉圖記錄了甲組3名同學寒假假期中去圖書館學習的次數和乙組4名同學寒假假期中去圖書館學習的次數.乙組記錄中有一個數據模糊,無法確認,在圖中以表示.(Ⅰ)如果,求乙組同學去圖書館學習次數的平均數和方差;(Ⅱ)如果,從學習次數大于8的學生中選兩名同學,求選出的兩名同學恰好分別在兩個圖書館學習且學習的次數和大于20的概率.參考答案:解:(Ⅰ)當x=7時,由莖葉圖可知,乙組同學去圖書館學習次數是:7,8,9,12,所以平均數為
……………3分方差為
……………6分(Ⅱ)記甲組3名同學為A1,A2,A3,他們去圖書館學習次數依次為9,12,11;乙組4名同學為B1,B2,B3,B4,他們去圖書館學習次數依次為9,8,9,12;從學習次數大于8的學生中人選兩名學生,所有可能的結果有15個,它們是:A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2
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