山西省呂梁市安家莊鄉中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列Sn為等比數列{an}的前n項和，S8=2，S24=14，則S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2參考答案：B【考點】等比數列的前n項和．【分析】由Sn為等比數列{an}的前n項和，由前n項和公式求得a1和q的數量關系，然后再來解答問題．【解答】解：∵數列Sn為等比數列{an}的前n項和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，則a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故選：B．2.復數（是虛數單位）的虛部是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.設m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，給出下列命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β②若m∥α，m∥β，則α∥β③若m∥α，n∥α，則m∥n④若m⊥α．n⊥α，則m∥n上述命題中，所有真命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】根據空間直線，平面間的位置關系的判定定理和性質定理，結合選項進行逐個判斷即可．同時利用反例的應用．【解答】解：若m⊥α，m⊥β，則α∥β．這是直線和平面垂直的一個性質定理，故①成立；若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故②不成立；若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，則③錯誤；由垂直與同一平面的兩直線平行可知：④為真命題，故選：A．4.已知條件?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是

（

）

A．a≥1

B．a≤1

C．a≥－3

D．a≤－3參考答案：答案：A5.已知集合A，B都是非空集合，則“x∈（A∪B）”是“x∈A且x∈B”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略6.下列函數中，其定義域和值域分別與函數y=10lgx的定義域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=參考答案：D【考點】對數函數的定義域；對數函數的值域與最值．【分析】分別求出各個函數的定義域和值域，比較后可得答案．【解答】解：函數y=10lgx的定義域和值域均為（0，+∞），函數y=x的定義域和值域均為R，不滿足要求；函數y=lgx的定義域為（0，+∞），值域為R，不滿足要求；函數y=2x的定義域為R，值域為R（0，+∞），不滿足要求；函數y=的定義域和值域均為（0，+∞），滿足要求；故選：D7.現有10名學生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（

）種。A. B. C. D.參考答案：D【分析】采用捆綁法和插空法,將3個男生看成一個整體方法數是種，再排列6個女生，最后讓所有男生插孔即可.【詳解】采用捆綁法和插空法；從4名男生中選擇3名，進而將3個相鄰的男生捆在一起，看成1個男生，方法數是種，這樣與第4個男生看成是2個男生；然后6個女生任意排的方法數是種；最后在6個女生形成的7個空隙中，插入2個男生，方法數是種。綜上所述，不同的排法共有種.故選D.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．8.不等式的解集為（

）A．（0，2）

B．（－2，0）∪（2，4）

C．（－4，0）

D．（－4，－2）∪（0，2）

參考答案：D9.已知拋物線與雙曲線有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則的最小值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，可得雙曲線方程，利用向量的數量積公式，結合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，則a2=3，即雙曲線方程為，設P（m，n）（n≥），則n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，則=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因為n≥，故當n=時取得最小值，最小值為3﹣2，故選：A．【點評】本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．10.已知函數則（

）A．

B．2

C．4

D．11參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，若，但不是函數的極值點，則abc的值為

.參考答案：

9

12.如圖所示，已知長方形ABCD中，BC=2AB，△EFG與△HIJ均為等邊三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，連接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，則向長方形ABCD內投擲一個點，該點落在陰影區域內的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】根據幾何概型的概率計算公式，設BC=2AB=2，AF=GD=x，根據勾股定理求出x的值，由對稱性求出陰影面積，計算所求的概率值．【解答】解：長方形ABCD中，設BC=2AB=2，AF=GD=x，∴FG=2﹣2x，由勾股定理得（1﹣x）2+12=（2﹣2x）2，解得x=1﹣，∴FG=；由對稱性知，S陰影=S矩形FGJI=FG?IF=××1=；∴該點落在陰影區域內的概率為P===．故答案為：．【點評】本題考查了幾何概型的概率計算問題，解題的關鍵是計算陰影部分的面積，是基礎題．13.已知函數f（x）=，若函數y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6個不同的零點，則實數m的取值范圍是

．參考答案：m＜﹣1【考點】函數零點的判定定理．【專題】函數的性質及應用．【分析】先將函數進行換元，轉化為一元二次函數問題．結合函數f（x）的圖象，從而確定m的取值．【解答】解：令t=f（x），則原函數等價為y=2t2+3mt+1．做出函數f（x）的圖象如圖，圖象可知當t＜0時，函數t=f（x）有一個零點．當t=0時，函數t=f（x）有三個零點．當0＜t＜1時，函數t=f（x）有四個零點．當t=1時，函數t=f（x）有三個零點．當t＞1時，函數t=f（x）有兩個零點．要使關于x的函數y=2f2（x）+3mf（x）+1有6個不同的零點，則函數y=2t2+3mt+1有兩個根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，則由根的分布可得，將t=1，代入得：m=﹣1，此時g（t）=2t2﹣3t+1的另一個根為t=，不滿足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，則，解得：m＜﹣1，故答案為：m＜﹣1【點評】本題考查復合函數零點的個數問題，以及二次函數根的分布，換元是解決問題的關鍵，屬中檔題．14.如圖，△ABC內接于,AB=AC，直線MN切于點C，弦，AC與BD相交于點E．若AB=6,

BC=4，則DE=__________.參考答案：15.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，則?的值是．參考答案：22【考點】向量在幾何中的應用；平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】由=3，可得=+，=﹣，進而由AB=8，AD=5，=3，?=2，構造方程，進而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案為：22．【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，平面向量數量積的運算，其中根據已知得到=+，=﹣，是解答的關鍵．16.在正項等比數列{}中則

__________.參考答案：5略17.已知函數，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同構造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法．利用這種方法，結合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式．例如：考察恒等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n（n∈N*），左邊xn的系數為C2nn，而右邊（1+x）n（1+x）n=（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn）（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn），xn的系數為Cn0Cnn+Cn1Cnn﹣1+…+CnnCn0=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2，因此可得到組合恒等式C2nn=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2．（1）根據恒等式（1+x）m+n=（1+x）m（1+x）n（m，n∈N*）兩邊xk（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系數相同，直接寫出一個恒等式；（2）利用算兩次的思想方法或其他方法證明：，其中[]是指不超過的最大整數．參考答案：【考點】二項式定理的應用．【分析】（1）利用二項式定理系數的性質，求出xn的系數，即可得到結論．（2）利用已知關系式，求出等式兩邊的常數項系數，即可得到結果．【解答】解：（1）=++…+=．證明：（2）考察等式（2+x+）n=，等式右邊的常數項為：，∵?2n﹣r（x+）r=?2n﹣r（，當且僅當i=2k時，xr﹣k（）k為常數，等式左邊的常數項為：k，∴k=Cnn成立．19.已知函數f（x）=．（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求實數t的最大值；（ii）證明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）利用導數的幾何意義求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）（i）分類討論，利用函數的單調性，即可求實數t的最大值；（ii）當x＞1時整理得，令，則，即可證明不等式．【解答】解：（1）由題意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，即x﹣2y﹣1=0．（2）（i）由題意知，設，則=，設，則，當t≥0時，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）時，h（x）＜0，又，∴g（x）＜0不符合題意．當t＜0時，設?（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1時，?（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減，又h（1）=0，∴x∈（0，1）時，h（x）＞0，，g（x）＞0，x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，，g（x）＞0，符合題意．②若△=4﹣4t2＞0即﹣1＜t＜0時，?（x）的對稱軸，∴?（x）在上單調遞增，∴時，?（x）＞?（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在上單調遞增，∴h（x）＞h（1）=0，而，∴g（x）＜0，不符合題意．綜上所述t≤﹣1，∴t的最大值為﹣1．（ii）由（i）知t=﹣1時，，當x＞1時整理得，令，則，∴，∴，∴，即．20.（本題滿分12分）(1)m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.有且僅有一個零點；(2)若函數f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數a的取值范圍．參考答案：解:(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點?方程f(x)＝0有兩個相等實根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.…6分

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，

h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象．由圖象可知，當0<－a<4，即－4<a<0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點，即f(x)有4個零點．故a的取值范圍為(－4,0)．

………12分21.已知橢圓C：的離心率，且圓過橢圓C的上，下頂點.（1）求橢圓C的方程.（2）若直線l的斜率為，且直線l交橢圓C于P、Q兩點，點P關于點的對稱點為E，點是橢圓C上一點，判斷直線AE與AQ的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.參考答案：（1）；（2）是，0.【分析】(1)根據已知條件,求出,即可得到橢圓方程;(2)設直線的方程為,將其代入橢圓方程后,根據韋達定理以及斜率公式變形,可得答案.【詳解】（1）因為圓過橢圓的上，下頂點，所以，又離心率，所以，于